Axioma de redutibilidade - Axiom of reducibility

O axioma da redutibilidade foi introduzido por Bertrand Russell no início do século 20 como parte de sua teoria ramificada dos tipos . Russell concebeu e introduziu o axioma em uma tentativa de administrar as contradições que havia descoberto em sua análise da teoria dos conjuntos .

História

Com a descoberta de Russell (1901, 1902) de um paradoxo no Begriffsschrift de Gottlob Frege de 1879 e o reconhecimento de Frege do mesmo (1902), Russell provisoriamente introduziu sua solução como "Apêndice B: Doutrina de Tipos" em seu 1903 The Principles of Mathematics . Essa contradição pode ser afirmada como "a classe de todas as classes que não se contêm como elementos". No final deste apêndice, Russell afirma que sua "doutrina" resolveria o problema imediato apresentado por Frege, mas "há pelo menos uma contradição intimamente análoga que provavelmente não é solúvel por esta doutrina. A totalidade de todos os objetos lógicos, ou de todas as proposições, envolve, pareceria uma dificuldade lógica fundamental. Qual pode ser a solução completa da dificuldade, eu não consegui descobrir; mas como afeta os próprios fundamentos do raciocínio ... "

Na época de sua lógica matemática baseada na teoria dos tipos, Russell estudou "as contradições" (entre elas o paradoxo de Epimenides , o paradoxo de Burali-Forti e o paradoxo de Richard ) e concluiu que "Em todas as contradições há uma característica comum, que podemos descrever como autorreferência ou reflexividade ".

Em 1903, Russell definiu funções predicativas como aquelas cuja ordem é um a mais do que a função de ordem superior que ocorre na expressão da função. Embora fossem adequados para a situação, as funções impredicativas tiveram que ser proibidas:

Uma função cujo argumento é um indivíduo e cujo valor é sempre uma proposição de primeira ordem será chamada de função de primeira ordem. Uma função envolvendo uma função ou proposição de primeira ordem como variável aparente será chamada de função de segunda ordem, e assim por diante. Uma função de uma variável que é da ordem imediatamente acima daquela de seu argumento será chamada de função predicativa ; o mesmo nome será dado a uma função de várias variáveis ​​[etc].

Ele repete essa definição de uma maneira ligeiramente diferente mais tarde no artigo (junto com uma proibição sutil que eles expressariam de forma mais clara em 1913):

Uma função predicativa de x é aquela cujos valores são proposições do tipo imediatamente acima de x , se x for um indivíduo ou uma proposição, ou dos valores de x se x for uma função. Pode ser descrito como aquele em que as variáveis ​​aparentes, se houver, são todas do mesmo tipo que x ou de tipo inferior; e uma variável é de tipo inferior a x se pode ocorrer significativamente como argumento para x , ou como argumento para um argumento para x , e assim por diante. [enfase adicionada]

Esse uso é transportado para Alfred North Whitehead e Russell's 1913 Principia Mathematica, onde os autores dedicam uma subseção inteira de seu Capítulo II: "A Teoria dos Tipos Lógicos" ao subcapítulo I. O Princípio do Círculo Vicioso : "Definiremos uma função de um variável como predicativa quando é da próxima ordem acima do seu argumento, ou seja, da ordem mais baixa compatível com o fato de ter esse argumento ... Uma função de vários argumentos é predicativa se houver um de seus argumentos tal que, quando o outro argumentos têm valores atribuídos a eles, obtemos uma função predicativa de um argumento indeterminado. "

Eles novamente propõem a definição de uma função predicativa como aquela que não viola a Teoria dos Tipos Lógicos. Na verdade, os autores afirmam que tais violações são "incapazes [de alcançar]" e "impossíveis":

Somos, portanto, levados à conclusão, tanto do princípio do círculo vicioso quanto da inspeção direta, que as funções para as quais um dado objeto a pode ser um argumento são incapazes de serem argumentos entre si, e que não têm nenhum termo em comum com as funções para as quais eles podem ser argumentos. Somos, portanto, levados a construir uma hierarquia.

Os autores enfatizam a palavra impossível :

se não estivermos enganados, que não apenas é impossível para uma função φz ^ ter a si mesma ou qualquer coisa derivada dela como argumento, mas que, se ψz ^ é outra função tal, existem argumentos a com os quais "φa" e " ψa "são significativos, então ψz ^ e qualquer coisa derivada dele não pode ser significativamente argumento para φz ^ .

Axioma da redutibilidade de Russell

O axioma da redutibilidade afirma que qualquer função de verdade (isto é, função proposicional ) pode ser expressa por uma função de verdade predicativa formalmente equivalente . Ele fez sua primeira aparição na Lógica matemática de Bertrand Russell (1908) baseada na teoria dos tipos , mas somente após cinco anos de tentativa e erro. Em suas palavras:

Assim, uma função predicativa de um indivíduo é uma função de primeira ordem; e para tipos superiores de argumentos, as funções predicativas ocupam o lugar que as funções de primeira ordem ocupam em relação aos indivíduos. Assumimos, então, que toda função é equivalente, para todos os seus valores, a alguma função predicativa do mesmo argumento. Essa suposição parece ser a essência da suposição usual de classes [conjuntos modernos]. . . chamaremos essa suposição de axioma de classes ou axioma da redutibilidade .

Para relações (funções de duas variáveis, como "Para todo xe para todo y, os valores para os quais f (x, y) é verdadeiro", ou seja, ∀x∀y: f (x, y)), Russell assumiu um axioma de relações , ou [o mesmo] axioma de redutibilidade .

Em 1903, ele propôs um possível processo de avaliação de tal função de 2 casas comparando o processo à integração dupla: Um após o outro, conecte em x valores definidos a m (ou seja, o particular a j é "uma constante" ou um parâmetro mantido constante), então avalie f ( a m , y n ) em todas as n instâncias de possível y n . Para todo y n avalie f (a 1 , y n ), então para todo y n avalie f ( a 2 , y n ), etc até que todo x = a m sejam exauridos). Isso criaria uma matriz de valores m por n : TRUE ou UNKNOWN. (Nesta exposição, o uso de índices é uma conveniência moderna.)

Em 1908, Russell não fez menção a essa matriz de valores x , y que tornam uma função de dois lugares (por exemplo, relação) VERDADEIRA, mas em 1913 ele introduziu um conceito semelhante a uma matriz em "função". Em * 12 de Principia Mathematica (1913), ele define "uma matriz" como "qualquer função, de quaisquer variáveis, que não envolva nenhuma variável aparente. Então, qualquer função possível que não seja uma matriz é derivada de uma matriz por meio de generalização , isto é, considerando a proposição que afirma que a função em questão é verdadeira com todos os valores possíveis ou com alguns valores de um dos argumentos, o outro argumento ou argumentos permanecem indeterminados ". Por exemplo, se alguém afirma que "∀y: f (x, y) é verdadeiro", então x é a variável aparente porque não é especificada.

Russell agora define uma matriz de "indivíduos" como uma matriz de primeira ordem e segue um processo semelhante para definir uma matriz de segunda ordem , etc. Finalmente, ele introduz a definição de uma função predicativa :

Uma função é dita predicativa quando é uma matriz. Será observado que, em uma hierarquia em que todas as variáveis ​​são indivíduos ou matrizes, uma matriz é a mesma coisa que uma função elementar [cf. 1913: 127, significando: a função não contém variáveis ​​aparentes]. ¶ "Matriz" ou "função predicativa" é uma ideia primitiva.

A partir desse raciocínio, ele então usa a mesma redação para propor os mesmos axiomas de redutibilidade que fez em 1908.

Como um aparte, Russell em seu 1903 considerou, e então rejeitou, "uma tentação de considerar uma relação como definível em extensão como uma classe de casais", isto é, a noção moderna de conjunto teórica de par ordenado . Uma versão intuitiva dessa noção apareceu no Begriffsschrift de Frege (1879) (traduzido em van Heijenoort 1967: 23); O ano de 1903 de Russell seguiu de perto o trabalho de Frege (cf. Russell 1903: 505ss). Russell preocupava-se com "é necessário dar sentido ao casal, para distinguir o referente do relatum: assim, um casal torna-se essencialmente distinto de uma classe de dois termos e deve ser apresentado como uma ideia primitiva. Ao que parece, vendo a idéia filosoficamente, esse sentido só pode ser derivado de alguma proposição relacional ... parece, portanto, mais correto ter uma visão intensional das relações, e identificá-las mais com conceitos de classe do que com classes ". Conforme mostrado abaixo, Norbert Wiener (1914) reduziu a noção de relação com a classe por sua definição de um par ordenado.

Crítica

Zermelo 1908

A proibição total implícita no axioma da redutibilidade de Russell foi duramente criticada por Ernst Zermelo em suas Investigações nos fundamentos da teoria dos conjuntos I de 1908 , ferido como estava por uma demanda semelhante à de Russell que veio de Poincaré :

Segundo Poincaré (1906, p. 307), uma definição é "predicativa" e logicamente admissível apenas se excluir todos os objetos que são "dependentes" da noção definida, isto é, que pode de alguma forma ser determinada por ela.

Zermelo rebateu:

Uma definição pode muito bem basear-se em noções que são equivalentes àquela que está sendo definida; de fato, em toda definição, definiens e definiendum são noções equivalentes, e a estrita observância da exigência de Poincaré tornaria toda definição, portanto toda a ciência, impossível.

Wiener 1914

Na sua 1914 Uma simplificação da lógica de relações , Norbert Wiener removida a necessidade para o axioma da reducibilidade como aplicado às relações entre duas variáveis x , e y por exemplo, φ ( x , y ). Ele fez isso introduzindo uma maneira de expressar uma relação como um conjunto de pares ordenados: "Ver-se-á que o que fizemos foi praticamente voltar ao tratamento de Schröder de uma relação como uma classe [conjunto] de casais ordenados". Van Heijenoort observa que "[b] y dando uma definição do par ordenado de dois elementos em termos de operações de classe, a nota reduziu a teoria das relações à das classes." Mas Wiener opinou que embora tivesse despachado a versão de duas variáveis ​​de Russell e Whitehead do axioma * 12.11, a versão de variável única do axioma de redutibilidade para (axioma * 12.1 em Principia Mathematica ) ainda era necessária.

Wittgenstein 1918

Ludwig Wittgenstein , enquanto estava preso em um campo de prisioneiros, terminou seu Tractatus Logico-Philosophicus . Sua introdução credita "as grandes obras de Frege e os escritos de meu amigo Bertrand Russell". Não um intelectual modesto, ele declarou que "a verdade dos pensamentos comunicados aqui me parece inatacável e definitiva. Sou, portanto, da opinião de que os problemas foram finalmente resolvidos no essencial". Portanto, dada essa atitude, não é surpresa que a teoria dos tipos de Russell seja criticada:

3,33

Na sintaxe lógica, o significado de um signo nunca deve desempenhar um papel; deve admitir ser estabelecido sem que seja assim feita menção do significado de um sinal; deve pressupor apenas a descrição das expressões.

3.331

Dessa observação, obtemos uma visão mais aprofundada - na Teoria dos Tipos de Russell . O erro de Russell é demonstrado pelo fato de que, ao traçar suas regras simbólicas, ele precisa falar do significado dos signos.

3,332

Nenhuma proposição pode dizer algo sobre si mesma, porque o signo da proposição não pode estar contido em si mesmo (essa é a "teoria total dos tipos").

3.333

Uma função não pode ser seu próprio argumento, porque o sinal funcional já contém o protótipo de seu próprio argumento e não pode conter a si mesmo. ... Com isso, o paradoxo de Russell desaparece.

Isso parece apoiar o mesmo argumento que Russell usa para apagar seu "paradoxo". Esse "usar os sinais" para "falar dos sinais" Russell critica em sua introdução que precedeu a tradução original em inglês:

O que causa hesitação é o fato de que, afinal, o Sr. Wittgenstein consegue dizer muito sobre o que não pode ser dito, sugerindo assim ao leitor cético que possivelmente pode haver alguma brecha por uma hierarquia de línguas, ou por alguma outra saída.

Esse problema aparece mais tarde, quando Wittgenstein chega a essa gentil recusa do axioma da redutibilidade - uma interpretação do seguinte é que Wittgenstein está dizendo que Russell cometeu (o que é conhecido hoje como) um erro de categoria ; Russell afirmou (inserida na teoria) uma "lei adicional da lógica" quando todas as leis (por exemplo, o golpe de Sheffer ilimitado adotado por Wittgenstein) já foram afirmadas:

6,123

É claro que as leis da lógica não podem obedecer a outras leis lógicas. (Não existe, como Russell supôs, para cada "tipo" uma lei especial de contradição; mas uma é suficiente, uma vez que não se aplica a si mesma.)

6,1231

A marca das proposições lógicas não é sua validade geral. Ser geral é apenas acidentalmente válido para todas as coisas. Uma proposição não generalizada pode ser tautóloga tanto quanto generalizada.

6,1232

A validade lógica geral, poderíamos chamar de essencial em oposição à validade geral acidental, por exemplo, da proposição "todos os homens são mortais". Proposições como o "axioma da redutibilidade" de Russell não são proposições lógicas, e isso explica nosso sentimento de que, se verdadeiras, elas só podem ser verdadeiras por um acaso feliz.

6,1233

Podemos imaginar um mundo em que o axioma da redutibilidade não seja válido. Mas é claro que a lógica não tem nada a ver com a questão de se nosso mundo é realmente desse tipo ou não.

Russell 1919

Bertrand Russell em sua Introdução à Filosofia Matemática de 1919 , um companheiro não matemático de sua primeira edição de PM , discute seu Axioma da Redutibilidade no Capítulo 17 Classes (pp. 146ss). Ele conclui que "não podemos aceitar" classe "como uma ideia primitiva; os símbolos para classes são" meras conveniências "e classes são" ficções lógicas, ou (como dizemos) 'símbolos incompletos' ... classes não podem ser consideradas como parte da mobília última do mundo "(p. 146). A razão para isso é por causa do problema da impredicatividade:" as classes não podem ser consideradas como uma espécie de indivíduos, por causa da contradição sobre classes que não são membros de si mesmas. ... e porque podemos provar que o número de classes é maior do que o número de indivíduos, [etc] ". O que ele faz então é propor 5 obrigações que devem ser satisfeitas no que diz respeito a uma teoria de classes, e o resultado é seu axioma da redutibilidade. Ele afirma que esse axioma é "uma forma generalizada da identidade dos indiscerníveis de Leibniz" (p. 155). Mas ele conclui que a suposição de Leibniz não é necessariamente verdadeira para todos os predicados possíveis em todos os mundos possíveis, então ele conclui que:

Não vejo nenhuma razão para acreditar que o axioma da redutibilidade seja logicamente necessário, que é o que significaria dizer que é verdadeiro em todos os mundos possíveis. A admissão desse axioma em um sistema de lógica é, portanto, um defeito ... uma suposição duvidosa. (p. 155)

A meta que ele define para si mesmo é "ajustes à sua teoria" de evitar aulas:

em sua redução de proposições nominalmente sobre classes a proposições sobre suas funções definidoras. A evitação de classes como entidades por este método deve, ao que parece, ser válida em princípio, no entanto, os detalhes ainda podem exigir ajustes. (p. 155)

Skolem 1922

Thoralf Skolem em seu 1922. Algumas observações sobre a teoria dos conjuntos axiomatizada assumiram uma atitude menos que positiva em relação a "Russell e Whitehead" (isto é, seu trabalho Principia Mathematica ):

Até agora, que eu saiba, apenas um desses sistemas de axiomas encontrou aceitação geral, a saber, o construído por Zermelo (1908). Russell e Whitehead também construíram um sistema de lógica que fornece uma base para a teoria dos conjuntos; se não estou enganado, no entanto, os matemáticos pouco se interessaram por ela.

Skolem então observa os problemas do que ele chamou de "definição não predicativa" na teoria dos conjuntos de Zermelo:

a dificuldade é que temos de formar alguns conjuntos cuja existência depende de todos os conjuntos ... Poincaré chamou esse tipo de definição e considerou-a como a verdadeira fraqueza lógica da teoria dos conjuntos.

Embora Skolem esteja abordando principalmente um problema com a teoria dos conjuntos de Zermelo, ele faz esta observação sobre o axioma da redutibilidade :

eles [Russell e Whitehead], também, simplesmente se contentam em contornar a dificuldade introduzindo uma estipulação, o axioma da redutibilidade . Na verdade, este axioma decreta que as estipulações não predicativas serão satisfeitas. Não há prova disso; além disso, até onde posso ver, tal prova deve ser impossível do ponto de vista de Russell e Whitehead, bem como do de Zermelo. [enfase adicionada]

Russell 1927

Em sua "Introdução" de 1927 à segunda edição de Principia Mathematica , Russell critica seu próprio axioma:

Um ponto em relação ao qual a melhoria é obviamente desejável é o axioma da redutibilidade (* 12.1.11). Esse axioma tem uma justificativa puramente pragmática: leva aos resultados desejados e a nenhum outro. Mas claramente não é o tipo de axioma com o qual podemos nos contentar. Sobre este assunto, entretanto, não se pode dizer que uma solução satisfatória ainda possa ser obtida. ... Há outro curso recomendado por Wittgenstein † [† Tractatus Logico-Philosophicus , * 5.54ff] por razões filosóficas. Isso significa supor que as funções das proposições são sempre funções de verdade e que uma função só pode ocorrer como em uma proposição por meio de seus valores. Existem dificuldades ... Envolve a consequência de que todas as funções ou funções são extensionais. ... [Mas as consequências de sua lógica são que] a teoria do infinito dedekindiano e bem ordenado colapsa, de modo que os irracionais, e os números reais em geral, não podem mais ser tratados adequadamente. Também a prova de Cantor de que 2 n > n se quebra a menos que n seja finito. Talvez algum outro axioma, menos questionável do que o axioma da redutibilidade, possa fornecer esses resultados, mas não conseguimos encontrar tal axioma.

O 5,54ff de Wittgenstein é mais centrado na noção de função :

5,54

Na forma proposicional geral, as proposições ocorrem em uma proposição apenas como bases das operações de verdade.

5.541

À primeira vista, parece que também havia uma maneira diferente pela qual uma proposição poderia ocorrer em outra. ¶ Especialmente em certas formas proposicionais de psicologia, como "A pensa que p é o caso", ou "A pensa p ", etc. ¶ Aqui parece superficialmente como se a proposição p se referisse ao objeto A em um tipo de relação . ¶ (E na epistemologia moderna [Russell, Moore, etc.] essas proposições foram concebidas desta forma.)

5.542

Mas é claro que "A acredita que p ", A pensa p "," A diz p ", são da forma" ' p ' pensa p "; e aqui não temos nenhuma coordenação de um fato e um objeto, mas uma coordenação de fatos por meio de uma coordenação de seus objetos.

5,5421 [etc: "Uma alma composta não seria mais uma alma."] 5,5422

A explicação correta da forma da proposição "A julga p " deve mostrar que é impossível julgar um absurdo. (A teoria de Russell não satisfaz esta condição).

Uma possível interpretação da postura de Wittgenstein é que o pensador A, isto é, ' p ' é identicamente o pensamento p , desse modo a "alma" permanece uma unidade e não um composto. Portanto, proferir "o pensamento pensa o pensamento" é um absurdo, porque por 5.542 o enunciado não especifica nada.

von Neumann 1925

John von Neumann em seu 1925 "Uma axiomatização da teoria dos conjuntos" lutou com as mesmas questões que Russell, Zermelo, Skolem e Fraenkel. Ele rejeitou sumariamente o esforço de Russell:

Aqui Russell, J. Konig, Weyl e Brouwer devem ser mencionados. Eles chegaram a resultados inteiramente diferentes [dos teóricos dos conjuntos], mas o efeito geral de sua atividade me parece completamente devastador. Em Russell, toda a matemática e teoria dos conjuntos parecem repousar sobre o altamente problemático "axioma da redutibilidade", enquanto Weyl e Brouwer rejeitam sistematicamente a maior parte da matemática e da teoria dos conjuntos como completamente sem sentido.

Em seguida, ele nota o trabalho dos teóricos dos conjuntos Zermelo, Fraenkel e Schoenflies, em que "não se entende por" conjunto "nada além de um objeto do qual não se sabe mais e não se deseja saber mais do que o que se segue a partir dos postulados. postulados [da teoria dos conjuntos] devem ser formulados de tal forma que todos os teoremas desejados da teoria dos conjuntos de Cantor decorram deles, mas não as antinomias.

Enquanto ele menciona os esforços de David Hilbert para provar a consistência de sua axiomatização da matemática, von Neumann o colocou no mesmo grupo que Russell. Em vez disso, von Neumann considerou sua proposta "no espírito do segundo grupo ... Devemos, no entanto, evitar formar conjuntos por meio da coleta ou separação de elementos [durch Zusammenfassung oder Aussonderung von Elementen], e assim por diante, bem como evitar o princípio obscuro de 'definição' que ainda pode ser encontrado em Zermelo. [...] Preferimos, entretanto, axiomatizar não 'definir', mas 'função'. "

Van Heijenoort observa que, em última análise, esse sistema axiomático de von Neumann "foi simplificado, revisado e expandido ... e veio a ser conhecido como teoria dos conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel".

David Hilbert 1927

O sistema axiomático de David Hilbert que ele apresenta em seu The Foundations of Mathematics de 1925 é a expressão madura de uma tarefa que ele iniciou no início dos anos 1900, mas deixou passar por um tempo (cf. seu 1904 Sobre os fundamentos da lógica e da aritmética ). Seu sistema não é teórico nem derivado diretamente de Russell e Whitehead. Em vez disso, ele invoca 13 axiomas de lógica - quatro axiomas de implicação, seis axiomas de AND lógico e OR lógico, 2 axiomas de negação lógica e 1 axioma ε (axioma de "existência") - mais uma versão dos axiomas de Peano em 4 axiomas incluindo indução matemática , algumas definições que "têm o caráter de axiomas e certos axiomas de recursão que resultam de um esquema de recursão geral" mais algumas regras de formação que "governam o uso dos axiomas".

Hilbert afirma que, com relação a este sistema, ou seja, "a teoria dos fundamentos de Russell e Whitehead [,] ... o fundamento que ela fornece para a matemática repousa, primeiro, no axioma do infinito e, então, no que é chamado de axioma do redutibilidade, e ambos os axiomas são suposições genuínas de conteúdo que não são apoiadas por uma prova de consistência; são suposições cuja validade de fato permanece duvidosa e que, em qualquer caso, minha teoria não exige ... a redutibilidade não é pressuposta em meu teoria ... a execução da redução seria necessária apenas no caso de uma prova de uma contradição ser dada, e então, de acordo com a minha teoria da prova, essa redução sempre estaria fadada ao sucesso. "

É sobre essa base que a moderna teoria da recursão se baseia.

Ramsey 1925

Em 1925, Frank Plumpton Ramsey argumentou que não é necessário. No entanto, na segunda edição de Principia Mathematica (1927, página xiv) e no artigo de Ramsey de 1926, afirma-se que certos teoremas sobre números reais não poderiam ser provados usando a abordagem de Ramsey. A maioria dos formalismos matemáticos posteriores ( Formalismo de Hilbert ou Intuicionismo de Brower , por exemplo) não o usa.

Ramsey mostrou que é possível reformular a definição de predicativo usando as definições em Wittgenstein 's Tractatus Logico-Philosophicus . Como resultado, todas as funções de uma determinada ordem são predicativas , independentemente de como são expressas. Ele passa a mostrar que sua formulação ainda evita os paradoxos. No entanto, a teoria do "Tractatus" não parecia forte o suficiente para provar alguns resultados matemáticos.

Gödel 1944

Kurt Gödel em sua lógica matemática Russell de 1944 oferece nas palavras de seu comentarista Charles Parsons, "[o que] pode ser visto como uma defesa dessas atitudes [realistas] de Russell contra o reducionismo proeminente em sua filosofia e implícito em grande parte de sua trabalho lógico. Foi talvez a defesa mais robusta do realismo sobre a matemática e seus objetos desde os paradoxos e veio à consciência do mundo matemático após 1900 ".

Em geral, Gödel é simpático à noção de que uma função proposicional pode ser reduzida a (identificada com) os objetos reais que a satisfazem, mas isso causa problemas com respeito à teoria dos números reais, e até mesmo inteiros (p. 134). Ele observa que a primeira edição de PM "abandonou" a "atitude" realista (construtivista) com sua proposta do axioma da redutibilidade (p. 133). No entanto, na introdução à segunda edição de PM (1927), Gödel afirma que "a atitude construtivista é retomada" (p. 133) quando Russell "abandonou" o axioma da redutibilidade em favor da teoria da matriz (funcional de verdade) ; Russell "afirmou explicitamente que todos os predicados primitivos pertencem ao tipo mais baixo e que o único propósito das variáveis ​​(e, evidentemente, também das constantes) é tornar possível afirmar funções de verdade mais complicadas de proposições atômicas ... [ie] as superiores tipos e ordens são apenas uma façon de parler "(p. 134). Mas isso só funciona quando o número de indivíduos e predicados primitivos é finito, pois pode-se construir cadeias finitas de símbolos, como:

[exemplo na página 134]

E a partir de tais strings, pode-se formar strings de strings para obter o equivalente a classes de classes, com uma mistura de tipos possível. No entanto, a partir de tais cordas finitas, toda a matemática não pode ser construída porque não pode ser "analisada", ou seja, redutível à lei da identidade ou contestável por uma negação da lei:

Mesmo a teoria dos inteiros é não analítica, desde que se exija das regras de eliminação que elas permitam realmente realizar a eliminação em um número finito de etapas em cada caso. 44 ( 44 Porque isso implicaria na existência de um procedimento de decisão para todas as proposições aritméticas. Cf. Turing, 1937. ) ... [Assim] toda a matemática aplicada a sentenças de comprimento infinito deve ser pressuposta para provar [o] analiticidade [da teoria dos inteiros], por exemplo, o axioma da escolha pode ser provado como analítico apenas se for assumido como verdadeiro. (p. 139)

Mas ele observa que "este procedimento parece pressupor aritmética de uma forma ou de outra" (p. 134), e afirma no próximo parágrafo que "a questão de se (ou em que medida) a teoria dos inteiros pode ser obtida em a base da hierarquia ramificada deve ser considerada como não resolvida. " (p. 135)

Gödel propôs que se adotasse uma "abordagem mais conservadora":

tornar o significado dos termos "classe" e "conceito" mais claro e estabelecer uma teoria consistente de classes e conceitos como entidades objetivamente existentes. Este é o curso que o desenvolvimento real da lógica matemática tem tomado ... Entre as principais tentativas nessa direção ... estão a teoria simples dos tipos ... e a teoria dos conjuntos axiomática, ambas as quais tiveram sucesso pelo menos para dessa forma, permitem a derivação da matemática moderna e, ao mesmo tempo, evitam todos os paradoxos conhecidos. Muitos sintomas mostram claramente, entretanto, que os conceitos primitivos precisam de mais elucidação. (p. 140)

Quine 1967

Em uma crítica que também discute os prós e contras de Ramsey (1931) WVO Quine chama formulação de "tipos" de Russell para ser "problemático ... A confusão persiste como ele tenta definir ' n th proposições de ordem' ... o método é de fato estranhamente tortuoso ... o axioma da redutibilidade é discreto ", etc.

Como Stephen Kleene , Quine observa que Ramsey (1926) dividiu os vários paradoxos em duas variedades (i) "aqueles da teoria dos conjuntos puros" e (ii) aqueles derivados de "conceitos semânticos como falsidade e especificabilidade", e Ramsey acreditava que o a segunda variedade deveria ter sido deixada de fora da solução de Russell. Quine termina com a opinião de que "por causa da confusão de proposições com sentenças, e de atributos com suas expressões, a suposta solução de Russell para os paradoxos semânticos era enigmática de qualquer maneira".

Kleene 1952

Em sua seção "§12. Primeiras inferências dos paradoxos" (subcapítulo "LOGICISMO"), Stephen Kleene (1952) traça o desenvolvimento da teoria dos tipos de Russell:

Para adaptar a construção lógica [sic] da matemática à situação decorrente da descoberta dos paradoxos, Russell excluiu definições impredicativas por sua teoria ramificada dos tipos (1908, 1910).

Kleene observa que "para excluir definições impredicativas dentro de um tipo, os tipos acima do tipo 0 [objetos primários ou indivíduos" não sujeitos à análise lógica "] são posteriormente separados em ordens. Assim, para o tipo 1 [propriedades dos indivíduos, ou seja, resultados lógicos do cálculo proposicional ], propriedades definidas sem mencionar qualquer totalidade pertencem à ordem 0, e propriedades definidas usando a totalidade das propriedades de uma dada ordem abaixo para a próxima ordem superior) ".

Kleene, no entanto, observa entre parênteses que "a definição lógica do número natural agora se torna predicativa quando a [propriedade] P nele é especificada para variar apenas sobre as propriedades de uma determinada ordem; neste caso, a propriedade de ser um número natural é da próxima ordem superior ". Mas essa separação em ordens torna impossível construir a análise familiar, que [ver o exemplo de Kleene em Impredicativity ] contém definições impredicativas. Para escapar desse resultado, Russell postulou seu axioma de redutibilidade . Mas, pergunta Kleene, "em que bases devemos acreditar no axioma da redutibilidade?" Ele observa que, enquanto Principia Mathematica é apresentado como derivado de axiomas intuitivamente derivados que "foram feitos para serem acreditados sobre o mundo, ou pelo menos para serem aceitos como hipóteses plausíveis a respeito do mundo [,] ... se as propriedades devem ser construída, a questão deve ser resolvida com base em construções, não por um axioma. " Na verdade, ele cita Whitehead e Russell (1927) questionando seu próprio axioma: "claramente não é o tipo de axioma com o qual podemos nos contentar".

Kleene faz referência ao trabalho de Ramsey 1926, mas observa que "nem Whitehead e Russell nem Ramsey conseguiram atingir o objetivo lógico construtivamente" e "uma proposta interessante ... de Langford 1927 e Carnap 1931-2, também não está livre de dificuldades. " Kleene termina esta discussão com citações de Weyl (1946) de que "o sistema dos Principia Mathematica ... [é fundado em] uma espécie de paraíso lógico" e qualquer pessoa "que esteja pronta para acreditar neste 'mundo transcendental' também pode aceitar o sistema de teoria dos conjuntos axiomáticos (Zermelo, Fraenkel, etc), que, para a dedução da matemática, tem a vantagem de ser mais simples na estrutura. "

Notas

Referências

  • van Heijenoort, Jean (1967, 3ª impressão 1976), From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931 , Harvard University Press, Cambridge, MA, ISBN   0-674-32449-8 (pbk)
  • Russell, Bertrand (1903) The Principles of Mathematics: Vol. 1 , Cambridge na University Press, Cambridge, Reino Unido, republicado como um googlebook.
  • Whitehead, Alfred North e Russell, Bertrand (1910–1913, 2ª edição 1927, reimpressa edição 1962), Principia Mathematica to * 56 , Cambridge at University Press, London UK, sem ISBN ou número de catálogo dos EUA.
  • Mario Livio (2009), Is God a Mathematician? , Simon and Schuster, New York, NY, ISBN   978-0-7432-9405-8 .

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