Cohomologia de feixe coerente - Coherent sheaf cohomology

Na matemática , especialmente na geometria algébrica e na teoria das variedades complexas , a cohomologia de feixe coerente é uma técnica para produzir funções com propriedades especificadas. Muitas questões geométricas podem ser formuladas como questões sobre a existência de seções de feixes de linhas ou de feixes coerentes mais gerais ; tais seções podem ser vistas como funções generalizadas. A cohomologia fornece ferramentas computáveis ​​para produzir seções ou explicar por que elas não existem. Ele também fornece invariantes para distinguir uma variedade algébrica de outra.

Muito da geometria algébrica e geometria analítica complexa é formulada em termos de feixes coerentes e sua cohomologia.

Polias Coerentes

Feixes coerentes podem ser vistos como uma generalização de feixes de vetores . Há uma noção de um feixe analítico coerente em um espaço analítico complexo e uma noção análoga de um feixe algébrico coerente em um esquema . Em ambos os casos, o espaço dado vem com um feixe de anéis , o feixe de funções holomórficas ou funções regulares , e feixes coerentes são definidos como uma subcategoria completa da categoria de - módulos (isto é, feixes de - módulos). ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$

Os pacotes vetoriais, como o pacote tangente, desempenham um papel fundamental na geometria. De modo mais geral, para uma subvariedade fechada de com inclusão , um feixe vetorial ligado determina um feixe coerente ligado , o feixe de imagem direta , que é zero do lado de fora . Dessa forma, muitas questões sobre as subvariedades de podem ser expressas em termos de feixes coerentes em . ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle i: Y \ a X}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle i _ {*} E}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Ao contrário dos feixes de vetores, feixes coerentes (no caso analítico ou algébrico) formam uma categoria abeliana e, portanto, são fechados em operações como tirar grãos , imagens e coqueirais . Em um esquema, os feixes quase coerentes são uma generalização dos feixes coerentes, incluindo os feixes localmente livres de classificação infinita.

Cohomologia de feixe

Para um feixe de grupos abelianos em um espaço topológico , os grupos de cohomologia de feixe para inteiros são definidos como os functores derivados corretos do functor de seções globais ,. Como resultado, é zero para e pode ser identificado com . Para qualquer sequência exata curta de feixes , há uma sequência exata longa de grupos de cohomologia: ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle H ^ {i} (X, {\ mathcal {F}})}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ mapsto {\ mathcal {F}} (X)}$${\ displaystyle H ^ {i} (X, {\ mathcal {F}})}$${\ displaystyle i <0}$${\ displaystyle H ^ {0} (X, {\ mathcal {F}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (X)}$${\ displaystyle 0 \ to {\ mathcal {A}} \ to {\ mathcal {B}} \ to {\ mathcal {C}} \ to 0}$

${\ displaystyle 0 \ a H ^ {0} (X, {\ mathcal {A}}) \ a H ^ {0} (X, {\ mathcal {B}}) \ a H ^ {0} (X, {\ mathcal {C}}) \ para H ^ {1} (X, {\ mathcal {A}}) \ para \ cdots.}$

Se for um feixe de -módulos em um esquema , os grupos de cohomologia (definidos usando o espaço topológico subjacente de ) são módulos sobre o anel de funções regulares. Por exemplo, se é um esquema sobre um campo , os grupos de cohomologia são - espaços vetoriais . A teoria torna-se poderosa quando é um feixe coerente ou quase coerente, devido à seguinte sequência de resultados. ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle H ^ {i} (X, {\ mathcal {F}})}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (X)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle H ^ {i} (X, {\ mathcal {F}})}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Teoremas de desaparecimento no caso afim

A análise complexa foi revolucionada pelos teoremas A e B de Cartan em 1953. Esses resultados dizem que se é um feixe analítico coerente em um espaço de Stein , então é medido por suas seções globais , e para todos . (Um espaço complexo é Stein se e somente se for isomorfo a um subespaço analítico fechado de para alguns .) Esses resultados generalizam um grande corpo de trabalhos mais antigos sobre a construção de funções analíticas complexas com singularidades dadas ou outras propriedades. ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle H ^ {i} (X, {\ mathcal {F}}) = 0}$${\ displaystyle i> 0}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ displaystyle n}$

Em 1955, Serre introduziu feixes coerentes na geometria algébrica (a princípio em um campo algébricamente fechado , mas essa restrição foi removida por Grothendieck ). Os análogos dos teoremas de Cartan têm grande generalidade: se é um feixe quase coerente em um esquema afim , então é medido por suas seções globais, e para . Isso está relacionado ao fato de que a categoria de feixes quase coerentes em um esquema afim é equivalente à categoria de -módulos, com a equivalência levando um feixe para o -módulo . Na verdade, os esquemas afins são caracterizados entre todos os esquemas quase compactos pelo desaparecimento da cohomologia superior para feixes quase coerentes. ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle H ^ {i} (X, {\ mathcal {F}}) = 0}$${\ displaystyle i> 0}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (X)}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (X)}$${\ displaystyle H ^ {0} (X, {\ mathcal {F}})}$

A cohomologia Čech e a cohomologia do espaço projetivo

Como uma consequência do desaparecimento da cohomología para regimes afins: para um esquema separada , uma cobertura aberta afim de , e um feixe quase-coerente no , os grupos cohomología são isomorfos aos cohomología Čech grupos no que diz respeito à cobertura aberta . Em outras palavras, conhecer as seções de em todas as interseções finitas dos subesquemas abertos afins determina a cohomologia de com coeficientes em . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ {U_ {i} \}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle H ^ {*} (X, {\ mathcal {F}})}$${\ displaystyle \ {U_ {i} \}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle U_ {i}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Usando a cohomologia Čech, pode-se calcular a cohomologia do espaço projetivo com coeficientes em qualquer feixe de linha. Ou seja, para um campo , um número inteiro positivo , e qualquer número inteiro , o cohomología de espaço projectiva ao longo com coeficientes no feixe de linha é dada por: ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (j)}$

${\ displaystyle H ^ {i} (\ mathbb {P} ^ {n}, {\ mathcal {O}} (j)) \ cong {\ begin {cases} \ bigoplus _ {a_ {0}, \ ldots, a_ {n} \ geq 0, \; a_ {0} + \ cdots + a_ {n} = j} \; k \ cdot x_ {0} ^ {a_ {0}} \ cdots x_ {n} ^ {a_ {n}} & i = 0 \\ [6pt] 0 & i \ neq 0, n \\ [6pt] \ bigoplus _ {a_ {0}, \ ldots, a_ {n} <0, \; a_ {0} + \ cdots + a_ {n} = j} \; k \ cdot x_ {0} ^ {a_ {0}} \ cdots x_ {n} ^ {a_ {n}} & i = n \ end {casos}}}$

Em particular, este cálculo mostra que a cohomologia do espaço projetivo com coeficientes em qualquer feixe de linha tem dimensão finita como um espaço vetorial. ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$

O desaparecimento desses grupos de cohomologia acima da dimensão é um caso muito especial do teorema do desaparecimento de Grothendieck : para qualquer feixe de grupos abelianos em um espaço topológico de dimensão Noetheriano , para todos . Isso é especialmente útil para um esquema Noetheriano (por exemplo, uma variedade em um campo) e um feixe quase coerente. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle n <\ infty}$${\ displaystyle H ^ {i} (X, {\ mathcal {F}}) = 0}$${\ displaystyle i> n}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Cohomologia de feixe de curvas planas

Dada uma curva de grau plana projetiva suave , a cohomologia do feixe pode ser prontamente calculada usando uma longa sequência exata em cohomologia. Primeiro note que para a incorporação existe o isomorfismo de grupos de cohomologia ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle H ^ {*} (C, {\ mathcal {O}} _ {C})}$${\ displaystyle i: C \ to \ mathbb {P} ^ {2}}$

${\ displaystyle H ^ {*} (\ mathbb {P} ^ {2}, i _ {*} {\ mathcal {O}} _ {C}) \ cong H ^ {*} (C, {\ mathcal {O }} _ {C})}$

uma vez que é exato. Isso significa que a curta sequência exata de feixes coerentes ${\ displaystyle i _ {*}}$

${\ displaystyle 0 \ to {\ mathcal {O}} (- d) \ to {\ mathcal {O}} \ to i _ {*} {\ mathcal {O}} _ {C} \ to 0}$

on , chamada de sequência ideal , pode ser usada para calcular a cohomologia por meio da longa sequência exata em cohomologia. A sequência é lida como ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} 0 & \ to H ^ {0} (\ mathbb {P} ^ {2}, {\ mathcal {O}} (- d)) \ to H ^ {0} (\ mathbb {P} ^ {2}, {\ mathcal {O}}) \ para H ^ {0} (\ mathbb {P} ^ {2}, {\ mathcal {O}} _ {C}) \\ & \ para H ^ {1} (\ mathbb {P} ^ {2}, {\ mathcal {O}} (- d)) \ para H ^ {1} (\ mathbb {P} ^ {2}, {\ mathcal {O}}) \ para H ^ {1} (\ mathbb {P} ^ {2}, {\ mathcal {O}} _ {C}) \\ & \ para H ^ {2} (\ mathbb {P } ^ {2}, {\ mathcal {O}} (- d)) \ para H ^ {2} (\ mathbb {P} ^ {2}, {\ mathcal {O}}) \ para H ^ {2 } (\ mathbb {P} ^ {2}, {\ mathcal {O}} _ {C}) \ end {alinhado}}}$

que pode ser simplificado usando os cálculos anteriores no espaço projetivo. Para simplificar, suponha que o anel de base seja (ou qualquer campo algébricamente fechado). Depois, há os isomorfismos ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} H ^ {0} (C, {\ mathcal {O}} _ {C}) & \ cong H ^ {0} (\ mathbb {P} ^ {2}, {\ mathcal {O}}) \\ H ^ {1} (C, {\ mathcal {O}} _ {C}) & \ cong H ^ {2} (\ mathbb {P} ^ {2}, {\ mathcal {O}} (- d)) \ end {alinhado}}}$

que mostra que a curva é um espaço vetorial de dimensão finita de classificação ${\ displaystyle H ^ {1}}$

${\ displaystyle {d-1 \ escolha d-3} = {\ frac {(d-1) (d-2)} {2}}}$ .

Teorema de Kunneth

Existe um análogo da fórmula de Kunneth na cohomologia de feixes coerente para produtos de variedades. Dados esquemas quase compactos com diagonais afins sobre um campo , (por exemplo, esquemas separados), e let e , então há um isomorfismo ${\ displaystyle X, Y}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ in {\ text {Coh}} (X)}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}} \ in {\ text {Coh}} (Y)}$

${\ displaystyle H ^ {k} (X \ times _ {{\ text {Spec}} (k)} Y, \ pi _ {1} ^ {*} {\ mathcal {F}} \ otimes _ {{\ mathcal {O}} _ {X \ times _ {{\ text {Spec}} (k)} Y}} \ pi _ {2} ^ {*} {\ mathcal {G}}) \ cong \ bigoplus _ { i + j = k} H ^ {i} (X, {\ mathcal {F}}) \ otimes _ {k} H ^ {j} (Y, {\ mathcal {G}})}$

onde estão as projeções canônicas de para . ${\ displaystyle \ pi _ {1}, \ pi _ {2}}$${\ displaystyle X \ times _ {{\ text {Spec}} (k)} Y}$${\ displaystyle X, Y}$

Cohomologia de feixe de curvas de computação

Em , uma seção genérica de define uma curva , dando a sequência ideal ${\ displaystyle X = \ mathbb {P} ^ {1} \ times \ mathbb {P} ^ {1}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} (a, b) = \ pi _ {1} ^ {*} {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^ {1}} ( a) \ otimes _ {{\ mathcal {O}} _ {X}} \ pi _ {2} ^ {*} {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {P} ^ {1}} (b) }$${\ displaystyle C}$

${\ displaystyle 0 \ to {\ mathcal {O}} _ {X} (- a, -b) \ to {\ mathcal {O}} _ {X} \ to {\ mathcal {O}} _ {C} \ para 0}$

Então, a longa sequência exata é lida como

${\ displaystyle {\ begin {align} 0 & \ to H ^ {0} (X, {\ mathcal {O}} (- a, -b)) \ ​​to H ^ {0} (X, {\ mathcal {O }}) \ para H ^ {0} (X, {\ mathcal {O}} _ {C}) \\ & \ para H ^ {1} (X, {\ mathcal {O}} (- a, - b)) \ ​​para H ^ {1} (X, {\ mathcal {O}}) \ para H ^ {1} (X, {\ mathcal {O}} _ {C}) \\ & \ para H ^ {2} (X, {\ mathcal {O}} (- a, -b)) \ ​​para H ^ {2} (X, {\ mathcal {O}}) \ para H ^ {2} (X, { \ mathcal {O}} _ {C}) \ end {alinhado}}}$

dando

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} H ^ {0} (C, {\ mathcal {O}} _ {C}) & \ cong H ^ {0} (X, {\ mathcal {O}}) \\ H ^ {1} (C, {\ mathcal {O}} _ {C}) & \ cong H ^ {2} (X, {\ mathcal {O}} (- a, -b)) \ ​​end {alinhado }}}$

Como é o gênero da curva, podemos usar a fórmula de Kunneth para calcular seus números de Betti. Isso é ${\ displaystyle H ^ {1}}$

${\ displaystyle H ^ {2} (X, {\ mathcal {O}} _ {X} (- a, -b)) \ ​​cong H ^ {1} (\ mathbb {P} ^ {1}, {\ mathcal {O}} (- a)) \ otimes _ {k} H ^ {1} (\ mathbb {P} ^ {1}, {\ mathcal {O}} (- b))}$

qual é de categoria

${\ displaystyle {\ binom {a-1} {a-2}} {\ binom {b-1} {b-2}} = (a-1) (b-1) = ab-a-b + 1 }$

para . Em particular, se é definido pelo locus de desaparecimento de uma seção genérica de , é do gênero ${\ displaystyle -a, -b \ leq -2}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (2, k)}$

${\ displaystyle 2k-2-k + 1 = k-1}$

portanto, uma curva de qualquer gênero pode ser encontrada dentro de . ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {1} \ times \ mathbb {P} ^ {1}}$

Dimensionalidade finita

Para um esquema adequado sobre um campo e qualquer feixe coerente sobre os grupos de cohomologia tem dimensão finita como espaços -vector. No caso especial onde é projectiva ao longo , isto é demonstrado pela redução para o caso de feixes de linha no espaço projectiva, discutidos acima. No caso geral de um esquema adequado sobre um campo, Grothendieck provou a finitude da cohomologia reduzindo ao caso projetivo, usando o lema de Chow . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle H ^ {i} (X, {\ mathcal {F}})}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle k}$

A dimensionalidade finita da cohomologia também se mantém na situação análoga de feixes analíticos coerentes em qualquer espaço complexo compacto , por um argumento muito diferente. Cartan e Serre provaram dimensionalidade finita nesta situação analítica usando um teorema de Schwartz sobre operadores compactos em espaços de Fréchet . Versões relativas deste resultado para um morfismo adequado foram provadas por Grothendieck (para esquemas localmente Noetherianos) e por Grauert (para espaços analíticos complexos). Ou seja, para um morphism adequada (na definição algébrica ou analítica) e um feixe coerente sobre os imagem direta maiores feixes são coerentes. Quando é um ponto, este teorema fornece a dimensionalidade finita da cohomologia. ${\ displaystyle f: X \ a Y}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle R ^ {i} f _ {*} {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle Y}$

A dimensionalidade finita da cohomologia leva a muitos invariantes numéricos para variedades projetivas. Por exemplo, se for uma curva projetiva suave sobre um campo algébricamente fechado , o gênero de é definido como a dimensão do espaço vetorial . Quando é o campo dos números complexos, isso está de acordo com o gênero do espaço de pontos complexos em sua topologia clássica (euclidiana). (Nesse caso, é uma superfície orientada fechada .) Entre muitas generalizações de dimensões superiores possíveis, o gênero geométrico de uma variedade projetiva suave de dimensão é a dimensão de , e o gênero aritmético (de acordo com uma convenção) é a soma alternada ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle H ^ {1} (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle X (\ mathbb {C})}$${\ displaystyle X (\ mathbb {C}) = X ^ {an}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle H ^ {n} (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$

${\ displaystyle \ chi (X, {\ mathcal {O}} _ {X}) = \ sum _ {j} (- 1) ^ {j} \ dim _ {k} (H ^ {j} (X, {\ mathcal {O}} _ {X})).}$

Dualidade de Serre

A dualidade de Serre é um análogo da dualidade de Poincaré para uma cohomologia de feixe coerente. Nessa analogia, o feixe canônico desempenha o papel de feixe de orientação . Ou seja, para um esquema de dimensão adequado e uniforme sobre um campo , existe um mapa de traços naturais , que é um isomorfismo se estiver geometricamente conectado , o que significa que a mudança de base de para um fechamento algébrico de está conectado . Dualidade Serre para um pacote vector on diz que o produto ${\ displaystyle K_ {X}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle H ^ {n} (X, K_ {X}) \ a k}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle H ^ {i} (X, E) \ times H ^ {ni} (X, K_ {X} \ otimes E ^ {*}) \ to H ^ {n} (X, K_ {X}) \ para k}$

é um emparelhamento perfeito para cada número inteiro . Em particular, os espaços -vetoriais e têm a mesma dimensão (finita). (Serre também provou a dualidade de Serre para feixes de vetores holomórficos em qualquer variedade complexa compacta.) A teoria da dualidade de Grothendieck inclui generalizações para qualquer feixe coerente e qualquer morfismo adequado de esquemas, embora as declarações se tornem menos elementares. ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle H ^ {i} (X, E)}$${\ displaystyle H ^ {ni} (X, K_ {X} \ otimes E ^ {*})}$

Por exemplo, para uma curva projetiva suave sobre um campo algébricamente fechado , a dualidade de Serre implica que a dimensão do espaço das formas 1 em é igual ao gênero de (a dimensão de ). ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle H ^ {0} (X, \ Omega ^ {1}) = H ^ {0} (X, K_ {X})}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle H ^ {1} (X, {\ mathcal {O}} _ {X})}$

Teoremas GAGA

Os teoremas GAGA relacionam variedades algébricas sobre os números complexos aos espaços analíticos correspondentes. Para um esquema X de tipo finito sobre C , há um functor de feixes algébricos coerentes em X para feixes analíticos coerentes no espaço analítico associado X ^an . O teorema GAGA chave (de Grothendieck, generalizando o teorema de Serre no caso projetivo) é que se X é próprio sobre C , então este functor é uma equivalência de categorias. Além disso, para cada feixe algébrico coerente E em um esquema adequado X sobre C , o mapa natural

${\ displaystyle H ^ {i} (X, E) \ a H ^ {i} (X ^ {\ text {an}}, E ^ {\ text {an}})}$

de espaços vetoriais complexos (de dimensão finita) é um isomorfismo para todo i . (O primeiro grupo aqui é definido usando a topologia de Zariski, e o segundo usando a topologia clássica (euclidiana).) Por exemplo, a equivalência entre feixes coerentes algébricos e analíticos no espaço projetivo implica o teorema de Chow de que todo subespaço analítico fechado de CP ⁿ é algébrico.

Teoremas de desaparecimento

Serre do desaparecimento teorema diz que, para qualquer pacote ampla linha em um esquema adequado ao longo de um anel Noetheriano e qualquer feixe coerente em , há um número inteiro de tal forma que para todos , o feixe é gerado por suas seções globais e não tem cohomology em graus positivos. ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle m_ {0}}$${\ displaystyle m \ geq m_ {0}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ otimes L ^ {\ otimes m}}$

Embora o teorema de desaparecimento de Serre seja útil, a inexplicidade do número pode ser um problema. O teorema do desaparecimento de Kodaira é um resultado explícito importante. Ou seja, se é uma variedade projetiva suave sobre um campo de característica zero, é um feixe de linha amplo e um feixe canônico , então ${\ displaystyle m_ {0}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle K_ {X}}$

${\ displaystyle H ^ {j} (X, K_ {X} \ otimes L) = 0}$

para todos . Observe que o teorema de Serre garante o mesmo desaparecimento para grandes potências de . O desaparecimento de Kodaira e suas generalizações são fundamentais para a classificação de variedades algébricas e o programa de modelo mínimo . O desaparecimento de Kodaira falha em campos de característica positiva. ${\ displaystyle j> 0}$${\ displaystyle L}$

Teoria de Hodge

O teorema de Hodge relaciona a cohomologia de feixe coerente à cohomologia singular (ou cohomologia de de Rham ). Ou seja, se é uma variedade projetiva complexa suave, então há uma decomposição de soma direta canônica de espaços vetoriais complexos: ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle H ^ {a} (X, \ mathbf {C}) \ cong \ bigoplus _ {b = 0} ^ {a} H ^ {ab} (X, \ Omega ^ {b}),}$

para cada . O grupo à esquerda significa a cohomologia singular de em sua topologia clássica (euclidiana), enquanto os grupos à direita são grupos de cohomologia de feixes coerentes, que (por GAGA) podem ser tomados no Zariski ou na topologia clássica. A mesma conclusão é válida para qualquer regime adequado lisa sobre , ou para qualquer compacto colector Kähler . ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle X (\ mathbf {C})}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbf {C}}$

Por exemplo, o teorema de Hodge implica que a definição do gênero de uma curva projetiva suave como a dimensão de , que faz sentido sobre qualquer campo , concorda com a definição topológica (como a metade do primeiro número de Betti ) quando são os números complexos. A teoria de Hodge inspirou um grande corpo de trabalho sobre as propriedades topológicas de variedades algébricas complexas. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle H ^ {1} (X, {\ mathcal {O}})}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$

Teoremas de Riemann-Roch

Para um esquema X adequado sobre um campo k , a característica de Euler de um feixe coerente E em X é o inteiro

${\ displaystyle \ chi (X, E) = \ sum _ {j} (- 1) ^ {j} \ dim _ {k} (H ^ {j} (X, E)).}$

A característica de Euler de um feixe coerente E pode ser calculada a partir das classes de Chern de E , de acordo com o teorema de Riemann-Roch e suas generalizações, o teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch e o teorema de Grothendieck-Riemann-Roch . Por exemplo, se L é um feixe de linha em uma curva X geometricamente conectada adequada e suave sobre um campo k , então

${\ displaystyle \ chi (X, L) = {\ text {deg}} (L) - {\ text {genus}} (X) +1,}$

onde deg ( G ) indica o grau de L .

Quando combinado com um teorema de desaparecimento, o teorema de Riemann-Roch pode frequentemente ser usado para determinar a dimensão do espaço vetorial das seções de um feixe de linhas. Saber que um feixe de linha em X tem seções suficientes, por sua vez, pode ser usado para definir um mapa de X para o espaço projetivo, talvez uma imersão fechada. Esta abordagem é essencial para classificar variedades algébricas.

O teorema de Riemann-Roch também é válido para feixes de vetores holomórficos em uma variedade complexa compacta, pelo teorema do índice de Atiyah-Singer .

Crescimento

Dimensões de grupos de cohomologia em um esquema de dimensão n podem crescer no máximo como um polinômio de grau n .

Deixe X ser um esquema projectiva de dimensão n e D um divisor em X . Se houver algum feixe coerente em X, então ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

${\ displaystyle h ^ {i} (X, {\ mathcal {F}} (mD)) = O (m ^ {n})}$ para cada i .

Para uma cohomologia superior de nef divisor D em X ;

${\ displaystyle h ^ {i} (X, {\ mathcal {O}} _ {X} (mD)) = O (m ^ {n-1})}$

Formulários

Dado um esquema X sobre um campo k , a teoria da deformação estuda as deformações de X para vizinhanças infinitesimais. O caso mais simples, relativo às deformações sobre o anel de números duais , examina se existe um esquema X _R sobre Spec R tal que a fibra especial${\ displaystyle R: = k [\ epsilon] / \ epsilon ^ {2}}$

${\ displaystyle X_ {R} \ times _ {\ operatorname {Spec} R} \ operatorname {Spec} k}$

é isomórfico ao X fornecido . A cohomologia de feixe coerente com coeficientes no feixe tangente controla esta classe de deformações de X , desde que X seja suave. Nomeadamente, ${\ displaystyle T_ {X}}$

• classes de isomorfismo de deformações do tipo acima são parametrizadas pela primeira cohomologia coerente , ${\ displaystyle H ^ {1} (X, T_ {X})}$
• há um elemento (chamado de classe de obstrução ) no qual desaparece se e somente se uma deformação de X sobre Spec R como acima existe. ${\ displaystyle H ^ {2} (X, T_ {X})}$

Notas

Referências

• Grauert, Hans ; Remmert, Reinhold (1984), Coherent Analytic Sheaves , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 265 , Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-642-69582-7 , ISBN   3-540-13178-7 , MR   0755331
• Grothendieck, Alexandre ; Raynaud, Michèle (2003) [1971], Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960–61 - Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1) (Documentos Mathématiques 3 ) , Paris: Société Mathématique de France , arXiv : math.AG/ 0206203 , ISBN   978-2-85629-141-2 , MR   2017446
• Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1961). "Eléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie" . Publicações Mathématiques de l'IHÉS . 11 . doi : 10.1007 / bf02684274 . MR   0217085 .
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry , Graduate Texts in Mathematics , 52 , Nova York: Springer-Verlag, ISBN   978-0-387-90244-9 , MR   0463157
• Serre, Jean-Pierre (1955), "Faisceaux algébriques cohérents", Annals of Mathematics , 61 (2): 197–278, doi : 10.2307 / 1969915 , JSTOR   1969915 , MR   0068874

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