Matrizes gama - Gamma matrices

Em física matemáticas , as gama matrizes , , também conhecida como os Dirac matrizes , são um conjunto de matrizes convencionais com específicos anticommutation relações que asseguram eles gerar uma representação matricial da álgebra de Clifford Cl _1,3 ( R ). Também é possível definir matrizes gama de dimensões superiores . Quando interpretada como as matrizes da acção de um conjunto de ortogonais vetores de base para contravariantes vetores em espaço de Minkowski , os vetores coluna em que as matrizes de agir se tornar um espaço de spinors , em que a álgebra de Clifford de espaço-tempo atua. Isso, por sua vez, torna possível representar rotações espaciais infinitesimais e aumentos de Lorentz . Os spinors facilitam os cálculos do espaço-tempo em geral e, em particular, são fundamentais para a equação de Dirac para partículas spin-½ relativísticas . ${\ displaystyle \ left \ {\ gamma ^ {0}, \ gamma ^ {1}, \ gamma ^ {2}, \ gamma ^ {3} \ right \}}$

Na representação de Dirac , as quatro matrizes gama contravariantes são

${\ displaystyle {\ begin {align} \ gamma ^ {0} & = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \ end {pmatrix}}, & \ gamma ^ {1 } & = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}, \\\\\ gamma ^ {2} & = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ - i & 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}, & \ gamma ^ {3} & = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \ end {pmatrix} }. \ end {alinhado}}}$

${\ displaystyle \ gamma ^ {0}}$é a matriz hermitiana semelhante ao tempo. As outras três são matrizes anti-hermitianas semelhantes a espaços. Mais compactamente,, e , onde denota o produto de Kronecker e (para j = 1, 2, 3 ) denota as matrizes de Pauli . ${\ displaystyle \ gamma ^ {0} = \ sigma ^ {3} \ otimes I}$${\ displaystyle \ gamma ^ {j} = i \ sigma ^ {2} \ otimes \ sigma ^ {j}}$${\ displaystyle \ otimes}$${\ displaystyle \ sigma ^ {j}}$

As matrizes gama possuem uma estrutura de grupo, o grupo gama , que é compartilhada por todas as representações matriciais do grupo, em qualquer dimensão, para qualquer assinatura da métrica. Por exemplo, as matrizes de Pauli são um conjunto de matrizes "gama" na dimensão 3 com métrica de assinatura euclidiana (3, 0). Em 5 dimensões do espaço-tempo, os 4 gamas acima, juntamente com a quinta gama-matriz a ser apresentada abaixo, geram a álgebra de Clifford.

Estrutura matemática

A propriedade que define as matrizes gama para gerar uma álgebra de Clifford é a relação de anticomutação

${\ displaystyle \ left \ {\ gamma ^ {\ mu}, \ gamma ^ {\ nu} \ right \} = \ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} + \ gamma ^ {\ nu} \ gama ^ {\ mu} = 2 \ eta ^ {\ mu \ nu} I_ {4},}$

onde está o anticomutador , é a métrica de Minkowski com assinatura (+ - - -) e é a matriz de identidade 4 × 4 . ${\ displaystyle \ {, \}}$${\ displaystyle \ eta ^ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle I_ {4}}$

Esta propriedade de definição é mais fundamental do que os valores numéricos usados ​​na representação específica das matrizes gama. Matrizes covariantes gama são definidas por

${\ displaystyle \ gamma _ {\ mu} = \ eta _ {\ mu \ nu} \ gamma ^ {\ nu} = \ left \ {\ gamma ^ {0}, - \ gamma ^ {1}, - \ gamma ^ {2}, - \ gamma ^ {3} \ right \},}$

e a notação de Einstein é assumida.

Observe que a outra convenção de sinal para a métrica, (- + + +) requer uma mudança na equação de definição:

${\ displaystyle \ left \ {\ gamma ^ {\ mu}, \ gamma ^ {\ nu} \ right \} = - 2 \ eta ^ {\ mu \ nu} I_ {4}}$

ou uma multiplicação de todas as matrizes gama por , que obviamente altera suas propriedades de hermiticidade detalhadas abaixo. Sob a convenção de sinais alternativos para a métrica, as matrizes covariantes gama são então definidas por ${\ displaystyle i}$

${\ displaystyle \ gamma _ {\ mu} = \ eta _ {\ mu \ nu} \ gamma ^ {\ nu} = \ left \ {- \ gamma ^ {0}, + \ gamma ^ {1}, + \ gamma ^ {2}, + \ gamma ^ {3} \ right \}.}$

Estrutura física

A álgebra de Clifford Cl _1,3 (ℝ) sobre o espaço-tempo V pode ser considerada como o conjunto de operadores lineares reais de V para si mesmo, End ( V ) , ou mais geralmente, quando complexificado para Cl _1,3 (ℝ) _ℂ , como o conjunto de operadores lineares de qualquer espaço vetorial complexo quadridimensional para ele mesmo. Mais simplesmente, dada uma base para V , Cl _1,3 (ℝ) _ℂ é apenas o conjunto de todas as matrizes complexas 4 × 4 , mas dotado de uma estrutura de álgebra de Clifford. O espaço-tempo é assumido como dotado da métrica de Minkowski η _μν . Um espaço de bispinores, U _x , também é assumido em todos os pontos do espaço-tempo, dotado da representação bispinor do grupo de Lorentz . Os campos bispinor Ψ das equações de Dirac, avaliados em qualquer ponto x no espaço-tempo, são elementos de U _x , veja abaixo. Presume-se que a álgebra de Clifford também atue em U _x (por multiplicação de matrizes com vetores de coluna Ψ ( x ) em U _x para todos os x ). Esta será a visão primária dos elementos de Cl _1,3 (ℝ) _ℂ nesta seção.

Para cada transformação linear S de U _x , há uma transformação de End ( U _x ) dada por SES ⁻¹ para E em Cl _1,3 (ℝ) _ℂ ≈ End ( U _x ) . Se S pertence a uma representação do grupo de Lorentz, então a ação induzida E ↦ SES ⁻¹ também pertencerá a uma representação do grupo de Lorentz, veja Teoria de representação do grupo de Lorentz .

Se S (Λ) é a representação bispinor agindo em U _x de uma transformação de Lorentz arbitrária Λ na representação padrão (de 4 vetores) agindo em V , então há um operador correspondente em End ( U _x ) = Cl _1,3 ( ℝ) _ℂ dado por

${\ displaystyle \ gamma ^ {\ mu} \ mapsto S (\ Lambda) \ gamma ^ {\ mu} S (\ Lambda) ^ {- 1} = {\ left (\ Lambda ^ {- 1} \ right) ^ {\ mu}} _ {\ nu} \ gamma ^ {\ nu} = {\ Lambda _ {\ nu}} ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu},}$

mostrando que o γ ^μ pode ser visto como uma base de um espaço de representação da representação de 4 vetores do grupo de Lorentz sentado dentro da álgebra de Clifford. A última identidade pode ser reconhecida como a relação de definição para matrizes pertencentes a um grupo ortogonal indefinido , que é escrito em notação indexada. Isso significa que as quantidades do formulário ${\ displaystyle \ eta \ Lambda ^ {\ textf {T}} \ eta = \ Lambda ^ {- 1},}$

${\ displaystyle a \! \! \! /: = a _ {\ mu} \ gamma ^ {\ mu}}$

deve ser tratado como 4 vetores nas manipulações. Isso também significa que os índices podem ser aumentados e diminuídos no γ usando a métrica η _μν como com qualquer vetor 4. A notação é chamada de notação de barra de Feynman . A operação de barra mapeia a base e _μ de V , ou qualquer espaço vetorial 4-dimensional, para vetores de base γ _μ . A regra de transformação para quantidades reduzidas é simplesmente

${\ displaystyle {a \! \! \! /} ^ {\ mu} \ mapsto {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} {a \! \! \! /} ^ {\ nu}. }$

Deve-se notar que isso é diferente da regra de transformação para o γ ^μ , que agora são tratados como vetores de base (fixos). A designação da 4-tupla ( γ ^μ ) = ( γ ⁰ , γ ¹ , γ ² , γ ³ ) como um vetor 4 algumas vezes encontrada na literatura é, portanto, um pequeno equívoco. A última transformação corresponde a uma transformação ativa dos componentes de uma quantidade reduzida em termos da base γ ^μ , e a primeira a uma transformação passiva da própria base γ ^μ .

Os elementos σ ^μν = γ ^μ γ ^ν - γ ^ν γ ^μ formam uma representação da álgebra de Lie do grupo de Lorentz. Esta é uma representação de spin. Quando essas matrizes, e combinações lineares delas, são exponenciadas, elas são representações bispinor do grupo de Lorentz, por exemplo, o S (Λ) acima são desta forma. O espaço 6-dimensional do intervalo σ ^μν é o espaço de representação de uma representação tensorial do grupo de Lorentz. Para os elementos de ordem superior da álgebra de Clifford em geral e suas regras de transformação, consulte o artigo Álgebra de Dirac . A representação de spin do grupo de Lorentz é codificada no grupo de spin Spin (1, 3) (para espinores reais não carregados) e no grupo de spin complexificado Spin (1, 3) para espinores carregados (Dirac).

Expressando a equação de Dirac

Em unidades naturais , a equação de Dirac pode ser escrita como

${\ displaystyle \ left (i \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} -m \ right) \ psi = 0}$

onde está um spinor de Dirac. ${\ displaystyle \ psi}$

Mudando para a notação de Feynman , a equação de Dirac é

${\ displaystyle (i {\ partial \! \! \! /} - m) \ psi = 0.}$

A quinta matriz "gama", γ ⁵

É útil definir um produto das quatro matrizes gama como , de modo que ${\ displaystyle \ gamma ^ {5} = \ sigma _ {1} \ otimes I}$

${\ displaystyle \ gamma ^ {5}: = i \ gamma ^ {0} \ gamma ^ {1} \ gamma ^ {2} \ gamma ^ {3} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}}$ (na base Dirac).

Embora usa a letra gama, ele não é um das matrizes gama de Cl _1,3 ( R ). O número 5 é uma relíquia da antiga notação em que se chamava " ". ${\ displaystyle \ gamma ^ {5}}$${\ displaystyle \ gamma ^ {0}}$${\ displaystyle \ gamma ^ {4}}$

${\ displaystyle \ gamma ^ {5}}$ também tem uma forma alternativa:

${\ displaystyle \ gamma ^ {5} = {\ frac {i} {4!}} \ varepsilon ^ {\ mu \ nu \ alpha \ beta} \ gamma _ {\ mu} \ gamma _ {\ nu} \ gamma _ {\ alpha} \ gamma _ {\ beta}}$

usando a convenção , ou ${\ displaystyle \ varepsilon _ {0123} = 1}$

${\ displaystyle \ gamma ^ {5} = - {\ frac {i} {4!}} \ varepsilon ^ {\ mu \ nu \ alpha \ beta} \ gamma _ {\ mu} \ gamma _ {\ nu} \ gamma _ {\ alpha} \ gamma _ {\ beta}}$

usando a convenção . Prova: ${\ displaystyle \ varepsilon ^ {0123} = 1}$

Isso pode ser visto explorando o fato de que todas as quatro matrizes gama são anticomutadas, então

${\ displaystyle \ gamma ^ {0} \ gamma ^ {1} \ gamma ^ {2} \ gamma ^ {3} = \ gamma ^ {[0} \ gamma ^ {1} \ gamma ^ {2} \ gamma ^ {3]} = {\ frac {1} {4!}} \ Delta _ {\ mu \ nu \ varrho \ sigma} ^ {0123} \ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} \ gamma ^ {\ varrho} \ gamma ^ {\ sigma}}$,

onde está o tipo (4,4) delta de Kronecker generalizado em 4 dimensões, em total anti-simetrização . Se denota o símbolo Levi-Civita em n dimensões, podemos usar a identidade . Então obtemos, usando a convenção , ${\ displaystyle \ delta _ {\ mu \ nu \ varrho \ sigma} ^ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ alpha \ dots \ beta}}$${\ displaystyle \ delta _ {\ mu \ nu \ varrho \ sigma} ^ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta} = \ varejpsilon ^ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta} \ varejpsilon _ {\ mu \ nu \ varrho \ sigma}}$${\ displaystyle \ varepsilon ^ {0123} = 1}$

${\ displaystyle \ gamma ^ {5} = i \ gamma ^ {0} \ gamma ^ {1} \ gamma ^ {2} \ gamma ^ {3} = {\ frac {i} {4!}} \ varejpsilon ^ {0123} \ varepsilon _ {\ mu \ nu \ varrho \ sigma} \, \ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} \ gamma ^ {\ varrho} \ gamma ^ {\ sigma} = {\ frac {i} {4!}} \ varepsilon _ {\ mu \ nu \ varrho \ sigma} \, \ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} \ gamma ^ {\ varrho} \ gamma ^ {\ sigma } = - {\ frac {i} {4!}} \ varepsilon ^ {\ mu \ nu \ varrho \ sigma} \, \ gamma _ {\ mu} \ gamma _ {\ nu} \ gamma _ {\ varrho} \ gamma _ {\ sigma}}$

Esta matriz é útil em discussões sobre quiralidade da mecânica quântica . Por exemplo, um campo Dirac pode ser projetado em seus componentes canhotos e destros:

${\ displaystyle \ psi _ {\ rm {L}} = {\ frac {1- \ gamma ^ {5}} {2}} \ psi, \ qquad \ psi _ {\ rm {R}} = {\ frac {1+ \ gamma ^ {5}} {2}} \ psi}$.

Algumas propriedades são:

• É eremita:

  ${\ displaystyle \ left (\ gamma ^ {5} \ right) ^ {\ dagger} = \ gamma ^ {5}.}$

• Seus valores próprios são ± 1, porque:

  ${\ displaystyle \ left (\ gamma ^ {5} \ right) ^ {2} = I_ {4}.}$

• Ele se anticomuta com as quatro matrizes gama:

  ${\ displaystyle \ left \ {\ gamma ^ {5}, \ gamma ^ {\ mu} \ right \} = \ gamma ^ {5} \ gamma ^ {\ mu} + \ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {5} = 0.}$

Na verdade, e são autovetores de uma vez ${\ displaystyle \ psi _ {\ rm {L}}}$${\ displaystyle \ psi _ {\ rm {R}}}$${\ displaystyle \ gamma ^ {5}}$

${\ displaystyle \ gamma ^ {5} \ psi _ {\ rm {L}} = {\ frac {\ gamma ^ {5} - \ left (\ gamma ^ {5} \ right) ^ {2}} {2 }} \ psi = - \ psi _ {\ rm {L}}}$, e ${\ displaystyle \ gamma ^ {5} \ psi _ {\ rm {R}} = {\ frac {\ gamma ^ {5} + \ left (\ gamma ^ {5} \ right) ^ {2}} {2 }} \ psi = \ psi _ {\ rm {R}}.}$

Cinco dimensões

A álgebra de Clifford em dimensões ímpares se comporta como duas cópias da álgebra de Clifford de uma dimensão a menos, uma cópia à esquerda e uma cópia à direita. Assim, pode-se empregar um pequeno truque para redirecionar i γ ⁵ como um dos geradores da álgebra de Clifford em cinco dimensões. Neste caso, o conjunto { γ ⁰ , γ ¹ , γ ² , γ ³ , iγ ⁵ } portanto, pelas duas últimas propriedades (tendo em mente que i ² = −1 ) e aquelas das velhas gamas, formam a base da álgebra de Clifford em 5 dimensões do espaço-tempo para a assinatura métrica (1,4) . Na assinatura métrica (4,1) , utiliza-se o conjunto { γ ⁰ , γ ¹ , γ ² , γ ³ , γ ⁵ } , onde os γ ^μ são os adequados para a assinatura (3,1) . Este padrão é repetido para a dimensão do espaço-tempo 2 n par e a próxima dimensão ímpar 2 n + 1 para todos n ≥ 1 . Para obter mais detalhes, consulte Matrizes gama de dimensão superior .

Identidades

As seguintes identidades decorrem da relação anticomutação fundamental, de modo que se sustentam em qualquer base (embora a última dependa da escolha do signo ). ${\ displaystyle \ gamma ^ {5}}$

Identidades diversas

Rastrear identidades

As matrizes gama obedecem às seguintes identidades de rastreamento :

Provar o acima envolve o uso de três propriedades principais do operador de rastreamento :

• tr ( A + B ) = tr ( A ) + tr ( B )
• tr ( rA ) = r tr ( A )
• tr ( ABC ) = tr ( CAB ) = tr ( BCA )

Prova de 0:

A partir da definição das matrizes gama,

${\ displaystyle \ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} + \ gamma ^ {\ nu} \ gamma ^ {\ mu} = 2 \ eta ^ {\ mu \ nu} I}$

Nós temos

${\ displaystyle \ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ mu} = \ eta ^ {\ mu \ mu} I}$

ou equivalente,

${\ displaystyle {\ frac {\ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ mu}} {\ eta ^ {\ mu \ mu}}} = I}$

onde é um número e é uma matriz. ${\ displaystyle \ eta ^ {\ mu \ mu}}$${\ displaystyle \ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ mu}}$

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ gamma ^ {\ nu}) = {\ frac {1} {\ eta ^ {\ mu \ mu}}} \ operatorname {tr} (\ gamma ^ {\ nu} \ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ mu})}$ (inserindo a identidade e usando tr (rA) = r tr (A))

${\ displaystyle = - {\ frac {1} {\ eta ^ {\ mu \ mu}}} \ operatorname {tr} (\ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} \ gamma ^ {\ mu} )}$(da relação anti-comutação, e dado que somos livres para selecionar ) ${\ displaystyle \ mu \ neq \ nu}$

${\ displaystyle = - {\ frac {1} {\ eta ^ {\ mu \ mu}}} \ operatorname {tr} (\ gamma ^ {\ nu} \ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ mu} )}$ (usando tr (ABC) = tr (BCA))

${\ displaystyle = - \ operatorname {tr} (\ gamma ^ {\ nu})}$ (removendo a identidade)

Isso implica ${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ gamma ^ {\ nu}) = 0}$

Prova de 1:

Mostrar

${\ displaystyle \ operatorname {tr} ({\ text {número ímpar de}} \ gamma) = 0}$

Primeiro observe que

${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ gamma ^ {\ mu} \ right) = 0.}$

Também usaremos dois fatos sobre a quinta matriz gama que diz: ${\ displaystyle \ gamma ^ {5}}$

${\ displaystyle \ left (\ gamma ^ {5} \ right) ^ {2} = I_ {4}, \ quad \ mathrm {e} \ quad \ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {5} = - \ gama ^ {5} \ gamma ^ {\ mu}}$

Então, vamos usar esses dois fatos para provar essa identidade para o primeiro caso não trivial: o traço de três matrizes gama. O primeiro passo é colocar um par de 's na frente dos três ' s originais , e o segundo passo é trocar a matriz de volta à posição original, após fazer uso da ciclicidade do traço. ${\ displaystyle \ gamma ^ {5}}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ gamma ^ {5}}$

${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} \ gamma ^ {\ rho} \ right)}$	${\ displaystyle = \ operatorname {tr} \ left (\ gamma ^ {5} \ gamma ^ {5} \ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} \ gamma ^ {\ rho} \ right)}$
	${\ displaystyle = - \ operatorname {tr} \ left (\ gamma ^ {5} \ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} \ gamma ^ {\ rho} \ gamma ^ {5} \ right)}$
	${\ displaystyle = - \ operatorname {tr} \ left (\ gamma ^ {5} \ gamma ^ {5} \ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} \ gamma ^ {\ rho} \ right)}$ (usando tr (ABC) = tr (BCA))
	${\ displaystyle = - \ operatorname {tr} \ left (\ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} \ gamma ^ {\ rho} \ right)}$

Isso só pode ser cumprido se

${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} \ gamma ^ {\ rho} \ right) = 0}$

A extensão para matrizes gama 2n + 1 (n inteiros) é encontrada colocando-se dois gama-5s após (digamos) a matriz gama 2n-ésima no traço, comutando um para a direita (dando um sinal de menos) e comutando o outro gama-5 2n sai para a esquerda [com mudança de sinal (-1) ^ 2n = 1]. Em seguida, usamos a identidade cíclica para obter os dois gama-5s juntos e, portanto, eles se elevam à identidade, deixando-nos com o traço igualando-se menos ele mesmo, ou seja, 0.

Prova de 2:

Se um número ímpar de matrizes gama aparecer em um traço seguido por , nosso objetivo é mover do lado direito para o esquerdo. Isso deixará o traço invariável pela propriedade cíclica. Para fazer esse movimento, devemos anticomutá-lo com todas as outras matrizes gama. Isso significa que o anulamos um número ímpar de vezes e captamos um sinal de menos. Um traço igual ao negativo de si mesmo deve ser zero. ${\ displaystyle \ gamma ^ {5}}$${\ displaystyle \ gamma ^ {5}}$

Prova de 3:

Mostrar

${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} \ right) = 4 \ eta ^ {\ mu \ nu}}$

Começar com,

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu})}$	${\ displaystyle = {\ frac {1} {2}} \ left (\ operatorname {tr} \ left (\ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} \ right) + \ operatorname {tr} \ left (\ gamma ^ {\ nu} \ gamma ^ {\ mu} \ right) \ right)}$
	${\ displaystyle = {\ frac {1} {2}} \ operatorname {tr} \ left (\ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} + \ gamma ^ {\ nu} \ gamma ^ {\ mu} } \ right) = {\ frac {1} {2}} \ operatorname {tr} \ left (\ left \ {\ gamma ^ {\ mu}, \ gamma ^ {\ nu} \ right \} \ right)}$
	${\ displaystyle = {\ frac {1} {2}} 2 \ eta ^ {\ mu \ nu} \ operatorname {tr} (I_ {4}) = 4 \ eta ^ {\ mu \ nu}}$

Prova de 4:

${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} \ gamma ^ {\ rho} \ gamma ^ {\ sigma} \ right)}$	${\ displaystyle = \ operatorname {tr} \ left (\ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} \ left (2 \ eta ^ {\ rho \ sigma} - \ gamma ^ {\ sigma} \ gamma ^ {\ rho} \ right) \ right)}$
	${\ displaystyle = 2 \ eta ^ {\ rho \ sigma} \ operatorname {tr} \ left (\ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} \ right) - \ operatorname {tr} \ left (\ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} \ gamma ^ {\ sigma} \ gamma ^ {\ rho} \ right) \ quad \ quad (1)}$

Para o termo à direita, continuaremos o padrão de troca com seu vizinho à esquerda, ${\ displaystyle \ gamma ^ {\ sigma}}$

${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} \ gamma ^ {\ sigma} \ gamma ^ {\ rho} \ right)}$	${\ displaystyle = \ operatorname {tr} \ left (\ gamma ^ {\ mu} \ left (2 \ eta ^ {\ nu \ sigma} - \ gamma ^ {\ sigma} \ gamma ^ {\ nu} \ right) \ gamma ^ {\ rho} \ right)}$
	${\ displaystyle = 2 \ eta ^ {\ nu \ sigma} \ operatorname {tr} \ left (\ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ rho} \ right) - \ operatorname {tr} \ left (\ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ sigma} \ gamma ^ {\ nu} \ gamma ^ {\ rho} \ right) \ quad \ quad (2)}$

Novamente, para o termo à direita, troque com seu vizinho à esquerda, ${\ displaystyle \ gamma ^ {\ sigma}}$

${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ sigma} \ gamma ^ {\ nu} \ gamma ^ {\ rho} \ right)}$	${\ displaystyle = \ operatorname {tr} \ left (\ left (2 \ eta ^ {\ mu \ sigma} - \ gamma ^ {\ sigma} \ gamma ^ {\ mu} \ right) \ gamma ^ {\ nu} \ gamma ^ {\ rho} \ right)}$
	${\ displaystyle = 2 \ eta ^ {\ mu \ sigma} \ operatorname {tr} \ left (\ gamma ^ {\ nu} \ gamma ^ {\ rho} \ right) - \ operatorname {tr} \ left (\ gamma ^ {\ sigma} \ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} \ gamma ^ {\ rho} \ right) \ quad \ quad (3)}$

Eq (3) é o termo à direita da eq (2) e eq (2) é o termo à direita da eq (1). Também usaremos a identidade número 3 para simplificar termos como:

${\ displaystyle 2 \ eta ^ {\ rho \ sigma} \ operatorname {tr} \ left (\ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} \ right) = 2 \ eta ^ {\ rho \ sigma} \ esquerda (4 \ eta ^ {\ mu \ nu} \ direita) = 8 \ eta ^ {\ rho \ sigma} \ eta ^ {\ mu \ nu}.}$

Então, finalmente a Eq (1), quando você conecta todas essas informações fornece

${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} \ gamma ^ {\ rho} \ gamma ^ {\ sigma} \ right) = 8 \ eta ^ {\ rho \ sigma} \ eta ^ {\ mu \ nu} -8 \ eta ^ {\ nu \ sigma} \ eta ^ {\ mu \ rho} +8 \ eta ^ {\ mu \ sigma} \ eta ^ {\ nu \ rho}}$

${\ displaystyle - \ \ operatorname {tr} \ left (\ gamma ^ {\ sigma} \ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} \ gamma ^ {\ rho} \ right) \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad (4)}$

Os termos dentro do traço podem ser alternados, então

${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ gamma ^ {\ sigma} \ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} \ gamma ^ {\ rho} \ right) = \ operatorname {tr} \ left (\ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} \ gamma ^ {\ rho} \ gamma ^ {\ sigma} \ right).}$

Então, realmente (4) é

${\ displaystyle 2 \ \ operatorname {tr} \ left (\ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} \ gamma ^ {\ rho} \ gamma ^ {\ sigma} \ right) = 8 \ eta ^ { \ rho \ sigma} \ eta ^ {\ mu \ nu} -8 \ eta ^ {\ nu \ sigma} \ eta ^ {\ mu \ rho} +8 \ eta ^ {\ mu \ sigma} \ eta ^ {\ nu \ rho}}$

ou

${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} \ gamma ^ {\ rho} \ gamma ^ {\ sigma} \ right) = 4 \ left (\ eta ^ {\ rho \ sigma} \ eta ^ {\ mu \ nu} - \ eta ^ {\ nu \ sigma} \ eta ^ {\ mu \ rho} + \ eta ^ {\ mu \ sigma} \ eta ^ {\ nu \ rho} \ right)}$

Prova de 5:

Mostrar

${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ gamma ^ {5} \ right) = 0}$,

começar com

${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ gamma ^ {5} \ right)}$	${\ displaystyle = \ operatorname {tr} \ left (\ gamma ^ {0} \ gamma ^ {0} \ gamma ^ {5} \ right)}$	(porque ) ${\ displaystyle \ gamma ^ {0} \ gamma ^ {0} = I_ {4}}$
	${\ displaystyle = - \ operatorname {tr} \ left (\ gamma ^ {0} \ gamma ^ {5} \ gamma ^ {0} \ right)}$	(anti-comutar o com ) ${\ displaystyle \ gamma ^ {5}}$${\ displaystyle \ gamma ^ {0}}$
	${\ displaystyle = - \ operatorname {tr} \ left (\ gamma ^ {0} \ gamma ^ {0} \ gamma ^ {5} \ right)}$	(girar os termos dentro do traço)
	${\ displaystyle = - \ operatorname {tr} \ left (\ gamma ^ {5} \ right)}$	(remover de) ${\ displaystyle \ gamma ^ {0}}$

Adicione a ambos os lados do acima para ver ${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ gamma ^ {5} \ right)}$

${\ displaystyle 2 \ operatorname {tr} \ left (\ gamma ^ {5} \ right) = 0}$.

Agora, este padrão também pode ser usado para mostrar

${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} \ gamma ^ {5} \ right) = 0}$.

Basta adicionar dois fatores de , com diferente de e . Anticomute três vezes em vez de uma vez, pegando três sinais de menos, e circule usando a propriedade cíclica do traço. ${\ displaystyle \ gamma ^ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ nu}$

Então,

${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} \ gamma ^ {5} \ right) = 0}$.

Prova de 6:

Para uma prova de identidade 6, o mesmo truque ainda funciona, a menos que haja alguma permutação de (0123), de modo que todos os 4 gamas apareçam. As regras anticomutação implicam que a troca de dois dos índices muda o sinal do traço, então deve ser proporcional a . A constante de proporcionalidade é , como pode ser verificado ao conectar , escrever e lembrar que o traço da identidade é 4. ${\ displaystyle \ left (\ mu \ nu \ rho \ sigma \ right)}$${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {\ nu} \ gamma ^ {\ rho} \ gamma ^ {\ sigma} \ gamma ^ {5} \ right)}$${\ displaystyle \ epsilon ^ {\ mu \ nu \ rho \ sigma}}$ ${\ displaystyle \ left (\ epsilon ^ {0123} = \ eta ^ {0 \ mu} \ eta ^ {1 \ nu} \ eta ^ {2 \ rho} \ eta ^ {3 \ sigma} \ epsilon _ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} = \ eta ^ {00} \ eta ^ {11} \ eta ^ {22} \ eta ^ {33} \ epsilon _ {0123} = - 1 \ direita)}$${\ displaystyle 4i}$${\ displaystyle (\ mu \ nu \ rho \ sigma) = (0123)}$${\ displaystyle \ gamma ^ {5}}$

Prova de 7:

Denote o produto de matrizes gama por Considere o conjugado Hermitiano de : ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ Gamma = \ gamma ^ {\ mu 1} \ gamma ^ {\ mu 2} \ dots \ gamma ^ {\ mu n}.}$${\ displaystyle \ Gamma}$

${\ displaystyle \ Gamma ^ {\ dagger}}$	${\ displaystyle = \ gamma ^ {\ mu n \ dagger} \ dots \ gamma ^ {\ mu 2 \ dagger} \ gamma ^ {\ mu 1 \ dagger}}$
	${\ displaystyle = \ gamma ^ {0} \ gamma ^ {\ mu n} \ gamma ^ {0} \ dots \ gamma ^ {0} \ gamma ^ {\ mu 2} \ gamma ^ {0} \ gamma ^ { 0} \ gamma ^ {\ mu 1} \ gamma ^ {0}}$	(uma vez que a conjugação de uma matriz gama com produz seu conjugado Hermitiano, conforme descrito abaixo) ${\ displaystyle \ gamma ^ {0}}$
	${\ displaystyle = \ gamma ^ {0} \ gamma ^ {\ mu n} \ dots \ gamma ^ {\ mu 2} \ gamma ^ {\ mu 1} \ gamma ^ {0}}$	(todos os s, exceto o primeiro e o último abandono) ${\ displaystyle \ gamma ^ {0}}$

Conjugando com mais uma vez para se livrar dos dois que estão ali, vemos que é o inverso de . Agora, ${\ displaystyle \ gamma ^ {0}}$${\ displaystyle \ gamma ^ {0}}$${\ displaystyle \ gamma ^ {0} \ Gamma ^ {\ dagger} \ gamma ^ {0}}$${\ displaystyle \ Gamma}$

${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ gamma ^ {0} \ Gamma ^ {\ dagger} \ gamma ^ {0} \ right)}$	${\ displaystyle = \ operatorname {tr} \ left (\ Gamma ^ {\ dagger} \ right)}$	(uma vez que o trace é invariável sob transformações de similaridade)
	${\ displaystyle = \ operatorname {tr} \ left (\ Gamma ^ {*} \ right)}$	(uma vez que o traço é invariante sob transposição)
	${\ displaystyle = \ operatorname {tr} \ left (\ Gamma \ right)}$	(uma vez que o traço de um produto de matrizes gama é real)

Normalização

As matrizes gama podem ser escolhidas com condições de hermiticidade extras que são restritas pelas relações de anticomutação acima. Podemos impor

${\ displaystyle \ left (\ gamma ^ {0} \ right) ^ {\ dagger} = \ gamma ^ {0}}$, compatível com ${\ displaystyle \ left (\ gamma ^ {0} \ right) ^ {2} = I_ {4}}$

e para as outras matrizes gama (para k = 1, 2, 3 )

${\ displaystyle \ left (\ gamma ^ {k} \ right) ^ {\ dagger} = - \ gamma ^ {k}}$, compatível com ${\ displaystyle \ left (\ gamma ^ {k} \ right) ^ {2} = - I_ {4}.}$

Verifica-se imediatamente se essas relações de hermiticidade são válidas para a representação de Dirac.

As condições acima podem ser combinadas na relação

${\ displaystyle \ left (\ gamma ^ {\ mu} \ right) ^ {\ dagger} = \ gamma ^ {0} \ gamma ^ {\ mu} \ gamma ^ {0}.}$

As condições de hermiticidade não são invariáveis ​​sob a ação de uma transformação de Lorentz, pois não é necessariamente uma transformação unitária devido à não compactação do grupo de Lorentz. ${\ displaystyle \ gamma ^ {\ mu} \ to S (\ Lambda) \ gamma ^ {\ mu} {S (\ Lambda)} ^ {- 1}}$${\ displaystyle \ Lambda}$${\ displaystyle S (\ Lambda)}$

Conjugação de carga

O operador de conjugação de carga , em qualquer base, pode ser definido como

${\ displaystyle C \ gamma _ {\ mu} C ^ {- 1} = - (\ gamma _ {\ mu}) ^ {\ textf {T}}}$

onde denota a transposta da matriz . A forma explícita que assume é dependente da representação específica escolhida para as matrizes gama (sua forma expressa como produto das matrizes gama é independente de representação, mas as próprias matrizes gama têm diferentes formas em diferentes representações). Isto porque apesar de carga conjugação é uma automorphism do grupo gama , isto é não um automorphism interior (do grupo). Matrizes conjugantes podem ser encontradas, mas são dependentes de representação. ${\ displaystyle (\ cdot) ^ {\ textf {T}}}$${\ displaystyle C}$

As identidades independentes de representação incluem:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} C \ gamma _ {5} C ^ {- 1} & = + (\ gamma _ {5}) ^ {\ textf {T}} \\ C \ sigma _ {\ mu \ nu} C ^ {- 1} & = - (\ sigma _ {\ mu \ nu}) ^ {\ textf {T}} \\ C \ gamma _ {5} \ gamma _ {\ mu} C ^ { -1} & = + (\ gamma _ {5} \ gamma _ {\ mu}) ^ {\ textf {T}} \\\ end {alinhado}}}$

Além disso, para todas as quatro representações fornecidas abaixo (Dirac, Majorana e ambas as variantes quirais), uma tem

${\ displaystyle C ^ {- 1} = C ^ {\ dagger} = C ^ {\ textf {T}} = - C.}$

Notação de barra de Feynman usada na teoria quântica de campos

A notação de barra de Feynman é definida por

${\ displaystyle {a \! \! \! /}: = \ gamma ^ {\ mu} a _ {\ mu}}$

para qualquer vetor de 4 a .

Aqui estão algumas identidades semelhantes às acima, mas envolvendo a notação de barra:

• ${\ displaystyle {a \! \! \! /} {b \! \! \! /} = a \ cdot b-ia _ {\ mu} \ sigma ^ {\ mu \ nu} b _ {\ nu}}$
• ${\ displaystyle {a \! \! \! /} {a \! \! \! /} = a ^ {\ mu} a ^ {\ nu} \ gamma _ {\ mu} \ gamma _ {\ nu} = {\ frac {1} {2}} a ^ {\ mu} a ^ {\ nu} \ left (\ gamma _ {\ mu} \ gamma _ {\ nu} + \ gamma _ {\ nu} \ gamma _ {\ mu} \ right) = \ eta _ {\ mu \ nu} a ^ {\ mu} a ^ {\ nu} = a ^ {2}}$
• ${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left ({a \! \! \! /} {b \! \! \! /} \ right) = 4 (a \ cdot b)}$
• ${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left ({a \! \! \! /} {b \! \! \! /} {c \! \! \! /} {d \! \! \! / } \ direita) = 4 \ esquerda [(a \ cdot b) (c \ cdot d) - (a \ cdot c) (b \ cdot d) + (a \ cdot d) (b \ cdot c) \ direita] }$
• ${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ gamma _ {5} {a \! \! \! /} {b \! \! \! /} \ right) = 0}$
• ${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ gamma _ {5} {a \! \! \! /} {b \! \! \! /} {c \! \! \! /} {d \ ! \! \! /} \ right) = - 4i \ epsilon _ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} a ^ {\ mu} b ^ {\ nu} c ^ {\ rho} d ^ {\ sigma} }$
• ${\ displaystyle \ gamma _ {\ mu} {a \! \! \! /} \ gamma ^ {\ mu} = - 2 {a \! \! \! /}}$
• ${\ displaystyle \ gamma _ {\ mu} {a \! \! \! /} {b \! \! \! /} \ gamma ^ {\ mu} = 4 (a \ cdot b)}$
• ${\ displaystyle \ gamma _ {\ mu} {a \! \! \! /} {b \! \! \! /} {c \! \! \! /} \ gamma ^ {\ mu} = - 2 {c \! \! \! /} {b \! \! \! /} {a \! \! \! /}}$

  onde está o símbolo Levi-Civita e na verdade os traços de produtos de número ímpar de é zero e, portanto,${\ displaystyle \ epsilon _ {\ mu \ nu \ rho \ sigma}}$${\ displaystyle \ sigma ^ {\ mu \ nu} = {\ frac {i} {2}} \ left [\ gamma ^ {\ mu}, \ gamma ^ {\ nu} \ right].}$${\ displaystyle \ gamma}$

• ${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left ({a \! \! \! /} \ right) = \ operatorname {tr} \ left ({a \! \! \! /} {b \! \! \ ! /} {c \! \! \! /} \ right) = \ operatorname {tr} \ left ({a \! \! \! /} {b \! \! \! /} {c \! \ ! \! /} {d \! \! \! /} {e \! \! \! /} \ right) = 0}$

Outras representações

As matrizes também são por vezes escrito usando a 2 × 2 matriz de identidade , e ${\ displaystyle I_ {2}}$

${\ displaystyle \ gamma ^ {k} = {\ begin {pmatrix} 0 & \ sigma ^ {k} \\ - \ sigma ^ {k} & 0 \ end {pmatrix}}}$

onde k vai de 1 a 3 e os σ ^k são matrizes de Pauli .

Base Dirac

As matrizes gama que escrevemos até agora são apropriadas para atuar em espinores de Dirac escritos na base de Dirac ; na verdade, a base de Dirac é definida por essas matrizes. Para resumir, com base no Dirac:

${\ displaystyle \ gamma ^ {0} = {\ begin {pmatrix} I_ {2} & 0 \\ 0 & -I_ {2} \ end {pmatrix}}, \ quad \ gamma ^ {k} = {\ begin {pmatrix } 0 & \ sigma ^ {k} \\ - \ sigma ^ {k} & 0 \ end {pmatriz}}, \ quad \ gamma ^ {5} = {\ begin {pmatrix} 0 & I_ {2} \\ I_ {2} & 0 \ end {pmatrix}}.}$

Na base de Dirac, o operador de conjugação de carga é

${\ displaystyle C = i \ gamma ^ {2} \ gamma ^ {0} = {\ begin {pmatrix} 0 & -i \ sigma ^ {2} \\ - i \ sigma ^ {2} & 0 \ end {pmatrix} }.}$

Base Weyl (quiral)

Outra escolha comum é a base de Weyl ou quiral , na qual permanece a mesma, mas é diferente e, portanto, também é diferente e diagonal, ${\ displaystyle \ gamma ^ {k}}$${\ displaystyle \ gamma ^ {0}}$${\ displaystyle \ gamma ^ {5}}$

${\ displaystyle \ gamma ^ {0} = {\ begin {pmatrix} 0 & I_ {2} \\ I_ {2} & 0 \ end {pmatrix}}, \ quad \ gamma ^ {k} = {\ begin {pmatrix} 0 & \ sigma ^ {k} \\ - \ sigma ^ {k} & 0 \ end {pmatriz}}, \ quad \ gamma ^ {5} = {\ begin {pmatrix} -I_ {2} & 0 \\ 0 & I_ {2} \ end {pmatrix}},}$

ou em notação mais compacta:

${\ displaystyle \ gamma ^ {\ mu} = {\ begin {pmatrix} 0 & \ sigma ^ {\ mu} \\ {\ overline {\ sigma}} ^ {\ mu} & 0 \ end {pmatrix}}, \ quad \ sigma ^ {\ mu} \ equiv (1, \ sigma ^ {i}), \ quad {\ overline {\ sigma}} ^ {\ mu} \ equiv \ left (1, - \ sigma ^ {i} \ direito).}$

A base Weyl tem a vantagem de que suas projeções quirais assumem uma forma simples,

${\ displaystyle \ psi _ {\ rm {L}} = {\ frac {1} {2}} \ left (1- \ gamma ^ {5} \ right) \ psi = {\ begin {pmatrix} I_ {2 } & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} \ psi, \ quad \ psi _ {\ rm {R}} = {\ frac {1} {2}} \ left (1+ \ gamma ^ {5} \ right ) \ psi = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & I_ {2} \ end {pmatrix}} \ psi.}$

A idempotência das projeções quirais é manifesta.

Abusando ligeiramente da notação e reutilizando os símbolos , podemos então identificar ${\ displaystyle \ psi _ {\ rm {L / R}}}$

${\ displaystyle \ psi = {\ begin {pmatrix} \ psi _ {\ rm {L}} \\\ psi _ {\ rm {R}} \ end {pmatrix}},}$

onde agora e é canhoto e destro de dois componentes spinors Weyl. ${\ displaystyle \ psi _ {\ rm {L}}}$${\ displaystyle \ psi _ {\ rm {R}}}$

O operador de conjugação de carga nesta base é

${\ displaystyle C = {\ begin {pmatrix} i \ sigma ^ {2} & 0 \\ 0 & -i \ sigma ^ {2} \ end {pmatrix}}}$

A base Dirac pode ser obtida na base Weyl como

${\ displaystyle \ gamma _ {\ rm {W}} ^ {\ mu} = U \ gamma _ {\ rm {D}} ^ {\ mu} U ^ {\ dagger}, \ quad \ psi _ {\ rm {W}} = U \ psi _ {\ rm {D}}}$

através da transformação unitária

${\ displaystyle U = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ left (1+ \ gamma ^ {5} \ gamma ^ {0} \ right) = {\ frac {1} {\ sqrt { 2 \,}}} {\ begin {pmatrix} I_ {2} & - I_ {2} \\ I_ {2} & I_ {2} \ end {pmatrix}}.}$

Base Weyl (quiral) (forma alternativa)

Outra possível escolha da base Weyl tem

${\ displaystyle \ gamma ^ {0} = {\ begin {pmatrix} 0 & -I_ {2} \\ - I_ {2} & 0 \ end {pmatrix}}, \ quad \ gamma ^ {k} = {\ begin { pmatrix} 0 & \ sigma ^ {k} \\ - \ sigma ^ {k} & 0 \ end {pmatrix}}, \ quad \ gamma ^ {5} = {\ begin {pmatrix} I_ {2} & 0 \\ 0 & - I_ {2} \ end {pmatriz}}.}$

As projeções quirais assumem uma forma ligeiramente diferente da outra escolha de Weyl,

${\ displaystyle \ psi _ {\ rm {R}} = {\ begin {pmatrix} I_ {2} & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} \ psi, \ quad \ psi _ {\ rm {L}} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & I_ {2} \ end {pmatrix}} \ psi.}$

Em outras palavras,

${\ displaystyle \ psi = {\ begin {pmatrix} \ psi _ {\ rm {R}} \\\ psi _ {\ rm {L}} \ end {pmatrix}},}$

onde e estão os espinores de Weyl de dois componentes para destros e canhotos, como antes. ${\ displaystyle \ psi _ {\ rm {L}}}$${\ displaystyle \ psi _ {\ rm {R}}}$

O operador de conjugação de carga nesta base é

${\ displaystyle C = -i \ sigma ^ {3} \ otimes \ sigma ^ {2} = {\ begin {pmatrix} -i \ sigma ^ {2} & 0 \\ 0 & i \ sigma ^ {2} \ end {pmatrix }}}$

Esta base pode ser obtida a partir da base de Dirac acima como via transformada unitária ${\ displaystyle \ gamma _ {\ rm {W}} ^ {\ mu} = U \ gamma _ {\ rm {D}} ^ {\ mu} U ^ {\ dagger}, ~~ \ psi _ {\ rm {W}} = U \ psi _ {\ rm {D}}}$

${\ displaystyle U = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ left (1- \ gamma ^ {5} \ gamma ^ {0} \ right) = {\ frac {1} {\ sqrt { 2 \,}}} {\ begin {pmatrix} I_ {2} & I_ {2} \\ - I_ {2} & I_ {2} \ end {pmatrix}}.}$

Base Majorana

Há também a base de Majorana , na qual todas as matrizes de Dirac são imaginárias e os espinores e a equação de Dirac são reais. Em relação às matrizes de Pauli , a base pode ser escrita como

${\ displaystyle {\ begin {align} \ gamma ^ {0} & = {\ begin {pmatrix} 0 & \ sigma ^ {2} \\\ sigma ^ {2} & 0 \ end {pmatrix}}, & \ gamma ^ {1} & = {\ begin {pmatrix} i \ sigma ^ {3} & 0 \\ 0 & i \ sigma ^ {3} \ end {pmatrix}}, & \ gamma ^ {2} & = {\ begin {pmatrix} 0 & - \ sigma ^ {2} \\\ sigma ^ {2} & 0 \ end {pmatriz}}, \\\ gama ^ {3} & = {\ begin {pmatrix} -i \ sigma ^ {1} & 0 \ \ 0 & -i \ sigma ^ {1} \ end {pmatrix}}, & \ gamma ^ {5} & = {\ begin {pmatrix} \ sigma ^ {2} & 0 \\ 0 & - \ sigma ^ {2} \ end {pmatrix}}, & C & = {\ begin {pmatrix} 0 & -i \ sigma ^ {2} \\ - i \ sigma ^ {2} & 0 \ end {pmatrix}}, \ end {alinhado}}}$

onde é a matriz de conjugação de carga, conforme definido acima. ${\ displaystyle C}$

(A razão para fazer todas as matrizes gama imaginárias é apenas obter a métrica da física de partículas (+, -, -, -) , em que as massas quadradas são positivas. A representação de Majorana, no entanto, é real. Pode-se fatorar o i para obter uma representação diferente com quatro espinores reais componentes e matrizes gama reais. A consequência de remover o é que a única métrica possível com matrizes gama reais é (-, +, +, +) .) ${\ displaystyle i}$

A base de Majorana pode ser obtida a partir da base de Dirac acima como via transformada unitária ${\ displaystyle \ gamma _ {\ rm {M}} ^ {\ mu} = U \ gamma _ {\ rm {D}} ^ {\ mu} U ^ {\ dagger}, ~~ \ psi _ {\ rm {M}} = U \ psi _ {\ rm {D}}}$

${\ displaystyle U = U ^ {\ dagger} = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \,}}} {\ begin {pmatrix} I_ {2} & \ sigma ^ {2} \\\ sigma ^ {2} e - I_ {2} \ end {pmatriz}}.}$

Cl _1,3 (C) e Cl _1,3 (R)

A álgebra de Dirac pode ser considerada como uma complexificação da álgebra real Cl _1,3 ( R ), chamada álgebra de espaço-tempo :

${\ displaystyle \ mathrm {Cl} _ {1,3} (\ mathbb {C}) = \ mathbb {Cl} _ {1,3} (\ mathbb {R}) \ otimes \ mathbb {C}}$

Cl _1,3 ( R ) difere de Cl _1,3 ( C ): em Cl _1,3 ( R ) apenas combinações lineares reais das matrizes gama e seus produtos são permitidas.

Duas coisas merecem ser destacadas. Como as álgebras de Clifford , Cl _1,3 ( C ) e Cl ₄ ( C ) são isomórficas, consulte a classificação das álgebras de Clifford . A razão é que a assinatura subjacente da métrica do espaço-tempo perde sua assinatura (1,3) ao passar para a complexificação. No entanto, a transformação necessária para trazer a forma bilinear para a forma canônica complexa não é uma transformação de Lorentz e, portanto, não é "permissível" (no mínimo impraticável), uma vez que toda a física está intimamente ligada à simetria de Lorentz e é preferível mantê-la manifesto.

Os defensores da álgebra geométrica se esforçam para trabalhar com álgebras reais sempre que possível. Eles argumentam que geralmente é possível (e geralmente esclarecedor) identificar a presença de uma unidade imaginária em uma equação física. Essas unidades surgem de uma das muitas quantidades em uma álgebra de Clifford real que eleva ao quadrado a -1, e têm significado geométrico por causa das propriedades da álgebra e da interação de seus vários subespaços. Alguns desses proponentes também questionam se é necessário ou mesmo útil introduzir uma unidade imaginária adicional no contexto da equação de Dirac.

Na matemática da geometria Riemanniana , é convencional definir a álgebra de Clifford Cl _{p, q} ( ℝ ) para dimensões arbitrárias p, q ; a anticomutação dos espinores de Weyl emerge naturalmente da álgebra de Clifford. Os spinors de Weyl se transformam sob a ação do grupo de spin . A complexificação do grupo de rotação, chamado o grupo spinc , é um produto do grupo de rotação com o círculo O produto apenas um dispositivo de notação para identificar com o ponto geométrica disso é que desembaraça o spinor real, que é covariante sob transformações de Lorentz , do componente, que pode ser identificado com a fibra da interação eletromagnética. O é emaranhado de paridade e conjugação de carga de uma maneira adequada para relacionar os estados de partícula / antipartícula de Dirac (equivalentemente, os estados quirais na base de Weyl). O bispinor , na medida em que tem componentes esquerda e direita linearmente independentes, pode interagir com o campo eletromagnético. Isso está em contraste com o espinor Majorana e o espinor ELKO, que não podem ( ou seja , são eletricamente neutros), pois restringem explicitamente o espinor de modo a não interagir com a parte proveniente da complexificação. ${\ displaystyle \ mathrm {Spin} (n)}$${\ displaystyle \ mathrm {Spin} ^ {\ mathbb {C}} (n)}$${\ displaystyle \ mathrm {Spin} (n) \ times _ {\ mathbb {Z} _ {2}} S ^ {1}}$${\ displaystyle S ^ {1} \ cong U (1).}$${\ displaystyle \ times _ {\ mathbb {Z} _ {2}}}$${\ displaystyle (a, u) \ in \ mathrm {Spin} (n) \ vezes S ^ {1}}$${\ displaystyle (-a, -u).}$${\ displaystyle U (1)}$${\ displaystyle \ mathrm {U} (1)}$${\ displaystyle \ times _ {\ mathbb {Z} _ {2}}}$${\ displaystyle S ^ {1}}$

Na medida em que a apresentação de carga e paridade pode ser um tópico confuso em livros convencionais de teoria quântica de campos, a dissecação mais cuidadosa desses tópicos em um cenário geométrico geral pode ser elucidativa. As exposições padrão da álgebra de Clifford constroem os espinores de Weyl a partir dos primeiros princípios; que eles anti-comutação "automaticamente" é um subproduto geométrico elegante da construção, contornando completamente quaisquer argumentos que apelem ao princípio de exclusão de Pauli (ou a sensação às vezes comum de que as variáveis ​​de Grassmann foram introduzidas por meio de argumentação ad hoc ).

No entanto, na prática contemporânea em física, a álgebra de Dirac, em vez da álgebra de espaço-tempo, continua a ser o ambiente padrão em que os spinors da equação de Dirac "vivem".

Matrizes euclidianas de Dirac

Na teoria quântica de campos, Wick pode girar o eixo do tempo para transitar do espaço de Minkowski para o espaço euclidiano . Isso é particularmente útil em alguns procedimentos de renormalização , bem como na teoria de calibre de rede . No espaço euclidiano, existem duas representações comumente usadas de matrizes de Dirac:

Representação quiral

${\ displaystyle \ gamma ^ {1,2,3} = {\ begin {pmatrix} 0 & i \ sigma ^ {1,2,3} \\ - i \ sigma ^ {1,2,3} & 0 \ end {pmatrix }}, \ quad \ gamma ^ {4} = {\ begin {pmatrix} 0 & I_ {2} \\ I_ {2} & 0 \ end {pmatrix}}}$

Observe que os fatores de foram inseridos nas matrizes gama espaciais de modo que a álgebra de Clifford euclidiana ${\ displaystyle i}$

${\ displaystyle \ left \ {\ gamma ^ {\ mu}, \ gamma ^ {\ nu} \ right \} = 2 \ delta ^ {\ mu \ nu} I_ {4}}$

vai surgir. Também é importante notar que existem variantes disso que se inserem em uma das matrizes, como em códigos QCD de rede que usam a base quiral. ${\ displaystyle -i}$

No espaço euclidiano,

${\ displaystyle \ gamma _ {\ rm {M}} ^ {5} = i \ left (\ gamma ^ {0} \ gamma ^ {1} \ gamma ^ {2} \ gamma ^ {3} \ right) _ {\ rm {M}} = {\ frac {1} {i ^ {2}}} \ left (\ gamma ^ {4} \ gamma ^ {1} \ gamma ^ {2} \ gamma ^ {3} \ direita) _ {\ rm {E}} = \ left (\ gamma ^ {1} \ gamma ^ {2} \ gamma ^ {3} \ gamma ^ {4} \ right) _ {\ rm {E}} = \ gamma _ {\ rm {E}} ^ {5}.}$

Usando o anti-comutador e observando que no espaço euclidiano , mostra-se que ${\ displaystyle \ left (\ gamma ^ {\ mu} \ right) ^ {\ dagger} = \ gamma ^ {\ mu}}$

${\ displaystyle \ left (\ gamma ^ {5} \ right) ^ {\ dagger} = \ gamma ^ {5}}$

Em base quiral no espaço euclidiano,

${\ displaystyle \ gamma ^ {5} = {\ begin {pmatrix} -I_ {2} & 0 \\ 0 & I_ {2} \ end {pmatrix}}}$

que não mudou em relação à sua versão de Minkowski.

Representação não relativística

${\ displaystyle \ gamma ^ {1,2,3} = {\ begin {pmatrix} 0 & -i \ sigma ^ {1,2,3} \\ i \ sigma ^ {1,2,3} & 0 \ end { pmatriz}}, \ quad \ gamma ^ {4} = {\ begin {pmatrix} I_ {2} & 0 \\ 0 & -I_ {2} \ end {pmatrix}}, \ quad \ gamma ^ {5} = {\ begin {pmatrix} 0 & -I_ {2} \\ - I_ {2} & 0 \ end {pmatrix}}}$

Veja também

• Matrizes de Pauli
• Matrizes Gell-Mann
• Matrizes gama de dimensões superiores
• Identidade Fierz

Referências

• Halzen, Francis ; Martin, Alan (1984). Quarks & Leptons: Um Curso Introdutório em Física Moderna de Partículas . John Wiley & Sons. ISBN 0-471-88741-2.
• A. Zee, Quantum Field Theory in a Nutshell (2003), Princeton University Press: Princeton, New Jersey. ISBN  0-691-01019-6 . Consulte o capítulo II.1 .
• M. Peskin, D. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory (Westview Press, 1995) ISBN  0-201-50397-2 Ver capítulo 3.2 .
• W. Pauli (1936). "Contributions mathématiques à la théorie des matrices de Dirac" . Annales de l'Institut Henri Poincaré . 6 : 109.
• Weinberg, S. (2002), The Quantum Theory of Fields , 1 , Cambridge University Press , ISBN 0-521-55001-7
• Tong, David (2007). "Quantum Field Theory" . David Tong, da Universidade de Cambridge . p. 93 . Página visitada em 07-03-2015 .
• de Wit, B .; Smith, J. (1986). Teoria de Campos em Física de Partículas . Biblioteca Pessoal da Holanda do Norte. 1 . Holanda do Norte. ISBN 978-0444869999.Apêndice E
• David Hestenes , Real Dirac Theory , em J. Keller e Z. Oziewicz (Eds.), The Theory of the Electron , UNAM, Facultad de Estudios Superiores, Cuautitlan, México (1996), pp. 1-50.

links externos

• Matrizes de Dirac no mathworld, incluindo suas propriedades de grupo
• Matrizes de Dirac como um grupo abstrato em GroupNames
• "Matrizes de Dirac" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]