Mapa equiareal - Equiareal map

Na geometria diferencial , um mapa equiareal (ou mapa equiareal ) é um mapa suave de uma superfície para outra que preserva as áreas de figuras.

Propriedades

Se M e N são duas superfícies no espaço euclidiano R ³ , então um mapa equiareal f pode ser caracterizado por qualquer uma das seguintes condições equivalentes:

• A área de superfície de f ( L ) é igual à área de L para cada conjunto aberto L em H .
• A retirada do elemento de área μ _N em N é igual a u _H , o elemento de área em H .
• Em cada ponto p de M , e vetores tangentes v e w a M em p ,

${\ displaystyle | df_ {p} (v) \ times df_ {p} (w) | = | v \ times w | \,}$

onde × denota o produto cruzado euclidiano de vetores e df denota o pushforward ao longo de f .

Exemplo

Um exemplo de mapa equiareal, devido a Arquimedes de Siracusa , é a projeção da esfera unitária x ² + y ² + z ² = 1 para o cilindro unitário x ² + y ² = 1 para fora de seu eixo comum. Uma fórmula explícita é

${\ displaystyle f (x, y, z) = \ left ({\ frac {x} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}, {\ frac {y} {\ sqrt { x ^ {2} + y ^ {2}}}}, z \ right)}$

para ( x , y , z ) um ponto na esfera unitária.

Transformações lineares

Cada isometria Euclidiana do plano euclidiano é equiareal, mas o inverso não é verdadeiro. Na verdade, o mapeamento de cisalhamento e o mapeamento de compressão são contra-exemplos ao contrário.

O mapeamento de cisalhamento leva um retângulo a um paralelogramo da mesma área. Escrito em forma de matriz, um mapeamento de cisalhamento ao longo do eixo x é

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & v \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} \, {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} x + vy \\ y \ end {pmatrix}}.}$

O mapeamento de compressão alonga e contrai os lados de um retângulo de maneira recíproca para que a área seja preservada. Escrito em forma de matriz, com λ> 1 o aperto lê

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ lambda & 0 \\ 0 & 1 / \ lambda \ end {pmatrix}} \, {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix}} \ lambda x \\ y / \ lambda. \ end {pmatrix}}}$

Uma transformação linear multiplica áreas pelo valor absoluto de seu determinante | ad - bc | . ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}}}$

A eliminação gaussiana mostra que toda transformação linear equiareal ( incluindo rotações ) pode ser obtida compondo no máximo duas tesouras ao longo dos eixos, uma compressão e (se o determinante for negativo), uma reflexão .

Em projeções de mapas

No contexto de mapas geográficos , uma projeção de mapa é chamada de área igual , equivalente , autálica , equiareal ou com preservação de área , se as áreas forem preservadas até um fator constante; incorporando o mapa de destino, geralmente considerado um subconjunto de R ² , da maneira óbvia em R ³ , o requisito acima é enfraquecido para:

${\ displaystyle | df_ {p} (v) \ times df_ {p} (w) | = \ kappa | v \ times w |}$

para alguns κ > 0 não dependendo de e . Para exemplos de tais projeções, consulte projeção de mapa de área igual . ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle w}$

Veja também

• Matriz Jacobiana e determinante

Referências

• Pressley, Andrew (2001), Geometria diferencial elementar , Springer Undergraduate Mathematics Series, Londres: Springer-Verlag, ISBN   978-1-85233-152-8 , MR   1800436