Análise harmônica não comutativa - Noncommutative harmonic analysis

Em matemática , a análise harmônica não comutativa é o campo no qual os resultados da análise de Fourier são estendidos a grupos topológicos que não são comutativos . Como os grupos abelianos localmente compactos têm uma teoria bem compreendida, dualidade de Pontryagin , que inclui as estruturas básicas da série de Fourier e das transformadas de Fourier , o principal negócio da análise harmônica não comutativa é geralmente considerado como a extensão da teoria a todos os grupos G que são localmente compactos . O caso dos grupos compactos é entendido, qualitativamente e a partir do teorema de Peter-Weyl da década de 1920, como sendo geralmente análogo ao dos grupos finitos e sua teoria do caráter .

A tarefa principal é, portanto, o caso de G que é localmente compacto, não compacto e não comutativo. Os exemplos interessantes incluem muitos grupos de Lie e também grupos algébricos sobre campos p-ádicos . Esses exemplos são interessantes e freqüentemente aplicados em física matemática e na teoria dos números contemporânea , particularmente em representações automórficas .

O que esperar é conhecido como o resultado do trabalho básico de John von Neumann . Ele mostrou que se a álgebra de grupo de von Neumann de G é do tipo I, então L ² ( G ) como uma representação unitária de G é uma integral direta de representações irredutíveis. É parametrizado, portanto, pelo dual unitário , o conjunto de classes de isomorfismo de tais representações, ao qual é dada a topologia casco-kernel . O análogo do teorema de Plancherel é dado abstratamente pela identificação de uma medida no dual unitário, a medida de Plancherel , em relação à qual a integral direta é tomada. (Para a dualidade de Pontryagin, a medida de Plancherel é alguma medida de Haar no grupo dual para G , sendo a única questão, portanto, sua normalização.) Para grupos locais compactos gerais, ou mesmo grupos discretos contáveis, a álgebra de grupo de von Neumann não precisa ser do tipo I e a representação regular de G não pode ser escrita em termos de representações irredutíveis, embora seja unitária e completamente redutível. Um exemplo onde isso acontece é o grupo simétrico infinito, onde a álgebra de grupo de von Neumann é o fator hiperfinito tipo II ₁ . A teoria posterior divide a medida de Plancherel em uma parte discreta e uma parte contínua. Para grupos semi-simples e classes de grupos de Lie solucionáveis , uma teoria muito detalhada está disponível.

Veja também

• Fórmula de rastreamento de Selberg
• Programa de Langlands
• Teoria da órbita de Kirillov
• Representação de série discreta
• Função esférica zonal

Referências

• "Análise harmônica não comutativa: em homenagem a Jacques Carmona", Jacques Carmona, Patrick Delorme, Michèle Vergne; Editora Springer, 2004 ISBN  0-8176-3207-7
• Yurii I. Lyubich. Introdução à Teoria das Representações de Grupos de Banach . Traduzido da edição em russo de 1985 (Kharkov, Ucrânia). Birkhäuser Verlag. 1988.

Notas