Ideal (teoria da ordem) - Ideal (order theory)

Na teoria da ordem matemática , um ideal é um subconjunto especial de um conjunto parcialmente ordenado (poset). Embora este termo tenha sido historicamente derivado da noção de um anel ideal da álgebra abstrata , ele foi subsequentemente generalizado para uma noção diferente. Os ideais são de grande importância para muitas construções na teoria da ordem e da rede .

Definições básicas

Um subconjunto $I$ de um conjunto parcialmente ordenado $(P, \leq)$ é um ideal , se as seguintes condições se mantiverem:

$Eu$ não está vazio ,
para cada x em $I$ e y em P , $y \leq x$ implica que y está em $I$ ( $I$ é um conjunto inferior ),
para cada x , y em $I$ , existe algum elemento z em $I$ , tal que $x \leq z$ e $y \leq z$ ( $I$ é um conjunto direcionado ).

Embora esta seja a maneira mais geral de definir um ideal para posets arbitrários, ela foi originalmente definida apenas para reticulados . Neste caso, a seguinte definição equivalente pode ser dada: um subconjunto $I$ de uma rede ( P , ≤) é um ideal se e somente se for um conjunto inferior que é fechado sob junções finitas ( suprema ), ou seja, não é vazio e para todos os x , y em $que$ , o elemento de P também é em $I$ . ${\ displaystyle x \ vee y}$

A noção dual de um ideal, ou seja, o conceito obtido invertendo todos ≤ e trocando com , é um filtro . ${\ displaystyle \ vee}$ ${\ displaystyle \ wedge}$

Alguns autores usam o termo ideal para significar um conjunto inferior, ou seja, incluem apenas a condição 2 acima, enquanto outros usam o termo ordem ideal para essa noção mais fraca. Com a definição mais fraca, um ideal de uma rede vista como um poset não é fechado sob junções, portanto, não é necessariamente um ideal da rede. Wikipedia usa apenas "ideal / filtro (da teoria da ordem)" e "conjunto inferior / superior" para evitar confusão.

Ideais de Frink , pseudoideais e pseudoideais de Doyle são generalizações diferentes da noção de um ideal de rede.

Um ideal ou filtro é dito ser adequada se não é igual a todo o conjunto P .

O menor ideal que contém um determinado elemento p é um ideal principal e p é dito ser um elemento principal do ideal nesta situação. O ideal principal para um principal p é, portanto, dado por $↓ p = {$ $x$ $\in$ $P$ $|$ $x$ $\leq$ $p$ $}$ . ${\ displaystyle \ downarrow p}$

Ideais primordiais

Um importante caso especial de um ideal é constituído por aqueles ideais cujos complementos da teoria dos conjuntos são filtros, isto é, ideais na ordem inversa. Esses ideais são chamados de ideais primários . Observe também que, como exigimos que os ideais e os filtros não sejam vazios, todo ideal principal é necessariamente adequado. Para reticulados, os ideais primos podem ser caracterizados da seguinte forma:

Um subconjunto $I$ de uma rede $(P, \leq)$ é um ideal primo, se e somente se

$I$ é um ideal adequado de P , e
para todos os elementos de x e y de P , em $que$ implica que $x$ $\in$ $I$ ou $y$ $\in$ $eu$ . ${\ displaystyle x \ wedge y}$

É facilmente verificado que isso é de fato equivalente a afirmar que $P \ I$ é um filtro (que então também é primo, no sentido dual).

Para uma rede completa, a noção adicional de um ideal completamente primário é significativa. Definiu-se a ser um ideal próprio $I$ com a propriedade adicional de que, sempre que o meet ( ínfimo ) de algum conjunto arbitrário $A$ é em $que eu$ , algum elemento de A também está em $I$ . Portanto, este é apenas um ideal primário específico que estende as condições acima para encontros infinitos.

A existência de ideais primos em geral não é óbvia, e freqüentemente uma quantidade satisfatória de ideais primos não pode ser derivada dentro de ZF ( teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel sem o axioma da escolha ). Esta questão é discutida em vários teoremas ideais primários , que são necessários para muitas aplicações que requerem ideais primários.

Ideais máximos

Um ideal $I$ é maximal se é adequada e não há adequada ideal J que é um conjunto superset estrito de $I$ . Da mesma forma, um filtro F é máximo se for adequado e não houver um filtro adequado que seja um superconjunto estrito.

Quando um poset é uma rede distributiva , ideais e filtros máximos são necessariamente primos, enquanto o inverso dessa afirmação é falso em geral.

Filtros máximos às vezes são chamados de ultrafiltros , mas esta terminologia é frequentemente reservada para álgebras booleanas, onde um filtro máximo (ideal) é um filtro (ideal) que contém exatamente um dos elementos { a , ¬ a }, para cada elemento a do Álgebra booleana. Nas álgebras booleanas, os termos ideal primário e ideal máximo coincidem, assim como os termos filtro primário e filtro máximo .

Há uma outra noção interessante de maximalidade de ideais: Considere um ideal $I$ e um filtro F tal que $I$ é disjuntos de F . Estamos interessados em um ideal M que é máxima entre todos os ideais que contêm $I$ e são disjuntos de F . No caso de redes distributivas, tal M é sempre um ideal primo. Segue-se uma prova desta afirmação.

Prova -

Assuma que o ideal M é máxima com respeito à disjunção do filtro F . Suponha por uma contradição que M não for primo, ou seja, existe um par de elementos de um e b de tal forma que $um \land b$ em H , mas nem um nem b são em M . Consideremos o caso de que para todos m em H , $m \lor um$ não é em F . Pode-se construir um N ideal tomando o fechamento para baixo do conjunto de todas as junções binárias desta forma, ou seja, $N = {x | x \leq m \lor a para algum m \in M}$ . É facilmente verificado se que N é na verdade um disjuntos ideal de F que é estritamente maior que M . Mas isso contradiz a maximalidade de M e, portanto, a suposição de que M não é primo.

Para o outro caso, assume que existe alguma m em H com $m \lor um$ em F . Agora, se qualquer elemento n em H é de tal forma que $n \lor b$ é em F , verifica-se que $(m \lor n) \lor b$ e $(m \lor n) \lor um$ são ambos em F . Mas então seu encontro está em F e, por distributividade, $(m \lor n) \lor (a \land b)$ está em F também. Por outro lado, essa junção finita de elementos de M está claramente em M , de modo que a existência assumida de n contradiz a disjunção dos dois conjuntos. Por isso, todos os elementos n de H têm uma associação com b que não é em F . Por conseguinte pode-se aplicar a construção acima com b em lugar de um para obter um ideal que é estritamente maior que M , enquanto ser separado a partir de F . Isso encerra a prova.

No entanto, em geral não está claro se existe algum M ideal que seja máximo neste sentido. No entanto, se assumirmos o axioma da escolha em nossa teoria dos conjuntos, então a existência de M para cada par ideal de filtro disjunto pode ser mostrada. No caso especial em que a ordem considerada é uma álgebra booleana , este teorema é chamado de teorema ideal primo booleano . É estritamente mais fraco do que o axioma da escolha e verifica-se que nada mais é necessário para muitas aplicações de ideais na teoria da ordem.

Formulários

A construção de ideais e filtros é uma ferramenta importante em muitas aplicações da teoria da ordem.

No teorema de representação de Stone para álgebras booleanas , os ideais máximos (ou, equivalentemente através do mapa de negação, ultrafiltros) são usados para obter o conjunto de pontos de um espaço topológico , cujos conjuntos clopen são isomórficos à álgebra booleana original.
A teoria da ordem conhece muitos procedimentos de conclusão , para transformar posets em posets com propriedades adicionais de completude . Por exemplo, a conclusão ideal de uma dada ordem parcial P é o conjunto de todos os ideais de P ordenados por inclusão de subconjunto. Esta construção produz o livre dcpo gerado por P . Um ideal é principal se e somente se for compacto na conclusão ideal, então o poset original pode ser recuperado como o sub-poset que consiste em elementos compactos. Além disso, todo dcpo algébrico pode ser reconstruído como a conclusão ideal de seu conjunto de elementos compactos.

História

Os ideais foram introduzidos primeiro por Marshall H. Stone , que derivou seu nome dos ideais do anel da álgebra abstrata. Ele adotou essa terminologia porque, usando o isomorfismo das categorias das álgebras booleanas e dos anéis booleanos , as duas noções de fato coincidem.

Literatura

Ideais e filtros estão entre os conceitos mais básicos da teoria da ordem. Veja os livros introdutórios fornecidos para a teoria da ordem e a teoria da rede , e a literatura sobre o teorema ideal primário booleano .

Veja também

Notas

^ Taylor (1999) , p. 141 : "Um subconjunto inferior direcionado de um poset X é chamado de ideal"
^ Gierz, G .; Hofmann, KH; Keimel, K .; Lawson, JD; Mislove, MW; Scott, DS (2003). Redes e domínios contínuos . Enciclopédia de Matemática e suas Aplicações. 93 . Cambridge University Press. p. 3 . ISBN 0521803381 .
^ ^a ^b Burris & Sankappanavar 1981 , Def. 8,2.
^ Lawson (1998) , p. 22
^ Stanley (2002) , p. 100
^ ^a ^b Davey & Priestley 2002 , pp. 20, 44.

Referências

Burris, Stanley N .; Sankappanavar, Hanamantagouda P. (1981). Um Curso de Álgebra Universal . Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2 .
Davey, Brian A .; Priestley, Hilary Ann (2002). Introdução a Lattices and Order (2ª ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-78451-4 .
Lawson, MV (1998). Semigrupos inversos: a teoria das simetrias parciais . World Scientific. ISBN 978-981-02-3316-7 .
Stanley, RP (2002). Combinação enumerativa . Estudos de Cambridge em matemática avançada. 1 . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66351-9 .
Taylor, Paul (1999), Fundamentos práticos da matemática , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 59 , Cambridge University Press, Cambridge, ISBN 0-521-63107-6 , MR 1694820

[1] Taylor (1999) , p. 141 : "Um subconjunto inferior direcionado de um poset X é chamado de ideal"

[2] Gierz, G .; Hofmann, KH; Keimel, K .; Lawson, JD; Mislove, MW; Scott, DS (2003). Redes e domínios contínuos . Enciclopédia de Matemática e suas Aplicações. 93 . Cambridge University Press. p. 3 . ISBN 0521803381 .

[FOOTNOTEBurrisSankappanavar1981Def._8.2-3] Burris & Sankappanavar 1981 , Def. 8,2.

[4] Lawson (1998) , p. 22

[5] Stanley (2002) , p. 100

[FOOTNOTEDaveyPriestley200220,_44-6] Davey & Priestley 2002 , pp. 20, 44.

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