Transformação rígida - Rigid transformation

Em matemática , uma transformação rígida (também chamada de transformação euclidiana ou isometria euclidiana ) é uma transformação geométrica de um espaço euclidiano que preserva a distância euclidiana entre cada par de pontos.

As transformações rígidas incluem rotações , translações , reflexos ou sua combinação. Às vezes, os reflexos são excluídos da definição de uma transformação rígida, impondo que a transformação também preserva a lateralidade das figuras no espaço euclidiano (um reflexo não preservaria a lateralidade; por exemplo, transformaria uma mão esquerda em uma mão direita). Para evitar ambigüidade, essa classe menor de transformações é conhecida como movimentos rígidos ou transformações rígidas adequadas (informalmente, também conhecidas como rototraduções ). Em geral, qualquer transformação rígida adequada pode ser decomposta como uma rotação seguida por uma translação, enquanto qualquer transformação rígida pode ser decomposta como uma rotação inadequada seguida por uma translação (ou como uma sequência de reflexos).

Qualquer objeto manterá a mesma forma e tamanho após uma transformação rígida adequada.

Todas as transformações rígidas são exemplos de transformações afins . O conjunto de todas as transformações rígidas (próprias e impróprias) é um grupo denominado grupo euclidiano , denotado por E ( n ) para espaços euclidianos n- dimensionais. O conjunto de transformações rígidas apropriadas é chamado de grupo euclidiano especial, denotado SE ( n ).

Na cinemática , as transformações rígidas adequadas em um espaço euclidiano tridimensional, denotado SE (3), são usadas para representar o deslocamento linear e angular de corpos rígidos . De acordo com o teorema de Chasles , toda transformação rígida pode ser expressa como um deslocamento de parafuso .

Definição formal

Uma transformação rígida é formalmente definida como uma transformação que, ao atuar sobre qualquer vetor v , produz um vetor transformado T ( v ) da forma

T ( v ) = R v + t

onde R ^T = R ⁻¹ (ou seja, R é uma transformação ortogonal ), e t é um vetor que fornece a translação da origem.

Uma transformação rígida adequada tem, além disso,

det (R) = 1

o que significa que R não produz uma reflexão e, portanto, representa uma rotação (uma transformação ortogonal que preserva a orientação). De fato, quando uma matriz de transformação ortogonal produz uma reflexão, seu determinante é -1.

Fórmula de distância

Uma medida de distância entre pontos, ou métrica , é necessária para confirmar que uma transformação é rígida. A fórmula da distância euclidiana para R ⁿ é a generalização do teorema de Pitágoras . A fórmula dá a distância ao quadrado entre dois pontos X e Y como a soma dos quadrados das distâncias ao longo dos eixos coordenados, ou seja

${\ displaystyle d (\ mathbf {X}, \ mathbf {Y}) ^ {2} = (X_ {1} -Y_ {1}) ^ {2} + (X_ {2} -Y_ {2}) ^ {2} + \ dots + (X_ {n} -Y_ {n}) ^ {2} = (\ mathbf {X} - \ mathbf {Y}) \ cdot (\ mathbf {X} - \ mathbf {Y} ).}$

onde X = (X ₁ , X ₂ ,…, X _n ) e Y = (Y ₁ , Y ₂ ,…, Y _n ), e o ponto denota o produto escalar .

Usando esta fórmula de distância, uma transformação rígida g : R ⁿ → R ⁿ tem a propriedade,

${\ displaystyle d (g (\ mathbf {X}), g (\ mathbf {Y})) ^ {2} = d (\ mathbf {X}, \ mathbf {Y}) ^ {2}.}$

Traduções e transformações lineares

A tradução de um espaço vetorial adiciona um vetor d a cada vetor no espaço, o que significa que é a transformação

g ( v ): v → v + d .

É fácil mostrar que esta é uma transformação rígida, mostrando que a distância entre os vetores traduzidos é igual à distância entre os vetores originais:

${\ displaystyle d (\ mathbf {v} + \ mathbf {d}, \ mathbf {w} + \ mathbf {d}) ^ {2} = (\ mathbf {v} + \ mathbf {d} - \ mathbf { w} - \ mathbf {d}) \ cdot (\ mathbf {v} + \ mathbf {d} - \ mathbf {w} - \ mathbf {d}) = (\ mathbf {v} - \ mathbf {w}) \ cdot (\ mathbf {v} - \ mathbf {w}) = d (\ mathbf {v}, \ mathbf {w}) ^ {2}.}$

Uma transformação linear de um espaço vetorial, L : R ⁿ → R ⁿ , preserva combinações lineares ,

${\ displaystyle L (\ mathbf {V}) = L (a \ mathbf {v} + b \ mathbf {w}) = aL (\ mathbf {v}) + bL (\ mathbf {w}).}$

Uma transformação linear L pode ser representada por uma matriz, o que significa

L : v → [L] v ,

onde [L] é um n × n matriz.

Uma transformação linear é uma transformação rígida se satisfizer a condição,

${\ displaystyle d ([L] \ mathbf {v}, [L] \ mathbf {w}) ^ {2} = d (\ mathbf {v}, \ mathbf {w}) ^ {2},}$

isso é

${\ displaystyle d ([L] \ mathbf {v}, [L] \ mathbf {w}) ^ {2} = ([L] \ mathbf {v} - [L] \ mathbf {w}) \ cdot ( [L] \ mathbf {v} - [L] \ mathbf {w}) = ([L] (\ mathbf {v} - \ mathbf {w})) \ cdot ([L] (\ mathbf {v} - \ mathbf {w})).}$

Agora use o fato de que o produto escalar de dois vetores v . w pode ser escrito como a operação de matriz v ^T w , onde T denota a transposta da matriz, temos

${\ displaystyle d ([L] \ mathbf {v}, [L] \ mathbf {w}) ^ {2} = (\ mathbf {v} - \ mathbf {w}) ^ {T} [L] ^ { T} [L] (\ mathbf {v} - \ mathbf {w}).}$

Assim, a transformação linear L é rígida se sua matriz satisfizer a condição

${\ displaystyle [L] ^ {T} [L] = [I],}$

onde [I] é a matriz de identidade. As matrizes que satisfazem essa condição são chamadas de matrizes ortogonais. Essa condição, na verdade, requer que as colunas dessas matrizes sejam vetores unitários ortogonais.

As matrizes que satisfazem essa condição formam um grupo matemático sob a operação de multiplicação de matrizes, denominado grupo ortogonal de matrizes n × n e denotado por O ( n ).

Calcule o determinante da condição para uma matriz ortogonal para obter

${\ displaystyle \ det ([L] ^ {T} [L]) = \ det [L] ^ {2} = \ det [I] = 1,}$

o que mostra que a matriz [L] pode ter um determinante de +1 ou -1. Matrizes ortogonais com determinante −1 são reflexos e aquelas com determinante +1 são rotações. Observe que o conjunto de matrizes ortogonais pode ser visto como consistindo em duas variedades em R ^{n × n} separadas pelo conjunto de matrizes singulares.

O conjunto de matrizes de rotação é denominado grupo ortogonal especial e denotado por SO ( n ). É um exemplo de grupo de Lie porque tem a estrutura de uma variedade.

Referências