Grupo euclidiano - Euclidean group

Em matemática , um grupo euclidiano é o grupo de isometrias (euclidianas) de um espaço euclidiano ; isto é, as transformações desse espaço que preservam a distância euclidiana entre quaisquer dois pontos (também chamadas de transformações euclidianas ). O grupo depende apenas da dimensão n do espaço e é comumente denotado por E ( n ) ou ISO ( n ). ${\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {n}}$

O grupo euclidiano E ( n ) compreende todas as traduções , rotações e reflexões de ; e combinações finitas arbitrárias deles. O grupo euclidiano pode ser visto como o grupo de simetria do próprio espaço e contém o grupo de simetrias de qualquer figura (subconjunto) desse espaço. ${\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {n}}$

Uma isometria euclidiana pode ser direta ou indireta , dependendo se preserva a destreza das figuras. As isometrias euclidianas diretas formam um subgrupo, o grupo euclidiano especial , cujos elementos são chamados de movimentos rígidos ou movimentos euclidianos. Eles compreendem combinações arbitrárias de translações e rotações, mas não reflexos.

Esses grupos estão entre os mais antigos e mais estudados, pelo menos nos casos das dimensões 2 e 3 - implicitamente, muito antes de o conceito de grupo ser inventado.

Visão geral

Dimensionalidade

O número de graus de liberdade para E ( n ) é n ( n + 1) / 2 , o que dá 3 no caso n = 2 e 6 para n = 3 . Destes, n pode ser atribuído à simetria translacional disponível e os n restantes ( n - 1) / 2 à simetria rotacional .

Isometrias direta e indireta

As isometrias diretas (isto é, isometrias que preservam a lateralidade de subconjuntos quirais ) compreendem um subgrupo de E ( n ), chamado de grupo euclidiano especial e geralmente denotado por E ⁺ ( n ) ou SE ( n ). Eles incluem as traduções e rotações e suas combinações; incluindo a transformação da identidade, mas excluindo quaisquer reflexos.

As isometrias que invertem a lateralidade são chamadas de indiretas ou opostas . Para qualquer isometria indireta fixa R , como uma reflexão sobre algum hiperplano, todas as outras isometrias indiretas podem ser obtidas pela composição de R com alguma isometria direta. Portanto, as isometrias indiretas são um coset de E ⁺ ( n ), que pode ser denotado por E ^- ( n ). Conclui-se que o subgrupo E ⁺ ( n ) é de índice 2 em E ( n ).

Topologia do grupo

A topologia natural do espaço euclidiano implica uma topologia para o grupo euclidiano E ( n ). A saber, uma sequência f _i de isometrias de ( i ∈ ) é definida para convergir se e somente se, para qualquer ponto p de , a sequência de pontos p _i convergir. ${\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {n}}$

Desta definição, segue-se que uma função é contínua se e somente se, para qualquer ponto p de , a função definida por f _p ( t ) = ( f (t)) ( p ) é contínua. Essa função é chamada de "trajetória contínua" em E ( n ). ${\ displaystyle f: [0,1] \ rightarrow E (n)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {n}}$ ${\ displaystyle f_ {p}: [0,1] \ rightarrow \ mathbb {E} ^ {n}}$

Acontece que o grupo euclidiano especial SE ( n ) = E ⁺ ( n ) está conectado nesta topologia. Isto é, dado quaisquer dois isometries directos A e B de , existe uma trajectória contínua F em E ⁺ ( N ) de modo a que f (0) = A e F (1) = B . O mesmo é verdade para as isometrias indiretas E ^- ( n ). Por outro lado, o grupo E ( n ) como um todo não está conectado: não há trajetória contínua que começa em E ⁺ ( n ) e termina em E ^- ( n ). ${\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {n}}$

As trajetórias contínuas em E (3) desempenham um papel importante na mecânica clássica , pois descrevem os movimentos fisicamente possíveis de um corpo rígido no espaço tridimensional ao longo do tempo. Toma-se f (0) como a transformação de identidade I de , que descreve a posição inicial do corpo. A posição e a orientação do corpo em qualquer momento t posterior serão descritas pela transformação f (t). Como f (0) = I está em E ⁺ (3), o mesmo deve ser verdadeiro para f (t) para qualquer momento posterior. Por esse motivo, as isometrias euclidianas diretas também são chamadas de "movimentos rígidos". ${\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {3}}$

Estrutura de mentira

Os grupos euclidianos não são apenas grupos topológicos , eles são grupos de Lie , de forma que as noções de cálculo podem ser adaptadas imediatamente a esta configuração.

Relação com o grupo afim

O grupo euclidiano E ( n ) é um subgrupo do grupo afim para n dimensões, e de forma a respeitar a estrutura de produto semidireta de ambos os grupos. Isso dá, a fortiori , duas maneiras de escrever elementos em uma notação explícita. Estes são:

por um par ( A , b ) , com um uma N × n matriz ortogonal , e b um verdadeiro vector de coluna de tamanho n ; ou
por uma única matriz quadrada de tamanho n + 1 , conforme explicado para o grupo afim .

Os detalhes da primeira representação são fornecidos na próxima seção.

Nos termos de Felix Klein 's programa de Erlangen , lemos off daí que a geometria euclidiana , a geometria do grupo Euclidiano de simetrias, é, portanto, uma especialização de geometria afim . Todos os teoremas afins se aplicam. A origem da geometria euclidiana permite a definição da noção de distância , a partir da qual o ângulo pode então ser deduzido.

Discussão detalhada

Estrutura de subgrupo, matriz e representação vetorial

O grupo euclidiano é um subgrupo do grupo de transformações afins .

Tem como subgrupos o grupo translacional T ( n ) e o grupo ortogonal O ( n ). Qualquer elemento de E ( n ) é uma tradução seguida por uma transformação ortogonal (a parte linear da isometria), de uma forma única:

{\ displaystyle x \ mapsto A (x + b)}

onde A é uma matriz ortogonal

ou a mesma transformação ortogonal seguida por uma translação:

{\ displaystyle x \ mapsto Ax + c,}

com $c = Ab$

T ( n ) é um subgrupo normal de E ( n ): para cada translação t e cada isometria u , a composição

u ^-1tu

é novamente uma tradução.

Juntos, esses fatos implicam que E ( n ) é o produto semidireto de O ( n ) estendido por T ( n ), que é escrito como . Em outras palavras, O ( n ) é (da maneira natural) também o grupo quociente de E ( n ) por T ( n ): ${\ displaystyle {\ text {E}} (n) = {\ text {T}} (n) \ rtimes {\ text {O}} (n)}$

{\ displaystyle {\ text {O}} (n) \ cong {\ text {E}} (n) / {\ text {T}} (n)}

Agora SO ( n ), o grupo ortogonal especial , é um subgrupo de O ( n ) do índice dois. Portanto, E ( n ) possui um subgrupo E ⁺ ( n ), também de índice dois, constituído por isometrias diretas . Nestes casos, o determinante de A é 1.

Eles são representados como uma translação seguida por uma rotação , ao invés de uma translação seguida por algum tipo de reflexão (nas dimensões 2 e 3, esses são os reflexos familiares em uma linha de espelho ou plano, que podem ser tomados para incluir a origem , ou em 3D, uma rotorreflecção ).

Essa relação é comumente escrita como:

{\ displaystyle {\ text {SO}} (n) \ cong {\ text {E}} ^ {+} (n) / {\ text {T}} (n)}

ou equivalente:

{\ displaystyle {\ text {E}} ^ {+} (n) = {\ text {SO}} (n) \ lvezes {\ text {T}} (n)}

.

Subgrupos

Tipos de subgrupos de E ( n ):

Grupos finitos .

Eles sempre têm um ponto fixo. Em 3D, para cada ponto existem para cada orientação dois que são máximos (no que diz respeito à inclusão) entre os grupos finitos: O _h e I _h . Os grupos I _h são ainda máximos entre os grupos que incluem a próxima categoria.

Grupos numericamente infinitos sem translações, rotações ou combinações arbitrariamente pequenas

isto é, para cada ponto o conjunto de imagens sob as isometrias é topologicamente discreto (por exemplo, para 1 ≤ m ≤ n um grupo gerado por m translações em direções independentes, e possivelmente um grupo de pontos finitos). Isso inclui treliças . Exemplos mais gerais do que esses são os grupos de espaços discretos .

Grupos incontáveis e infinitos com translações, rotações ou combinações arbitrariamente pequenas

Neste caso há pontos para os quais o conjunto de imagens sob as isometrias não está fechado. Exemplos de tais grupos são, em 1D, o grupo gerado por uma translação de 1 e uma de √ 2 e, em 2D, o grupo gerado por uma rotação em torno da origem de 1 radiano.

Grupos não contáveis, onde existem pontos para os quais o conjunto de imagens sob as isometrias não está fechado

(por exemplo, em 2D todas as traduções em uma direção e todas as traduções por distâncias racionais em outra direção).

Grupos não contáveis, onde para todos os pontos o conjunto de imagens sob as isometrias é fechado

por exemplo:

todas as isometrias diretas que mantêm a origem fixa, ou mais geralmente, algum ponto (em 3D chamado de grupo de rotação )
todas as isometrias que mantêm a origem fixa, ou mais geralmente, algum ponto (o grupo ortogonal )
todas as isometrias diretas E ⁺ ( n )
todo o grupo euclidiano E ( n )
um desses grupos em um subespaço m- dimensional combinado com um grupo discreto de isometrias no espaço ortogonal ( n - m ) -dimensional
um desses grupos em um subespaço m- dimensional combinado com outro no espaço ortogonal ( n - m ) -dimensional

Exemplos em 3D de combinações:

todas as rotações em torno de um eixo fixo
idem combinado com reflexão em planos através do eixo e / ou um plano perpendicular ao eixo
idem combinado com translação discreta ao longo do eixo ou com todas as isometrias ao longo do eixo
um grupo de pontos discretos, grupo de frisos ou grupo de papel de parede em um plano, combinado com qualquer grupo de simetria na direção perpendicular
todas as isometrias que são uma combinação de uma rotação em torno de algum eixo e uma translação proporcional ao longo do eixo; em geral, isso é combinado com isometrias rotacionais k- vezes em torno do mesmo eixo ( k ≥ 1 ); o conjunto de imagens de um ponto sob as isometrias é uma hélice k- dobrada ; além disso, pode haver uma rotação de 2 vezes em torno de um eixo de interseção perpendicular e, portanto, uma hélice de k de tais eixos.
para qualquer grupo de pontos: o grupo de todas as isometrias que são uma combinação de uma isometria no grupo de pontos e uma translação; por exemplo, no caso do grupo gerado por inversão na origem: o grupo de todas as translações e inversão em todos os pontos; este é o grupo diedro generalizado de R ³ , Dih (R ³ ).

Visão geral das isometrias em até três dimensões

E (1), E (2) e E (3) podem ser categorizados da seguinte forma, com graus de liberdade :

Isometrias de E (1)
Tipo de isometria	Graus de liberdade	Preserva a orientação?
Identidade	0	sim
Tradução	1	sim
Reflexo em um ponto	1	Não

Isometrias de E (2)
Tipo de isometria	Graus de liberdade	Preserva a orientação?
Identidade	0	sim
Tradução	2	sim
Rotação em torno de um ponto	3	sim
Reflexo em uma linha	2	Não
Reflexo de deslizamento	3	Não

Isometrias de E (3)
Tipo de isometria	Graus de liberdade	Preserva a orientação?
Identidade	0	sim
Tradução	3	sim
Rotação em torno de um eixo	5	sim
Deslocamento do parafuso	6	sim
Reflexo em um avião	3	Não
Operação de planador	5	Não
Rotação imprópria	6	Não
Inversão em um ponto	3	Não

O teorema de Chasles afirma que qualquer elemento de E ⁺ (3) é um deslocamento de parafuso .

Veja também isometrias 3D que deixam a origem fixa , grupo espacial , involução .

Isometrias pendulares

Para alguns pares de isometria, a composição não depende da ordem:

duas traduções
duas rotações ou parafusos sobre o mesmo eixo
reflexão em relação a um plano e uma translação nesse plano, uma rotação em torno de um eixo perpendicular ao plano ou uma reflexão em relação a um plano perpendicular
reflexo de deslizamento em relação a um plano e uma translação nesse plano
inversão em um ponto e qualquer isometria mantendo o ponto fixo
rotação de 180 ° em torno de um eixo e reflexão em um plano através desse eixo
rotação de 180 ° em torno de um eixo e rotação de 180 ° em torno de um eixo perpendicular (resulta na rotação de 180 ° em torno do eixo perpendicular a ambos)
duas rotorreflecções em torno do mesmo eixo, em relação ao mesmo plano
duas reflexões de deslizamento em relação ao mesmo plano

Aulas de conjugação

As traduções por uma dada distância em qualquer direção formam uma classe de conjugação ; o grupo de tradução é a união daqueles para todas as distâncias.

Em 1D, todas as reflexões estão na mesma classe.

Em 2D, as rotações pelo mesmo ângulo em qualquer direção estão na mesma classe. Reflexos de deslizamento com translação pela mesma distância estão na mesma classe.

Em 3D:

As inversões em relação a todos os pontos estão na mesma classe.
Rotações pelo mesmo ângulo estão na mesma classe.
As rotações em torno de um eixo combinadas com a translação ao longo desse eixo estão na mesma classe se o ângulo for o mesmo e a distância de translação for a mesma.
Os reflexos em um avião estão na mesma classe
Os reflexos em um plano combinados com a translação nesse plano pela mesma distância estão na mesma classe.
As rotações em torno de um eixo com o mesmo ângulo não igual a 180 °, combinadas com a reflexão em um plano perpendicular a esse eixo, estão na mesma classe.

Veja também

Referências

Cederberg, Judith N. (2001). Um curso de geometrias modernas . pp. 136 –164. ISBN 978-0-387-98972-3.
William Thurston . Geometria e topologia tridimensional. Vol. 1 . Editado por Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. x + 311 pp. ISBN 0-691-08304-5

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