Soma dos ângulos de um triângulo - Sum of angles of a triangle
Em um espaço euclidiano , a soma dos ângulos de um triângulo é igual ao ângulo reto (180 graus , π radianos , dois ângulos retos ou meia volta ). Um triângulo tem três ângulos, um em cada vértice , delimitados por um par de lados adjacentes .
Por muito tempo, não se sabia se existem outras geometrias, para as quais essa soma é diferente. A influência desse problema na matemática foi particularmente forte durante o século XIX. No final das contas, a resposta se mostrou positiva: em outros espaços (geometrias) essa soma pode ser maior ou menor, mas então deve depender do triângulo. Sua diferença de 180 ° é um caso de defeito angular e serve como uma distinção importante para sistemas geométricos.
Estojos
Geometria euclidiana
Na geometria euclidiana , o postulado do triângulo afirma que a soma dos ângulos de um triângulo são dois ângulos retos . Este postulado é equivalente ao postulado paralelo . Na presença dos outros axiomas da geometria euclidiana, as seguintes afirmações são equivalentes:
- Postulado do triângulo : a soma dos ângulos de um triângulo são dois ângulos retos.
- Axioma de Playfair : dada uma linha reta e um ponto fora da linha, exatamente uma linha reta pode ser desenhada através do ponto paralelo à linha dada.
- Axioma de Proclo : Se uma linha cruza uma das duas linhas paralelas, ela deve cruzar a outra também.
- Postulado de equidistância : as linhas paralelas estão em todos os lugares equidistantes (ou seja, a distância de cada ponto em uma linha para a outra linha é sempre a mesma).
- Propriedade da área do triângulo : A área de um triângulo pode ser tão grande quanto desejarmos.
- Propriedade de três pontos : três pontos ficam em uma linha ou em um círculo .
- Teorema de Pitágoras : Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados.
Geometria hiperbólica
A soma dos ângulos de um triângulo hiperbólico é inferior a 180 °. A relação entre o defeito angular e a área do triângulo foi comprovada pela primeira vez por Johann Heinrich Lambert .
Pode-se ver facilmente como a geometria hiperbólica quebra o axioma de Playfair, o axioma de Proclus (o paralelismo, definido como não interseção, é intransitivo em um plano hiperbólico), o postulado de equidistância (os pontos de um lado e equidistantes de uma determinada linha não formam uma linha), e o teorema de Pitágoras. Um círculo não pode ter curvatura arbitrariamente pequena , então a propriedade de três pontos também falha.
A soma dos ângulos pode ser arbitrariamente pequena (mas positiva). Para um triângulo ideal , uma generalização de triângulos hiperbólicos, essa soma é igual a zero.
Geometria esférica
Para um triângulo esférico , a soma dos ângulos é maior que 180 ° e pode ser de até 540 °. Especificamente, a soma dos ângulos é
- 180 ° × (1 + 4 f ),
onde f é a fração da área da esfera que é delimitada pelo triângulo.
Observe que a geometria esférica não satisfaz vários dos axiomas de Euclides (incluindo o postulado paralelo ).
Ângulos externos
Os ângulos entre os lados adjacentes de um triângulo são chamados de ângulos internos na geometria euclidiana e em outras geometrias. Exterior ângulos também pode ser definida, e o postulado triângulo euclidiana pode ser formulada como o teorema ângulo externo . Pode-se também considerar a soma de todos os três ângulos externos, que é igual a 360 ° no caso euclidiano (como para qualquer polígono convexo ), é menor que 360 ° no caso esférico e é maior que 360 ° no caso hiperbólico.
Em geometria diferencial
Na geometria diferencial de superfícies , a questão do defeito angular de um triângulo é entendida como um caso especial do teorema de Gauss-Bonnet onde a curvatura de uma curva fechada não é uma função, mas uma medida com o apoio em exatamente três pontos - vértices de um triângulo.
Veja também
- De Euclides Elements
- Fundamentos da geometria
- Axiomas de Hilbert
- Quadrilátero de Saccheri (considerado antes de Saccheri por Omar Khayyám )
- Quadrilátero de Lambert
Referências
-
^ a b Eric W. Weisstein (2003). Enciclopédia concisa de matemática CRC (2ª ed.). p. 2147. ISBN
1-58488-347-2 .
O postulado paralelo é equivalente ao postulado de equidistância , axioma Playfair , axioma Proclus , postulado do triângulo e teorema de Pitágoras .
- ^ Keith J. Devlin (2000). A linguagem da matemática: tornando o invisível visível . Macmillan. p. 161. ISBN 0-8050-7254-3 .
- ^ Essencialmente, a transitividade do paralelismo.
-
^ Ratcliffe, John (2006), Foundations of Hyperbolic Manifolds , Graduate Texts in Mathematics, 149 , Springer, p. 99, ISBN 9780387331973 ,
Que a área de um triângulo hiperbólico é proporcional ao seu defeito angular apareceu pela primeira vez na monografia de Lambert, Theorie der Parallellinien , publicada postumamente em 1786.
- ^ Definido como o conjunto de pontos a uma distância fixa de seu centro.
- ^ Definido no sentido diferencialmente geométrico.
- ^ Da definição de um ângulo externo, resume-se ao ângulo reto com os ângulos internos. Portanto, a soma de três ângulos externos somados à soma de três ângulos internos sempre resulta em três ângulos retos.