Espaço vetorial simplético - Symplectic vector space
Em matemática , um espaço vetorial simplético é um espaço vetorial V sobre um campo F (por exemplo, os números reais R ) equipado com uma forma bilinear simplética .
Uma forma bilinear simplética é um mapeamento ω : V × V → F que é
- Bilinear
- Linear em cada argumento separadamente;
- Alternando
- ω ( v , v ) = 0 vale para todo v ∈ V ; e
- Não degenerado
- ω ( u , v ) = 0 para todo v ∈ V implica que u = 0 .
Se o campo subjacente tiver uma característica diferente de 2, a alternância é equivalente à simetria de assimetria . Se a característica for 2, a simetria enviesada está implícita, mas não implica em alternância. Nesse caso, toda forma simplética é simétrica , mas não vice-versa.
Trabalhando em uma base fixa , ω pode ser representado por uma matriz . As condições acima são equivalentes a esta matriz ser assimétrica , não singular e oca . Isso não deve ser confundido com uma matriz simplética , que representa uma transformação simplética do espaço. Powered by MediaWiki Se V for finito-dimensional , então sua dimensão deve ser necessariamente par, já que toda matriz oblíqua simétrica e oca de tamanho ímpar tem zero determinante . Observe que a condição de que a matriz seja oca não é redundante se a característica do campo for 2. Uma forma simplética se comporta de maneira bem diferente de uma forma simétrica, por exemplo, o produto escalar em espaços vetoriais euclidianos.
Espaço simplético padrão
O espaço simpléctica padrão é R 2 n com a forma dada por um simpléctica não singular , matriz anti-simétrica . Normalmente ω é escolhido para ser a matriz do bloco
onde eu n é o n × n matriz identidade . Em termos de vetores de base ( x 1 , ..., x n , y 1 , ..., y n ) :
Uma versão modificada do processo de Gram-Schmidt mostra que qualquer espaço vetorial simplético de dimensão finita tem uma base tal que ω assume esta forma, freqüentemente chamada de base de Darboux , ou base simplética .
Existe outra maneira de interpretar essa forma simplética padrão. Uma vez que o espaço do modelo R 2 n usado acima carrega muita estrutura canônica que pode facilmente levar a interpretações errôneas, usaremos espaços vetoriais "anônimos". Vamos V ser um espaço real vector de dimensão N e V * seu espaço dual . Agora considere a soma direta W = V ⊕ V ∗ desses espaços equipados com a seguinte forma:
Agora escolha qualquer base ( v 1 , ..., v n ) de V e considere sua base dual
Podemos interpretar os vetores de base como estando em W se escrevermos x i = ( v i , 0) ey i = (0, v i ∗ ) . Juntos, eles formam uma base completa de W ,
A forma ω definida aqui pode ser mostrada com as mesmas propriedades do início desta seção. Por outro lado, toda estrutura simplética é isomórfica a uma da forma V ⊕ V ∗ . O subespaço V não é único e a escolha do subespaço V é chamada de polarização . Os subespaços que fornecem tal isomorfismo são chamados de subespaços de Lagrange ou simplesmente de Lagrangianos .
Explicitamente, dado um subespaço Lagrangeano (conforme definido abaixo), então uma escolha de base ( x 1 , ..., x n ) define uma base dual para um complemento, por ω ( x i , y j ) = δ ij .
Analogia com estruturas complexas
Assim como cada estrutura simpléctica é isomorfa a um de forma V ⊕ V * , cada complexo estrutura em um espaço vectorial é isomorfa a um de forma V ⊕ V . Usando essas estruturas, o feixe tangente de uma variedade n , considerada como uma variedade 2 n , tem uma estrutura quase complexa , e o feixe co tangente de uma variedade n , considerada uma variedade 2 n , tem uma estrutura simplética : T ∗ ( T ∗ M ) p = T p ( M ) ⊕ ( T p ( M )) ∗ .
O análogo de complexo para um subespaço Lagrangeanos é um verdadeiro subespaço , um subespaço cuja complexificação é todo o espaço: W = V ⊕ J V . Como pode ser visto a partir da forma simplética padrão acima, toda forma simplética em R 2 n é isomórfica à parte imaginária do produto interno complexo padrão (Hermitiano) em C n (com a convenção do primeiro argumento sendo anti-linear).
Forma de volume
Deixe ω ser uma forma bilinear alternada sobre um n -dimensional espaço vectorial real V , ω ∈ Ganhe muitos 2 ( V ) . Então ω é não degenerado se e somente se n for par e ω n / 2 = ω ∧ ... ∧ ω for uma forma de volume . Uma forma de volume em um espaço vetorial n- dimensional V é um múltiplo diferente de zero da forma n e 1 ∗ ∧ ... ∧ e n ∗ onde e 1 , e 2 , ..., e n é uma base de V .
Para a base padrão definida na seção anterior, temos
Ao reordenar, pode-se escrever
Os autores definem de várias maneiras ω n ou (−1) n / 2 ω n como a forma de volume padrão . Um fator ocasional de n ! também pode aparecer, dependendo se a definição do produto alternativo contém um fator de n ! ou não. A forma de volume define uma orientação no espaço vetorial simplético ( V , ω ) .
Mapa simplético
Suponha que ( V , ω ) e ( W , ρ ) sejam espaços vetoriais simpléticos. Então, um mapa linear f : V → W é chamado de mapa simplético se o recuo preserva a forma simplética, ou seja, f ∗ ρ = ω , onde a forma de recuo é definida por ( f ∗ ρ ) ( u , v ) = ρ ( f ( u ), f ( v )) . Os mapas simpléticos preservam o volume e a orientação.
Grupo simplético
Se V = W , em seguida, um mapa simpléctica é chamado uma transformação simpléctica linear de V . Em particular, neste caso, tem-se que ω ( f ( u ), f ( v )) = ω ( u , v ) , e assim a transformação linear f preserva a forma simplética. O conjunto de todas as transformações simpléticas forma um grupo e em particular um grupo de Lie , denominado grupo simplético e denotado por Sp ( V ) ou às vezes Sp ( V , ω ) . Na forma de matriz, as transformações simpléticas são dadas por matrizes simpléticas .
Subespaços
Deixe W ser um subespaço linear de V . Defina o complemento simplético de W como o subespaço
O complemento simplético satisfaz:
No entanto, ao contrário dos complementos ortogonais , W ⊥ ∩ W não precisa ser 0. Distinguimos quatro casos:
- W é simplético se W ⊥ ∩ W = {0 }. Isto é verdade se e somente se w se restringe a uma forma degenerada em W . Um subespaço simplético com a forma restrita é um espaço vetorial simplético por si só.
- W é isotrópico se W ⊆ W ⊥ . Isto é verdade se e somente se w restringe a 0 sobre W . Qualquer subespaço unidimensional é isotrópico.
- W é coisotropic se W ⊥ ⊆ W . W é coisotrópico se e somente se ω desce a uma forma não degenerada no espaço quociente W / W ⊥ . Equivalentemente, W é coisotrópico se e somente se W ⊥ é isotrópico. Qualquer codimensão - um subespaço é coisotrópico.
- W é Lagrangiano se W = W ⊥ . Um subespaço é Lagrangiano se e somente se for isotrópico e coisotrópico. Num espaço vectorial de dimensão finita, um subespaço Lagrangeanos é uma uma isotrópica cuja dimensão é a metade de V . Todo subespaço isotrópico pode ser estendido a um Lagrangiano.
Referindo-se ao espaço vetorial canônico R 2 n acima,
- o subespaço medido por { x 1 , y 1 } é simplético
- o subespaço medido por { x 1 , x 2 } é isotrópico
- o subespaço medido por { x 1 , x 2 , ..., x n , y 1 } é coisotrópico
- o subespaço medido por { x 1 , x 2 , ..., x n } é Lagrangiano.
Grupo heisenberg
Um grupo de Heisenberg pode ser definido para qualquer espaço vetorial simplético, e esta é a maneira típica de surgirem os grupos de Heisenberg .
Um espaço vetorial pode ser pensado como um grupo de Lie comutativo (sob adição), ou equivalentemente como uma álgebra de Lie comutativa , ou seja, com colchetes de Lie triviais. O grupo de Heisenberg é uma extensão central de tal grupo de Lie comutativo / álgebra: a forma simplética define a comutação, analogamente às relações de comutação canônicas (CCR), e uma base de Darboux corresponde a coordenadas canônicas - em termos físicos, a operadores de momento e operadores de posição .
De fato, pelo teorema de Stone-von Neumann , toda representação que satisfaça o CCR (toda representação do grupo de Heisenberg) é desta forma, ou mais apropriadamente conjugada unitariamente com a padrão.
Além disso, a álgebra de grupo de (do dual para) um espaço vetorial é a álgebra simétrica , e a álgebra de grupo do grupo de Heisenberg (do dual) é a álgebra de Weyl : pode-se pensar na extensão central como correspondendo à quantização ou deformação .
Formalmente, a álgebra simétrica de um espaço vetorial V sobre um campo F é a álgebra de grupo do dual, Sym ( V ): = F [ V ∗ ] , e a álgebra de Weyl é a álgebra de grupo do grupo de Heisenberg (dual) W ( V ) = F [ H ( V ∗ )] . Visto que passar para álgebras de grupo é um functor contravariante , o mapa de extensão central H ( V ) → V torna-se uma inclusão Sym ( V ) → W ( V ) .
Veja também
- Uma variedade simplética é uma variedade lisa com uma forma simplética fechada de variação uniforme em cada espaço tangente .
- Índice de Maslov
- Uma representação simplética é uma representação de grupo em que cada elemento do grupo atua como uma transformação simplética.
Referências
- Claude Godbillon (1969) "Géométrie différentielle et mécanique analytique", Hermann
- Abraham, Ralph ; Marsden, Jerrold E. (1978). "Sistemas Hamiltonianos e Lagrangianos". Foundations of Mechanics (2ª ed.). Londres: Benjamin-Cummings. pp. 161–252. ISBN 0-8053-0102-X. PDF
- Paulette Libermann e Charles-Michel Marle (1987) "Symplectic Geometry and Analytical Mechanics", D. Reidel
- Jean-Marie Souriau (1997) "Structure of Dynamical Systems, A Symplectic View of Physics", Springer