Curvatura total - Total curvature

Esta curva tem curvatura total 6 π e índice / giro número 3, embora tenha apenas enrolamento número 2 em torno de p .

No estudo matemático da geometria diferencial das curvas , a curvatura total de uma curva plana imersa é a integral da curvatura ao longo de uma curva tomada em relação ao comprimento do arco :

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} k (s) \, ds.}$

A curvatura total de uma curva fechada é sempre um múltiplo inteiro de 2 π , chamado de índice da curva, ou número de giro - é o número do enrolamento do vetor tangente unitário sobre a origem, ou equivalentemente o grau do mapa ao círculo unitário atribuindo a cada ponto da curva, o vetor de velocidade unitária naquele ponto. Este mapa é semelhante ao mapa de Gauss para superfícies.

Comparação com superfícies

Essa relação entre um invariante geométrico local, a curvatura, e um invariante topológico global , o índice, é característico de resultados em geometria Riemanniana de dimensão superior , como o teorema de Gauss-Bonnet .

Invariância

De acordo com o teorema de Whitney-Graustein , a curvatura total é invariante sob uma homotopia regular de uma curva: é o grau do mapa de Gauss . No entanto, não é invariante sob homotopia: passar por uma dobra (cúspide) altera o número de viragem em 1.

Em contraste, o número de enrolamento em torno de um ponto é invariante sob homotopias que não passam pelo ponto e muda em 1 se alguém passar pelo ponto.

Generalizações

Uma cadeia poligonal fechada , com curvatura total 2 π .

Uma generalização finita é que os ângulos externos de um triângulo, ou mais geralmente qualquer polígono simples , somam 360 ° = 2 π radianos, correspondendo a um número de rotação de 1. Mais geralmente, cadeias poligonais que não voltam sobre si mesmas ( sem ângulos de 180 °) têm curvatura total bem definida, interpretando a curvatura como massas pontuais nos ângulos.

A curvatura absoluta total de uma curva é definida quase da mesma maneira que a curvatura total, mas usando o valor absoluto da curvatura em vez da curvatura sinalizada. É 2 π para curvas convexas no plano e maior para curvas não convexas. Ele também pode ser generalizado para curvas em espaços dimensionais superiores, achatando a tangente desenvolvível para γ em um plano e computando a curvatura total da curva resultante. Ou seja, a curvatura total de uma curva no espaço n- dimensional é

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \ left | \ gamma '' (s) \ right | \ operatorname {sgn} \ kappa _ {n-1} (s) \, ds}$

onde κ _{n −1} é a última curvatura de Frenet (a torção da curva) e sgn é a função signum .

A curvatura absoluta total mínima de qualquer curva tridimensional que representa um determinado nó é uma invariante do nó. Este invariante tem o valor 2 π para o desnó, mas pelo teorema de Fáry-Milnor é pelo menos 4 π para qualquer outro nó.

Referências

• Kuhnel, Wolfgang (2005), Differential Geometry: Curves - Surfaces - Manifolds (2ª ed.), American Mathematical Society, ISBN   978-0-8218-3988-1 (traduzido por Bruce Hunt)
• Sullivan, John M. (2008), "Curves of finite total curvature", Discrete diferencial geometry , Oberwolfach Semin., 38 , Birkhäuser, Basel, pp. 137-161, arXiv : math / 0606007 , doi : 10.1007 / 978-3 -7643-8621-4_7 , MR   2405664