Função com valor vetorial - Vector-valued function

Uma função de valor vetorial , também chamada de função vetorial , é uma função matemática de uma ou mais variáveis ​​cujo intervalo é um conjunto de vetores multidimensionais ou vetores de dimensão infinita . A entrada de uma função com valor de vetor pode ser um escalar ou um vetor (ou seja, a dimensão do domínio pode ser 1 ou maior que 1); a dimensão do domínio da função não é definida pela dimensão do intervalo.

Exemplo: hélice

Um gráfico da função vectorial r ( Z ) = cos ⟨2 Z , 4 pecado Z , Z ⟩ indicando uma gama de soluções e o vector, quando avaliados perto Z = 19,5

Um exemplo comum de função com valor vetorial é aquela que depende de um único parâmetro de número real t , geralmente representando o tempo , produzindo um vetor v ( t ) como resultado. Em termos dos vetores unitários padrão i , j , k do espaço 3 cartesiano , esses tipos específicos de funções com valor vetorial são dados por expressões como

• ${\ displaystyle \ mathbf {r} (t) = f (t) \ mathbf {i} + g (t) \ mathbf {j} + h (t) \ mathbf {k}}$

onde f ( t ), g ( t ) eh ( t ) são as funções de coordenadas do parâmetro t , e o domínio desta função com valor vetorial é a interseção do domínio das funções f , g e h . Também pode ser referido em uma notação diferente:

• ${\ displaystyle \ mathbf {r} (t) = \ langle f (t), g (t), h (t) \ rangle}$

O vetor r ( t ) tem cauda na origem e cabeça nas coordenadas avaliadas pela função.

O vetor mostrado no gráfico à direita é a avaliação da função próxima a t = 19,5 (entre 6π e 6,5π; ou seja, um pouco mais do que 3 rotações). A hélice é o caminho traçado pela ponta do vetor conforme t aumenta de zero a 8π. ${\ displaystyle \ langle 2 \ cos t, \, 4 \ sin t, \, t \ rangle}$

Em 2D, podemos falar analogamente sobre funções com valores vetoriais como

• ${\ displaystyle \ mathbf {r} (t) = f (t) \ mathbf {i} + g (t) \ mathbf {j}}$ ou
• ${\ displaystyle \ mathbf {r} (t) = \ langle f (t), g (t) \ rangle}$

Caso linear

No caso linear, a função pode ser expressa em termos de matrizes :

${\ displaystyle y = Ax + b,}$

onde y é um vetor de saída n × 1 ( n > 1), x é um vetor de entradas k × 1 ( k ≥ 1), A é uma matriz de parâmetros n × k e b é um vetor de parâmetros n × 1 .

O caso linear surge frequentemente, por exemplo, em regressão múltipla , onde, por exemplo, o vetor n × 1 de valores previstos de uma variável dependente é expresso linearmente em termos de um vetor k × 1 ( k < n ) de valores estimados de parâmetros do modelo: ${\ displaystyle {\ hat {y}}}$${\ displaystyle {\ hat {\ beta}}}$

${\ displaystyle {\ hat {y}} = X {\ hat {\ beta}},}$

em que X (desempenhando o papel de A na forma genérica anterior) é uma matriz n × k de números fixos (com base empírica).

Representação paramétrica de uma superfície

Uma superfície é um conjunto bidimensional de pontos embutidos no espaço tridimensional. Uma maneira de representar uma superfície é com equações paramétricas , nas quais dois parâmetros s e t determinam as três coordenadas cartesianas de qualquer ponto da superfície:

${\ displaystyle (x, y, z) = (f (s, t), g (s, t), h (s, t)) \ equiv F (s, t).}$

Aqui, F é uma função com valor vetorial.

Derivada de uma função vetorial tridimensional

Muitas funções com valor vetorial, como funções com valor escalar , podem ser diferenciadas simplesmente diferenciando os componentes no sistema de coordenadas cartesianas. Portanto, se

${\ displaystyle \ mathbf {r} (t) = f (t) \ mathbf {i} + g (t) \ mathbf {j} + h (t) \ mathbf {k}}$

é uma função com valor vetorial, então

${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {r} (t)} {dt}} = f '(t) \ mathbf {i} + g' (t) \ mathbf {j} + h '(t) \ mathbf {k}.}$

A derivada vetorial admite a seguinte interpretação física: se r ( t ) representa a posição de uma partícula, então a derivada é a velocidade da partícula

${\ displaystyle \ mathbf {v} (t) = {\ frac {d \ mathbf {r} (t)} {dt}}.}$

Da mesma forma, a derivada da velocidade é a aceleração

${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {v} (t)} {dt}} = \ mathbf {a} (t).}$

Derivativo parcial

A derivada parcial de uma função vetorial a em relação a uma variável escalar q é definida como

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ mathbf {a}} {\ partial q}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial a_ {i}} {\ partial q} } \ mathbf {e} _ {i}}$

onde a _i é a componente escalar de a na direção de e _i . Também é chamado de cosseno de direção de a e e _i ou seu produto escalar . Os vetores e ₁ , e ₂ , e ₃ formam uma base ortonormal fixada no referencial no qual a derivada está sendo tomada.

Derivada ordinária

Se a é considerado uma função vetorial de uma única variável escalar, como o tempo t , então a equação acima se reduz à primeira derivada de tempo ordinária de a em relação a t ,

${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {a}} {dt}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {da_ {i}} {dt}} \ mathbf {e} _ {eu}.}$

Derivada total

Se o vetor a é uma função de um número n de variáveis ​​escalares q _r ( r = 1, ..., n ), e cada q _r é apenas uma função do tempo t , então a derivada ordinária de a em relação a t pode ser expressa, em uma forma conhecida como derivada total , como

${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {a}} {dt}} = \ sum _ {r = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial \ mathbf {a}} {\ partial q_ {r} }} {\ frac {dq_ {r}} {dt}} + {\ frac {\ partial \ mathbf {a}} {\ partial t}}.}$

Alguns autores preferem usar D maiúsculo para indicar o operador da derivada total, como em D / Dt . A derivada total difere da derivada de tempo parcial em que a derivada total contabiliza as mudanças em a devido à variação de tempo das variáveis q _r .

Quadros de referência

Enquanto para funções de valor escalar há apenas um único referencial possível , tomar a derivada de uma função de valor vetorial requer a escolha de um referencial (pelo menos quando um sistema de coordenadas cartesianas fixas não está implícito como tal). Uma vez que um quadro de referência foi escolhido, a derivada de uma função com valor vetorial pode ser calculada usando técnicas semelhantes àquelas para calcular derivadas de funções com valor escalar. Uma escolha diferente de referencial irá, em geral, produzir uma função derivada diferente. As funções derivadas em diferentes referenciais têm uma relação cinemática específica .

Derivada de uma função vetorial com bases não fixas

As fórmulas acima para a derivada de uma função vetorial baseiam-se na suposição de que os vetores de base e ₁ , e ₂ , e ₃ são constantes, ou seja, fixados no referencial em que a derivada de a está sendo tomada, e portanto o e ₁ , e ₂ , e ₃ cada um tem uma derivada igual a zero. Isso geralmente é verdadeiro para problemas que lidam com campos de vetores em um sistema de coordenadas fixas ou para problemas simples em física. No entanto, muitos problemas complexos envolvem a derivada de uma função vetorial em múltiplos referenciais móveis , o que significa que os vetores de base não serão necessariamente constantes. Em tal caso em que os vetores de base e ₁ , e ₂ , e ₃ são fixados no referencial E, mas não no referencial N, a fórmula mais geral para a derivada de tempo ordinária de um vetor no referencial N é

${\ displaystyle {\ frac {{} ^ {\ mathrm {N}} d \ mathbf {a}} {dt}} = \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ frac {da_ {i}} {dt}} \ mathbf {e} _ {i} + \ sum _ {i = 1} ^ {3} a_ {i} {\ frac {{} ^ {\ mathrm {N}} d \ mathbf {e} _ {i}} {dt}}}$

onde o N sobrescrito à esquerda do operador derivada indica o referencial no qual a derivada é obtida. Como mostrado anteriormente , o primeiro termo do lado direito é igual à derivada de a no referencial onde e ₁ , e ₂ , e ₃ são constantes, referencial E. Também pode ser mostrado que o segundo termo no lado direito é igual à velocidade angular relativa dos dois referenciais cruzados multiplicada pelo próprio vetor a . Assim, após a substituição, a fórmula que relaciona a derivada de uma função vetorial em dois referenciais é

${\ displaystyle {\ frac {{} ^ {\ mathrm {N}} d \ mathbf {a}} {dt}} = {\ frac {{} ^ {\ mathrm {E}} d \ mathbf {a}} {dt}} + {} ^ {\ mathrm {N}} \ mathbf {\ omega} ^ {\ mathrm {E}} \ times \ mathbf {a}}$

onde ^N ω ^E é a velocidade angular do referencial E em relação ao referencial N.

Um exemplo comum onde esta fórmula é usada é encontrar a velocidade de um objeto transportado pelo espaço, como um foguete , no referencial inercial usando medições da velocidade do foguete em relação ao solo. A velocidade ^N v ^R no referencial inercial N de um foguete R localizado na posição r ^R pode ser encontrada usando a fórmula

${\ displaystyle {\ frac {{} ^ {\ mathrm {N}} d} {dt}} (\ mathbf {r} ^ {\ mathrm {R}}) = {\ frac {{} ^ {\ mathrm { E}} d} {dt}} (\ mathbf {r} ^ {\ mathrm {R}}) + {} ^ {\ mathrm {N}} \ mathbf {\ omega} ^ {\ mathrm {E}} \ vezes \ mathbf {r} ^ {\ mathrm {R}}.}$

onde ^N ω ^E é a velocidade angular da Terra em relação ao referencial inercial N. Como a velocidade é a derivada da posição , ^N v ^R e ^E v ^R são as derivadas de r ^R nos referenciais N e E, respectivamente. Por substituição,

${\ displaystyle {} ^ {\ mathrm {N}} \ mathbf {v} ^ {\ mathrm {R}} = {} ^ {\ mathrm {E}} \ mathbf {v} ^ {\ mathrm {R}} + {} ^ {\ mathrm {N}} \ mathbf {\ omega} ^ {\ mathrm {E}} \ times \ mathbf {r} ^ {\ mathrm {R}}}$

onde ^E v ^R é o vetor velocidade do foguete, medido a partir de um referencial E que é fixado à Terra.

Multiplicação derivada e vetorial

A derivada dos produtos das funções vetoriais se comporta de maneira semelhante à derivada dos produtos das funções escalares. Especificamente, no caso da multiplicação escalar de um vetor, se p é uma função variável escalar de q ,

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial q}} (p \ mathbf {a}) = {\ frac {\ partial p} {\ partial q}} \ mathbf {a} + p {\ frac { \ partial \ mathbf {a}} {\ partial q}}.}$

No caso da multiplicação de ponto , para dois vectores de um e b , que são as duas funções de q ,

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial q}} (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}) = {\ frac {\ partial \ mathbf {a}} {\ partial q}} \ cdot \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {b}} {\ partial q}}.}$

Da mesma forma, a derivada do produto vetorial de duas funções vetoriais é

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial q}} (\ mathbf {a} \ times \ mathbf {b}) = {\ frac {\ partial \ mathbf {a}} {\ partial q}} \ times \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ times {\ frac {\ partial \ mathbf {b}} {\ partial q}}.}$

Derivada de uma função vetorial n- dimensional

Uma função f de um número real t com valores no espaço pode ser escrita como . Sua derivada é igual a ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle f (t) = (f_ {1} (t), f_ {2} (t), \ ldots, f_ {n} (t))}$

${\ displaystyle f '(t) = (f_ {1}' (t), f_ {2} '(t), \ ldots, f_ {n}' (t))}$ .

Se f é uma função de várias variáveis, digamos de , então as derivadas parciais dos componentes de f formam uma matriz chamada de matriz Jacobiana de f . ${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ displaystyle n \ times m}$

Funções vetoriais de dimensão infinita

Se os valores de uma função f estiverem em um espaço vetorial de dimensão infinita X , como um espaço de Hilbert , então f pode ser chamada de função vetorial de dimensão infinita .

Funções com valores em um espaço de Hilbert

Se o argumento de f é um número real e X é um espaço de Hilbert, então a derivada de f em um ponto t pode ser definida como no caso de dimensão finita:

${\ displaystyle f '(t) = \ lim _ {h \ rightarrow 0} {\ frac {f (t + h) -f (t)} {h}}.}$

A maioria dos resultados do caso de dimensão finita também vale para o caso de dimensão infinita, mutatis mutandis. A diferenciação também pode ser definida para funções de várias variáveis ​​(por exemplo, ou mesmo , onde Y é um espaço vetorial de dimensão infinita). ${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle t \ in Y}$

NB: Se X é um espaço de Hilbert, então pode-se facilmente mostrar que qualquer derivada (e qualquer outro limite) pode ser calculada em componentes: se

${\ displaystyle f = (f_ {1}, f_ {2}, f_ {3}, \ ldots)}$

(ou seja, onde está uma base ortonormal do espaço X ), e existe, então ${\ displaystyle f = f_ {1} e_ {1} + f_ {2} e_ {2} + f_ {3} e_ {3} + \ cdots}$${\ displaystyle e_ {1}, e_ {2}, e_ {3}, \ ldots}$${\ displaystyle f '(t)}$

${\ displaystyle f '(t) = (f_ {1}' (t), f_ {2} '(t), f_ {3}' (t), \ ldots)}$ .

No entanto, a existência de uma derivada componente não garante a existência de uma derivada, já que a convergência componente em um espaço de Hilbert não garante convergência com respeito à topologia real do espaço de Hilbert.

Outros espaços vetoriais de dimensão infinita

A maior parte do que foi dito acima vale para outros espaços vetoriais topológicos X também. No entanto, não tantos resultados clássicos se mantêm na configuração do espaço de Banach , por exemplo, uma função absolutamente contínua com valores em um espaço de Banach adequado não precisa ter uma derivada em qualquer lugar. Além disso, na maioria dos ambientes de Banach não existem bases ortonormais.

Veja também

• Vetor coordenado
• Campo vetorial
• Curva
• Superfície paramétrica
• Vetor de posição
• Parametrização

Notas

Referências

• Kane, Thomas R .; Levinson, David A. (1996), "1-9 Differentiation of Vector Functions", Dynamics Online , Sunnyvale, Califórnia: OnLine Dynamics, Inc., pp. 29-37
• Hu, Chuang-Gan; Yang, Chung-Chun (2013), Vector-Valued Functions and their Applications , Springer Science & Business Media, ISBN   978-94-015-8030-4

links externos

• Funções com valor vetorial e suas propriedades (do Lake Tahoe Community College)
• Weisstein, Eric W. "Vector Function" . MathWorld .
• Artigo Everything2
• Funções com valor vetorial tridimensional (da East Tennessee State University)
• Módulo "Funções com valor de vetor de posição" da Khan Academy