Versine - Versine

O verseno ou seno versado é uma função trigonométrica encontrada em algumas das primeiras tabelas trigonométricas (Védica Aryabhatia I) . A verseno de um ângulo é 1 menos seu cosseno .

Existem várias funções relacionadas, mais notavelmente o coversine e haversine . Este último, meio versino, é de particular importância na fórmula de navegação haversina .

Um círculo unitário com funções trigonométricas .

Visão geral

O verseno ou seno versado é uma função trigonométrica que já aparece em algumas das primeiras tabelas trigonométricas. É escrito como versin ( θ ) , sinver ( θ ) , vers ( θ ) , ver ( θ ) ou siv ( θ ) . Em latim , é conhecido como sinus versus (seno invertido), versinus , versus ou sagitta (seta).

Expresso em termos das funções de senos "verticais" ( sinus rectus ) e cossenos ( cosinus rectus ) mais comumente usados , a versina é igual a

${\ displaystyle {\ textrm {versin}} (\ theta) = 1- \ cos (\ theta) = 2 \ sin ^ {2} \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right)}$

Existem várias funções relacionadas correspondentes à versina:

O cosseno versado , ou vercoseno , escrito por vercosina ( θ ) , vercos ( θ ) ou vcs ( θ )
O seno coberto , coverseno , cosinus versus, ou coversinus , coversinus escrito ( θ ) , covers ( θ ) , cosiv ( θ ) ou cvs ( θ )
O cosseno coberto ou covercoseno , escrito covercosina ( θ ) ou covercos ( θ ) ou cvc ( θ )

Em completa analogia com as quatro funções acima mencionadas, existe também um outro conjunto de quatro funções de "meio-valor":

O sine haversed , Haversine ou semiversus , escrito Haversin ( θ ) , semiversin ( θ ) , semiversinus ( q ) , havers ( q ) , HAV ( θ ) , HVS ( q ) , SEM ( θ ) ou HV ( θ ) , mais famosa pela fórmula haversine usada historicamente na navegação
O cosseno haversed ou havercosine , havercosin escrito ( θ ) , havercos ( θ ) , hac ( θ ) ou hvc ( θ )
O seno hackeado , também chamado de hacoversine ou cohaversine e hacoversin escrito ( θ ) , semicoversin ( θ ) , hacovers ( θ ) , hacov ( θ ) ou hcv ( θ )
O cosseno hackeado , também chamado de hacovercosina ou cohavercosina e hacovercosina escrita ( θ ) , hacovercos ( θ ) ou hcc ( θ )

História e aplicações

Versino e coversino

Seno, co-seno, e versine de ângulo θ em termos de um círculo unitário com um raio, centrado em S . Esta figura também ilustra a razão pela qual o versine às vezes era chamado de sagitta , palavra latina para flecha . Se o arco ADB do ângulo duplo Δ = 2 θ é visto como um " arco " e o acorde AB como sua "corda", então o CD versine é claramente a "haste da flecha".

Gráficos de funções trigonométricas históricas comparadas com sin e cos - no arquivo SVG, passe o mouse ou clique em um gráfico para destacá-lo

A função seno normal ( ver nota sobre a etimologia ) às vezes era historicamente chamada de seio reto ("seno reto"), em contraste com o seno versado ( seio versus ). O significado desses termos é aparente se olharmos para as funções no contexto original para sua definição, um círculo unitário :

Para uma corda vertical AB do círculo unitário, o seno do ângulo θ (representando metade do ângulo subtendido Δ ) é a distância AC (metade da corda). Por outro lado, o seno versado de θ é a distância CD do centro da corda ao centro do arco. Assim, a soma de cos ( θ ) (igual ao comprimento da linha OC ) e versin ( θ ) (igual ao comprimento da linha CD ) é o raio OD (com comprimento 1). Ilustrado desta forma, o seno é vertical ( reto , literalmente "reto"), enquanto o verso é horizontal ( versus , literalmente "voltado contra, fora do lugar"); ambos são distâncias de C ao círculo.

Essa figura também ilustra a razão pela qual o versine às vezes era chamado de sagitta , palavra em latim para seta , do uso árabe sahem com o mesmo significado. Esta própria palavra vem da palavra indiana 'sara' (seta) que era comumente usada para se referir a " utkrama-jya ". Se o arco ADB do ângulo duplo Δ = 2 θ é visto como um " arco " e o acorde AB como sua "corda", então o CD versine é claramente a "haste da flecha".

Seguindo ainda mais a interpretação do seno como "vertical" e do seno versado como "horizontal", sagitta também é um sinônimo obsoleto para a abscissa (o eixo horizontal de um gráfico).

Em 1821, Cauchy usou os termos sinus versus ( siv ) para o versine e cosinus versus ( cosiv ) para o coversine.

As funções trigonométricas pode ser construído geometricamente em termos de um círculo unitário centrado em S .

Historicamente, o seno versado foi considerado uma das funções trigonométricas mais importantes.

Conforme θ vai para zero, versin ( θ ) é a diferença entre duas quantidades quase iguais, então um usuário de uma tabela trigonométrica apenas para o cosseno precisaria de uma precisão muito alta para obter a versina a fim de evitar o cancelamento catastrófico , criando tabelas separadas para o último conveniente. Mesmo com uma calculadora ou computador, os erros de arredondamento tornam aconselhável usar a fórmula sin ² para θ pequeno .

Outra vantagem histórica da versina é que ela é sempre não negativa, então seu logaritmo é definido em todos os lugares, exceto para o único ângulo ( θ = 0, 2 $π$ , ...) onde é zero - portanto, pode-se usar tabelas logarítmicas para multiplicações em fórmulas envolvendo versines.

Na verdade, a primeira tabela sobrevivente de valores de seno (meio- acorde ) (em oposição aos acordes tabulados por Ptolomeu e outros autores gregos), calculada a partir do Surya Siddhantha da Índia datada do século 3 aC, era uma tabela de valores para o seno e o seno versado (em incrementos de 3,75 ° de 0 a 90 °).

A versina aparece como uma etapa intermediária na aplicação da fórmula do meio-ângulo sen ²(θ/2) =1/2versin ( θ ), derivado por Ptolomeu , que foi usado para construir tais tabelas.

Haversine

O haversine, em particular, era importante na navegação porque aparece na fórmula Haversine , que é usada para calcular com razoável precisão as distâncias em um esferóide astronômico (ver problemas com o raio da Terra vs. esfera ) dadas as posições angulares (por exemplo, longitude e latitude ) Pode-se também usar o pecado ²(θ/2) diretamente, mas ter uma tabela do haversine eliminou a necessidade de calcular quadrados e raízes quadradas.

Uma primeira utilização por José de Mendoza y Ríos do que mais tarde seria chamado de haversines está documentada em 1801.

O primeiro equivalente inglês conhecido a uma tabela de haversines foi publicado por James Andrew em 1805.

Em 1835, o termo haversine (notado naturalmente como hav. Ou base 10 logaritmicamente como log. Haversine ou log. Havers. ) Foi cunhado por James Inman na terceira edição de sua obra Navigation and Nautical Astronomy: For the Use of British Seamen para simplificar o cálculo de distâncias entre dois pontos na superfície da terra usando trigonometria esférica para aplicações em navegação. Inman também usou os termos nat. versine e nat. vers. para versines.

Outras tabelas conceituadas de haversines foram as de Richard Farley em 1856 e John Caulfield Hannyngton em 1876.

O haversine continua a ser usado na navegação e encontrou novas aplicações nas últimas décadas, como no método de Bruce D. Stark para limpar distâncias lunares utilizando logaritmos gaussianos desde 1995 ou em um método mais compacto para redução da visão desde 2014.

Usos modernos

Embora o uso de versine, coversine e haversine, bem como suas funções inversas, possam ser rastreadas séculos atrás, os nomes para as outras cinco cofunções parecem ser de origem muito mais jovem.

Um período (0 < θ < $π$ /2) de uma versina ou, mais comumente, uma forma de onda haversina (ou havercosseno) também é comumente usada no processamento de sinal e na teoria de controle como a forma de um pulso ou uma função de janela (incluindo janelas Hann , Hann-Poisson e Tukey ), porque suavemente ( contínuo em valor e inclinação ) "liga" de zero a um (para haversine) e volta a zero. Nessas aplicações, ela é chamada de função Hann ou filtro de cosseno elevado . Da mesma forma, o havercosine é usado em distribuições de cosseno elevado em teoria de probabilidade e estatística .

Na forma de sen ² ( θ ), o haversine do duplo ângulo Δ descreve a relação entre spreads e ângulos na trigonometria racional , uma reformulação proposta de geometrias planas e sólidas métricas por Norman John Wildberger desde 2005.

Identidades matemáticas

Definições

${\ displaystyle {\ textrm {versin}} (\ theta): = 2 \ sin ^ {2} \! \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) = 1- \ cos (\ theta ) \,}$
${\ displaystyle {\ textrm {coversin}} (\ theta): = {\ textrm {versin}} \! \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) = 1- \ sin (\ theta) \,}$
${\ displaystyle {\ textrm {vercosin}} (\ theta): = 2 \ cos ^ {2} \! \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) = 1 + \ cos (\ theta ) \,}$
${\ displaystyle {\ textrm {covercosin}} (\ theta): = {\ textrm {vercosin}} \! \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) = 1 + \ sin (\ theta) \,}$
${\ displaystyle {\ textrm {haversin}} (\ theta): = {\ frac {{\ textrm {versin}} (\ theta)} {2}} = \ sin ^ {2} \! \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) = {\ frac {1- \ cos (\ theta)} {2}} \,}$
${\ displaystyle {\ textrm {hacoversin}} (\ theta): = {\ frac {{\ textrm {coversin}} (\ theta)} {2}} = {\ frac {1- \ sin (\ theta)} {2}} \,}$
${\ displaystyle {\ textrm {havercosin}} (\ theta): = {\ frac {{\ textrm {vercosin}} (\ theta)} {2}} = \ cos ^ {2} \! \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) = {\ frac {1+ \ cos (\ theta)} {2}} \,}$
${\ displaystyle {\ textrm {hacovercosin}} (\ theta): = {\ frac {{\ textrm {covercosin}} (\ theta)} {2}} = {\ frac {1+ \ sin (\ theta)} {2}} \,}$

Rotações circulares

As funções são rotações circulares umas das outras.

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mathrm {versin} (\ theta) & = \ mathrm {coversin} \ left (\ theta + {\ frac {\ pi} {2}} \ right) = \ mathrm {vercosin } \ left (\ theta + \ pi \ right) = \ mathrm {covercosin} \ left (\ theta + {\ frac {3 \ pi} {2}} \ right) \\\ mathrm {haversin} (\ theta) & = \ mathrm {hacoversin} \ left (\ theta + {\ frac {\ pi} {2}} \ right) = \ mathrm {havercosin} \ left (\ theta + \ pi \ right) = \ mathrm {hacovercosin} \ left (\ theta + {\ frac {3 \ pi} {2}} \ right) \ end {alinhado}}}

Derivados e integrais

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ mathrm {versin} (x) = \ sin {x}}$	${\ displaystyle \ int \ mathrm {versin} (x) \, \ mathrm {d} x = x- \ sin {x} + C}$
${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ mathrm {vercosin} (x) = - \ sin {x}}$	${\ displaystyle \ int \ mathrm {vercosin} (x) \, \ mathrm {d} x = x + \ sin {x} + C}$
${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ mathrm {coversin} (x) = - \ cos {x}}$	${\ displaystyle \ int \ mathrm {coversin} (x) \, \ mathrm {d} x = x + \ cos {x} + C}$
${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ mathrm {covercosin} (x) = \ cos {x}}$	${\ displaystyle \ int \ mathrm {covercosin} (x) \, \ mathrm {d} x = x- \ cos {x} + C}$
${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ mathrm {haversin} (x) = {\ frac {\ sin {x}} {2}}}$	${\ displaystyle \ int \ mathrm {haversin} (x) \, \ mathrm {d} x = {\ frac {x- \ sin {x}} {2}} + C}$
${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ mathrm {havercosin} (x) = {\ frac {- \ sin {x}} {2}}}$	${\ displaystyle \ int \ mathrm {havercosin} (x) \, \ mathrm {d} x = {\ frac {x + \ sin {x}} {2}} + C}$
${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ mathrm {hacoversin} (x) = {\ frac {- \ cos {x}} {2}}}$	${\ displaystyle \ int \ mathrm {hacoversin} (x) \, \ mathrm {d} x = {\ frac {x + \ cos {x}} {2}} + C}$
${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ mathrm {hacovercosin} (x) = {\ frac {\ cos {x}} {2}}}$	${\ displaystyle \ int \ mathrm {hacovercosin} (x) \, \ mathrm {d} x = {\ frac {x- \ cos {x}} {2}} + C}$

Funções inversas

Funções inversas como arcversine (arcversin, arcvers, avers, aver), arcvercosine (arcvercosin, arcvercos, avercos, AVCS), arccoversine (arccoversin, arccovers, acovers, ACVS), arccovercosine (arccovercosin, arccovercos, acovercos, acvc), archaversine (archaversin , archav, haversin ⁻¹ , invhav, ahav, ahvs, ahv, hav ⁻¹ ), archavercosina (archavercosina, archavercos, ahvc), archacoversine (archacoversin, ahcv) ou archacovercosina (archacovercosina, archacovercos também existem: ahcc)

${\ displaystyle \ operatorname {arcversin} (y) = \ arccos \ left (1-y \ right) \,}$
${\ displaystyle \ operatorname {arcvercos} (y) = \ arccos \ left (y-1 \ right) \,}$
${\ displaystyle \ operatorname {arccoversin} (y) = \ arcsin \ left (1-y \ right) \,}$
${\ displaystyle \ operatorname {arccovercos} (y) = \ arcsin \ left (y-1 \ right) \,}$
${\ displaystyle \ operatorname {archaversin} (y) = 2 \ arcsin \ left ({\ sqrt {y}} \ right) = \ arccos \ left (1-2y \ right) \,}$
${\ displaystyle \ operatorname {archavercos} (y) = 2 \ arccos \ left ({\ sqrt {y}} \ right) = \ arccos \ left (2y-1 \ right)}$
${\ displaystyle \ operatorname {archacoversin} (y) = \ arcsin \ left (1-2y \ right) \,}$
${\ displaystyle \ operatorname {archacovercos} (y) = \ arcsin \ left (2y-1 \ right) \,}$

Outras propriedades

Essas funções podem ser estendidas ao plano complexo .

Maclaurin series :

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ operatorname {versin} (z) & = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k-1} z ^ {2k }} {(2k)!}} \\\ operatorname {haversin} (z) & = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k-1} z ^ {2k}} {2 (2k)!}} \ End {alinhado}}}

{\ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to 0} {\ frac {\ operatorname {versin} (\ theta)} {\ theta}} = 0}

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} {\ frac {\ operatorname {versin} (\ theta) + \ operatorname {coversin} (\ theta)} {\ operatorname {versin} (\ theta) - \ operatorname {coversin} ( \ theta)}} - {\ frac {\ operatorname {exsec} (\ theta) + \ operatorname {excsc} (\ theta)} {\ operatorname {exsec} (\ theta) - \ operatorname {excsc} (\ theta) }} & = {\ frac {2 \ operatorname {versin} (\ theta) \ operatorname {coversin} (\ theta)} {\ operatorname {versin} (\ theta) - \ operatorname {coversin} (\ theta)}} \\ [3pt] [\ operatorname {versin} (\ theta) + \ operatorname {exsec} (\ theta)] \, [\ operatorname {coversin} (\ theta) + \ operatorname {excsc} (\ theta)] & = \ sin (\ theta) \ cos (\ theta) \ end {alinhado}}}

Aproximações

Comparação da função versine com três aproximações para as funções versine, para ângulos que variam de 0 a 2 π

Comparação da função versina com três aproximações para as funções versina, para ângulos que variam de 0 a π / 2

Quando a versina v é pequena em comparação com o raio r , pode ser aproximada a partir do comprimento da meia corda L (a distância AC mostrada acima) pela fórmula

{\ displaystyle v \ approx {\ frac {L ^ {2}} {2r}}}

.

Alternativamente, se a versina for pequena e o comprimento da versina, do raio e da meia corda forem conhecidos, eles podem ser usados para estimar o comprimento do arco s ( AD na figura acima) pela fórmula

{\ displaystyle s \ approx L + {\ frac {v ^ {2}} {r}}}

Essa fórmula era conhecida do matemático chinês Shen Kuo , e uma fórmula mais precisa envolvendo também a sagitta foi desenvolvida dois séculos depois por Guo Shoujing .

Uma aproximação mais precisa usada em engenharia é

{\ displaystyle v \ approx {\ frac {s ^ {\ frac {3} {2}} L ^ {\ frac {1} {2}}} {8r}}}

Curvas e acordes arbitrários

O termo versine também é algumas vezes usado para descrever desvios de retidão em uma curva plana arbitrária, da qual o círculo acima é um caso especial. Dado um acorde entre dois pontos em uma curva, a distância perpendicular v do acorde à curva (geralmente no ponto médio do acorde) é chamada de medição de versina . Para uma linha reta, a versina de qualquer acorde é zero, portanto, essa medida caracteriza a retidão da curva. No limite, conforme o comprimento do acorde L vai para zero, a proporção8 v/L ²vai para a curvatura instantânea . Esse uso é especialmente comum no transporte ferroviário , onde descreve as medidas da retilinidade dos trilhos e é a base do método Hallade para levantamento topográfico .

O termo sagitta (freqüentemente abreviado sag ) é usado de forma semelhante em óptica , para descrever as superfícies de lentes e espelhos .

Veja também

Notas

Referências

Leitura adicional

Hawking, Stephen William , org. (2002). Sobre os ombros de gigantes: as grandes obras da física e da astronomia . Filadélfia, EUA: Running Press . ISBN 0-7624-1698-X. LCCN 2002100441 . Recuperado em 31-07-2017 .

links externos

Pegg, Jr., Ed . "Sagitta, Apothem e Chord" . The Wolfram Demonstrations Project .
Funções trigonométricas em GeoGebra.org

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