Tensor de Weyl - Weyl tensor

Em geometria diferencial , o tensor de curvatura de Weyl , em homenagem a Hermann Weyl , é uma medida da curvatura do espaço - tempo ou, mais geralmente, uma variedade pseudo-Riemanniana . Como o tensor de curvatura de Riemann , o tensor de Weyl expressa a força de maré que um corpo sente ao se mover ao longo de uma geodésica . O tensor de Weyl difere do tensor de curvatura de Riemann por não transmitir informações sobre como o volume do corpo muda, mas apenas como a forma do corpo é distorcida pela força da maré. A curvatura de Ricci , ou componente de traço do tensor de Riemann, contém precisamente as informações sobre como os volumes mudam na presença de forças de maré, então o tensor de Weyl é o componente sem traço do tensor de Riemann. É um tensor que tem as mesmas simetrias que o tensor de Riemann, com a condição extra de ser livre de traços: a contração métrica em qualquer par de índices resulta em zero.

Na relatividade geral , a curvatura de Weyl é a única parte da curvatura que existe no espaço livre - uma solução da equação de Einstein do vácuo - e governa a propagação das ondas gravitacionais através de regiões do espaço desprovidas de matéria. De forma mais geral, a curvatura de Weyl é o único componente da curvatura para variedades planas de Ricci e sempre governa as características das equações de campo de uma variedade de Einstein .

Nas dimensões 2 e 3, o tensor de curvatura de Weyl desaparece de forma idêntica. Em dimensões ≥ 4, a curvatura de Weyl geralmente é diferente de zero. Se o tensor de Weyl desaparecer na dimensão ≥ 4, então a métrica é localmente conforme de forma plana : existe um sistema de coordenadas local no qual o tensor métrico é proporcional a um tensor constante. Esse fato foi um componente-chave da teoria da gravitação de Nordström , que foi um precursor da relatividade geral .

Definição

O tensor de Weyl pode ser obtido a partir do tensor de curvatura total subtraindo vários traços. Isso é feito mais facilmente escrevendo o tensor de Riemann como um tensor de valência (0,4) (contraindo com a métrica). O tensor de Weyl de valência (0,4) é então ( Petersen 2006 , p. 92)

${\ displaystyle C = R - {\ frac {1} {n-2}} \ left (\ mathrm {Ric} - {\ frac {s} {n}} g \ right) \ wedge \! \! \! \! \! \! \ bigcirc g - {\ frac {s} {2n (n-1)}} g \ wedge \! \! \! \! \! \! \ bigcirc g}$

onde n é a dimensão da variedade, g é a métrica, R é o tensor de Riemann, Ric é o tensor de Ricci , s é a curvatura escalar e denota o produto Kulkarni-Nomizu de dois tensores simétricos (0,2): ${\ displaystyle h \ wedge \! \! \! \! \! \! \ bigcirc k}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} (h \ wedge \! \! \! \! \! \! \ bigcirc k) \ left (v_ {1}, v_ {2}, v_ {3}, v_ {4 } \ right) = \ quad & h \ left (v_ {1}, v_ {3} \ right) k \ left (v_ {2}, v_ {4} \ right) + h \ left (v_ {2}, v_ {4} \ direita) k \ esquerda (v_ {1}, v_ {3} \ direita) \\ - {} & h \ esquerda (v_ {1}, v_ {4} \ direita) k \ esquerda (v_ {2 }, v_ {3} \ right) -h \ left (v_ {2}, v_ {3} \ right) k \ left (v_ {1}, v_ {4} \ right) \ end {alinhado}}}$

Na notação do componente tensor, isso pode ser escrito como

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} C_ {ik \ ell m} = R_ {ik \ ell m} + {} & {\ frac {1} {n-2}} \ left (R_ {im} g_ {k \ ell} -R_ {i \ ell} g_ {km} + R_ {k \ ell} g_ {im} -R_ {km} g_ {i \ ell} \ right) \\ {} + {} & {\ frac {1} {(n-1) (n-2)}} R \ esquerda (g_ {i \ ell} g_ {km} -g_ {im} g_ {k \ ell} \ direita). \ \ End {alinhado }}}$

O tensor de Weyl ordinário (1,3) valente é dado pela contração do anterior com o inverso da métrica.

A decomposição ( 1 ) expressa o tensor de Riemann como uma soma direta ortogonal , no sentido de que

${\ displaystyle | R | ^ {2} = | C | ^ {2} + \ left | {\ frac {1} {n-2}} \ left (\ mathrm {Ric} - {\ frac {s} { n}} g \ right) \ wedge \! \! \! \! \! \! \ bigcirc g \ right | ^ {2} + \ left | {\ frac {s} {2n (n-1)}} g \ wedge \! \! \! \! \! \! \ bigcirc g \ right | ^ {2}.}$

Essa decomposição, conhecida como decomposição de Ricci , expressa o tensor de curvatura de Riemann em seus componentes irredutíveis sob a ação do grupo ortogonal ( Singer & Thorpe 1968 ) . Na dimensão 4, o tensor de Weyl se decompõe ainda mais em fatores invariantes para a ação do grupo ortogonal especial , as partes autodais e autoduais C ⁺ e C ^- . erro harv: sem alvo: CITEREFSingerThorpe1968 ( ajuda )

O tensor de Weyl também pode ser expresso usando o tensor de Schouten , que é um múltiplo ajustado pelo traço do tensor de Ricci,

${\ displaystyle P = {\ frac {1} {n-2}} \ left (\ mathrm {Ric} - {\ frac {s} {2 (n-1)}} g \ right).}$

Então

${\ displaystyle C = RP \ wedge \! \! \! \! \! \! \ bigcirc g.}$

Em índices,

${\ displaystyle C_ {abcd} = R_ {abcd} - {\ frac {2} {n-2}} \ left (g_ {a [c} R_ {d] b} -g_ {b [c} R_ {d ] a} \ direita) + {\ frac {2} {(n-1) (n-2)}} R ~ g_ {a [c} g_ {d] b}}$

onde está o tensor de Riemann, é o tensor de Ricci, é o escalar de Ricci (a curvatura escalar) e os colchetes em torno dos índices referem-se à parte anti-simétrica . Equivalentemente, ${\ displaystyle R_ {abcd}}$${\ displaystyle R_ {ab}}$${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle {C_ {ab}} ^ {cd} = {R_ {ab}} ^ {cd} -4S _ {[a} ^ {[c} \ delta _ {b]} ^ {d]}}$

onde S denota o tensor de Schouten .

Propriedades

Reescalonamento conforme

O tensor de Weyl tem a propriedade especial de ser invariante sob mudanças conformes na métrica . Ou seja, se para alguma função escalar positiva , o tensor de Weyl (1,3) valente é satisfatório . Por esta razão, o tensor de Weyl também é chamado de tensor conforme . Segue-se que uma condição necessária para uma variedade Riemanniana ser conformalmente plana é que o tensor de Weyl desapareça. Em dimensões ≥ 4, esta condição também é suficiente . Na dimensão 3, o desaparecimento do tensor Cotton é uma condição necessária e suficiente para que a variedade Riemanniana seja conformalmente plana. Qualquer variedade Riemanniana bidimensional (lisa) é conformalmente plana, uma consequência da existência de coordenadas isotérmicas . ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} \ mapsto g '_ {\ mu \ nu} = fg _ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle {C '} _ {\ \ bcd} ^ {a} = C _ {\ \ bcd} ^ {a}}$

Na verdade, a existência de uma escala conforme plano equivale a resolver a equação diferencial parcial sobredeterminada

${\ displaystyle Ddf-df \ otimes df + \ left (| df | ^ {2} + {\ frac {\ Delta f} {n-2}} \ right) g = \ operatorname {Ric}.}$

Na dimensão ≥ 4, o desaparecimento do tensor de Weyl é a única condição de integrabilidade para esta equação; na dimensão 3, é o tensor Cotton .

Simetrias

O tensor de Weyl tem as mesmas simetrias do tensor de Riemann. Isso inclui:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} C (u, v) & = - C (v, u) \\\ langle C (u, v) w, z \ rangle & = - \ langle C (u, v) z, w \ rangle \\ C (u, v) w + C (v, w) u + C (w, u) v & = 0. \ end {alinhado}}}$

Além disso, é claro, o tensor de Weyl é livre de traços:

${\ displaystyle \ operatorname {tr} C (u, \ cdot) v = 0}$

para todos u , v . Nos índices, essas quatro condições são

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} C_ {abcd} = - C_ {bacd} & = - C_ {abdc} \\ C_ {abcd} + C_ {acdb} + C_ {adbc} & = 0 \\ {C ^ {a}} _ {bac} & = 0. \ end {alinhado}}}$

Identidade Bianchi

Tomando traços da segunda identidade Bianchi usual do tensor de Riemann, eventualmente, mostra que

${\ displaystyle \ nabla _ {a} {C ^ {a}} _ {bcd} = 2 (n-3) \ nabla _ {[c} S_ {d] b}}$

onde S é o tensor de Schouten . O tensor de valência (0,3) no lado direito é o tensor Cotton , além do fator inicial.

Veja também

• Curvatura de variedades Riemannianas
• Os símbolos de Christoffel fornecem uma expressão de coordenada para o tensor de Weyl.
• Tensor de Lanczos
• Teorema de peeling
• Classificação Petrov
• Tensor de Plebanski
• Hipótese de curvatura de Weyl
• Escalar Weyl

Notas

Referências

• Hawking, Stephen W .; Ellis, George FR (1973), The Large Scale Structure of Space-Time , Cambridge University Press, ISBN 0-521-09906-4
• Petersen, Peter (2006), geometria Riemanniana , Graduate Texts in Mathematics, 171 (2ª ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 0387292462, MR  2243772.
• Sharpe, RW (1997), Geometria Diferencial: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program , Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-94732-9.
• Singer, IM ; Thorpe, JA (1969), "The curvature of 4-dimensional Einstein spaces", Global Analysis (Papers in Honor of K. Kodaira) , Univ. Tokyo Press, pp. 355-365
• "Weyl tensor" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Grøn, Øyvind ; Hervik, Sigbjørn (2007), Teoria Geral da Relatividade de Einstein , Nova York: Springer, ISBN 978-0-387-69199-2