Einstein manifold - Einstein manifold

Na geometria diferencial e física matemática , um colector de Einstein é um Riemannianos ou pseudo-Riemannianos variedade diferenciável cujo tensor de Ricci é proporcional à métrica . Eles têm o nome de Albert Einstein porque esta condição equivale a dizer que a métrica é uma solução das equações de campo de Einstein do vácuo (com constante cosmológica ), embora tanto a dimensão quanto a assinatura da métrica possam ser arbitrárias, não se restringindo a as variedades Lorentzianas quadridimensionais geralmente estudadas na relatividade geral . Variedades de Einstein em quatro dimensões euclidianas são estudadas como instantons gravitacionais .

Se M é a variedade n- dimensional subjacente e g é seu tensor métrico , a condição de Einstein significa que

${\ displaystyle \ mathrm {Ric} = kg}$

para algum k constante , onde Ric denota o tensor de Ricci de g . Variedades de Einstein com k = 0 são chamadas variedades planas de Ricci .

A condição de Einstein e a equação de Einstein

Em coordenadas locais, a condição de que ( M , g ) seja uma variedade de Einstein é simplesmente

${\ displaystyle R_ {ab} = kg_ {ab}.}$

Tomando o traçado de ambos os lados, revela-se que a constante de proporcionalidade k para variedades de Einstein está relacionada à curvatura escalar R por

${\ displaystyle R = nk,}$

onde N é a dimensão de M .

Na relatividade geral , a equação de Einstein com uma constante cosmológica Λ é

${\ displaystyle R_ {ab} - {\ frac {1} {2}} g_ {ab} R + g_ {ab} \ Lambda = \ kappa T_ {ab},}$

onde κ é a constante gravitacional de Einstein . O tensor tensão-energia T _ab fornece o conteúdo de matéria e energia do espaço-tempo subjacente. No vácuo (uma região do espaço-tempo desprovida de matéria) T _ab = 0 , e a equação de Einstein pode ser reescrita na forma (assumindo que n > 2 ):

${\ displaystyle R_ {ab} = {\ frac {2 \ Lambda} {n-2}} \, g_ {ab}.}$

Portanto, as soluções de vácuo da equação de Einstein são variedades de Einstein (Lorentziana) com k proporcional à constante cosmológica.

Exemplos

Exemplos simples de variedades Einstein incluem:

• Qualquer variedade com curvatura seccional constante é uma variedade de Einstein - em particular:
  • O espaço euclidiano , que é plano, é um exemplo simples de plano de Ricci, daí a métrica de Einstein.
  • O n -sphere , com a métrica rodada é Einstein com .${\ displaystyle S ^ {n}}$${\ displaystyle k = n-1}$
  • O espaço hiperbólico com a métrica canônica é Einstein com .${\ displaystyle k = - (n-1)}$
• Espaço projetivo complexo , com a Fubini-Study métrica , tem${\ displaystyle \ mathbf {CP} ^ {n}}$${\ displaystyle k = n + 1.}$
• As variedades Calabi-Yau admitem uma métrica de Einstein que também é Kähler , com constante de Einstein . Essas métricas não são únicas, mas vêm em famílias; há uma métrica Calabi – Yau em cada classe Kähler, e a métrica também depende da escolha da estrutura complexa. Por exemplo, existe uma família de 60 parâmetros dessas métricas no K3 , dos quais 57 parâmetros dão origem a métricas de Einstein que não estão relacionadas por isometrias ou reescalonamentos.${\ displaystyle k = 0}$
• Métricas Kähler-Einstein existir em uma variedade de compactos estruturas complexas devido aos resultados da existência de Shing-Tung Yau , e o estudo posterior do K-estabilidade .

Uma condição necessária para que as variedades fechadas , orientadas e de 4 sejam Einstein é satisfazer a desigualdade de Hitchin-Thorpe .

Formulários

Variedades Riemannianas de Einstein quadridimensionais também são importantes na física matemática como instantons gravitacionais nas teorias quânticas da gravidade . O termo "instanton gravitacional" é geralmente usado restrito a variedades de 4 de Einstein cujo tensor de Weyl é autodual, e geralmente assume-se que a métrica é assintótica à métrica padrão do espaço euclidiano 4 (e, portanto, são completos, mas não compacto ). Na geometria diferencial, as variedades autoduais de Einstein 4 também são conhecidas como variedades hipercalóricas (4-dimensionais) no caso plano de Ricci, e variedades Kähler quaternion no caso contrário.

Variedades de Lorentzian Einstein de dimensões superiores são usadas em teorias modernas da gravidade, como a teoria das cordas , a teoria M e a supergravidade . Variedades Hyperkähler e Kähler quaternion (que são tipos especiais de variedades Einstein) também têm aplicações em física como espaços-alvo para modelos σ não lineares com supersimetria .

Os manifolds compactos Einstein têm sido muito estudados em geometria diferencial e muitos exemplos são conhecidos, embora construí-los muitas vezes seja um desafio. Os manifolds compactos de Ricci são particularmente difíceis de encontrar: na monografia sobre o assunto do pseudônimo autor Arthur Besse , os leitores recebem uma refeição em um restaurante estrelado em troca de um novo exemplo.

Veja também

• Pacote vetorial de Einstein-Hermitian

Notas e referências

• Besse, Arthur L. (1987). Einstein Manifolds . Clássicos da Matemática. Berlim: Springer. ISBN 3-540-74120-8.