Curvatura de Ricci - Ricci curvature

Na geometria diferencial , o tensor de curvatura de Ricci , em homenagem a Gregorio Ricci-Curbastro , é um objeto geométrico que é determinado pela escolha de uma métrica Riemanniana ou pseudo-Riemanniana em uma variedade . Pode ser considerado, de forma ampla, como uma medida do grau em que a geometria de um determinado tensor métrico difere localmente daquela do espaço euclidiano comum ou espaço pseudo-euclidiano .

O tensor de Ricci pode ser caracterizado pela medição de como uma forma é deformada à medida que se move ao longo da geodésica no espaço. Na relatividade geral , que envolve a configuração pseudo-Riemanniana, isso é refletido pela presença do tensor de Ricci na equação de Raychaudhuri . Em parte por essa razão, as equações de campo de Einstein propõem que o espaço-tempo pode ser descrito por uma métrica pseudo-Riemanniana, com uma relação surpreendentemente simples entre o tensor de Ricci e o conteúdo de matéria do universo.

Como o tensor métrico, o tensor de Ricci atribui a cada espaço tangente da variedade uma forma bilinear simétrica ( Besse 1987 , p. 43). Em termos gerais, pode-se fazer uma analogia entre o papel da curvatura de Ricci na geometria Riemanniana e o do Laplaciano na análise de funções; nesta analogia, o tensor de curvatura de Riemann , do qual a curvatura de Ricci é um subproduto natural, corresponderia à matriz completa das segundas derivadas de uma função. No entanto, existem outras maneiras de fazer a mesma analogia.

Na topologia tridimensional , o tensor de Ricci contém todas as informações que em dimensões superiores são codificadas pelo tensor de curvatura de Riemann mais complicado . Em parte, essa simplicidade permite a aplicação de muitas ferramentas geométricas e analíticas, que levaram à solução da conjectura de Poincaré por meio do trabalho de Richard S. Hamilton e Grigory Perelman .

Na geometria diferencial, os limites inferiores no tensor de Ricci em uma variedade Riemanniana permitem extrair informações geométricas e topológicas globais por comparação (cf. teorema de comparação ) com a geometria de uma forma de espaço de curvatura constante . Isso ocorre porque os limites inferiores do tensor de Ricci podem ser usados ​​com sucesso no estudo do funcional de comprimento na geometria Riemanniana, conforme mostrado pela primeira vez em 1941 por meio do teorema de Myers .

Uma fonte comum do tensor de Ricci é que ele surge sempre que se comuta a derivada covariante com o tensor Laplaciano. Isso, por exemplo, explica sua presença na fórmula de Bochner , que é usada de forma onipresente na geometria Riemanniana. Por exemplo, esta fórmula explica por que as estimativas de gradiente devido a Shing-Tung Yau (e seus desenvolvimentos, como as desigualdades de Cheng-Yau e Li-Yau) quase sempre dependem de um limite inferior para a curvatura de Ricci.

Em 2007, John Lott , Karl-Theodor Sturm e Cedric Villani demonstraram decisivamente que os limites inferiores da curvatura de Ricci podem ser entendidos inteiramente em termos da estrutura do espaço métrico de uma variedade Riemanniana, juntamente com sua forma de volume. Isso estabeleceu um vínculo profundo entre a curvatura de Ricci e a geometria de Wasserstein e o transporte ideal , que atualmente é objeto de muitas pesquisas.

Definição

A primeira subseção aqui pretende ser uma indicação da definição do tensor de Ricci para leitores que se sentem confortáveis ​​com álgebra linear e cálculo multivariável. As subseções posteriores usam uma terminologia mais sofisticada.

Introdução e definição local

Seja U um subconjunto aberto de ℝ ⁿ , e para cada par de números i e j entre 1 e n , seja g _ij  : U → ℝ uma função suave, sujeita à condição de que, para cada p em U , a matriz

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} g_ {11} (p) & \ cdots & g_ {1n} (p) \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ g_ {n1} (p) & \ cdots & g_ { nn} (p) \ end {pmatriz}}}$

é simétrico e invertível . Para cada p em U , seja [ g ^ij ( p )] o inverso da matriz acima [ g _ij ( p )] . As funções R _ij são definidas explicitamente pelas seguintes fórmulas:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} R_ {ij} = {} & - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {a, b = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {\ parcial ^ {2} g_ {ij}} {\ parcial x ^ {a} \ parcial x ^ {b}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2} g_ {ab}} {\ parcial x ^ {i } \ parcial x ^ {j}}} - {\ frac {\ parcial ^ {2} g_ {ib}} {\ parcial x ^ {j} \ parcial x ^ {a}}} - {\ frac {\ parcial ^ {2} g_ {jb}} {\ parcial x ^ {i} \ parcial x ^ {a}}} \ direita) g ^ {ab} \\ & + {\ frac {1} {2}} \ soma _ {a, b, c, d = 1} ^ {n} \ left ({\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial g_ {ac}} {\ partial x ^ {i}}} {\ frac {\ parcial g_ {bd}} {\ parcial x ^ {j}}} + {\ frac {\ parcial g_ {ic}} {\ parcial x ^ {a}}} {\ frac {\ parcial g_ {jd}} {\ parcial x ^ {b}}} - {\ frac {\ parcial g_ {ic}} {\ parcial x ^ {a}}} {\ frac {\ parcial g_ {jb}} {\ parcial x ^ {d}}} \ right) g ^ {ab} g ^ {cd} \\ & - {\ frac {1} {4}} \ sum _ {a, b, c, d = 1} ^ { n} \ left ({\ frac {\ partial g_ {jc}} {\ partial x ^ {i}}} + {\ frac {\ partial g_ {ic}} {\ partial x ^ {j}}} - { \ frac {\ partial g_ {ij}} {\ partial x ^ {c}}} \ right) \ left (2 {\ frac {\ partial g_ {bd}} {\ partial x ^ {a}}} - { \ frac {\ partial g_ {ab}} {\ partial x ^ {d}}} \ right) g ^ {ab} g ^ {cd}. \ end {alinhado}}}$

Pode-se ver diretamente da inspeção desta fórmula que R _ij deve ser igual a R _ji para qualquer i e j . Portanto, pode-se ver as funções R _ij como associando a qualquer ponto p de U uma matriz simétrica n × n . Este mapa com valor de matriz em U é chamado de curvatura de Ricci associada à coleção de funções g _ij .

Conforme apresentado, não há nada intuitivo ou natural sobre a definição da curvatura de Ricci. É escolhido como objeto de estudo apenas porque satisfaz a seguinte propriedade notável. Seja V ⊂ ℝ ⁿ outro conjunto aberto e seja y  : V → U um mapa suave cuja matriz de primeiras derivadas

${\ displaystyle J (q) = {\ begin {pmatrix} D_ {1} y ^ {1} (q) & \ cdots & D_ {n} y ^ {1} (q) \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ D_ {1} y ^ {n} (q) & \ cdots & D_ {n} y ^ {n} (q) \ end {pmatrix}}}$

é invertível para qualquer escolha de q ∈ V . Defina g _ij  : V → ℝ pelo produto da matriz

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ overline {g}} _ {11} (q) & \ cdots & {\ overline {g}} _ {1n} (q) \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ overline {g}} _ {n1} (q) & \ cdots & {\ overline {g}} _ {nn} (q) \ end {pmatrix}} = J (q) ^ {\ text {T}} {\ begin {pmatrix} g_ {11} (y (q)) & \ cdots & g_ {1n} (y (q)) \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ g_ {n1} ( y (q)) & \ cdots & g_ {nn} (y (q)) \ end {pmatriz}} J (q).}$

Pode-se calcular, usando a regra do produto e a regra da cadeia, a seguinte relação entre a curvatura de Ricci da coleção de funções g _ij e a curvatura de Ricci da coleção de funções g _ij : para qualquer q em V , tem-se

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ overline {R}} _ {11} (q) & \ cdots & {\ overline {R}} _ {1n} (q) \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ overline {R}} _ {n1} (q) & \ cdots & {\ overline {R}} _ {nn} (q) \ end {pmatrix}} = J (q) ^ {\ text {T}} {\ begin {pmatrix} R_ {11} (y (q)) & \ cdots & R_ {1n} (y (q)) \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ R_ {n1} ( y (q)) & \ cdots & R_ {nn} (y (q)) \ end {pmatriz}} J (q)}$

Isso é bastante inesperado, uma vez que, conectando diretamente a fórmula que define g _ij à fórmula que define R _ij , vê-se que será necessário considerar até terceiras derivadas de y , surgindo quando as segundas derivadas nos primeiros quatro termos da definição de R _ij agir de acordo com os componentes de J . O "milagre" é que a coleção imponente de primeiras derivadas, segundas derivadas e inversas que compreendem a definição da curvatura de Ricci está perfeitamente configurada para que todas essas derivadas superiores de y se cancelem, e um fica com a matriz notavelmente limpa fórmula acima que relaciona R _ij e R _ij . É ainda mais notável que esse cancelamento de termos é tal que a fórmula da matriz que relaciona R _ij a R _ij é idêntica à fórmula da matriz que relaciona g _ij a g _ij .

Com o uso de uma terminologia sofisticada, a definição da curvatura de Ricci pode ser resumida como dizendo:

Seja U um subconjunto aberto de ℝ ⁿ . Dado um mapeamento liso g em L que é avaliada no espaço de simétrico invertível n × n matrizes, pode-se definir (por uma fórmula complicada envolvendo vários derivados parciais dos componentes de g ) a curvatura de Ricci de g ser um mapeamento suave de U no espaço de matrizes simétricas n × n .

A propriedade notável e inesperada da curvatura de Ricci pode ser resumida como:

Let J denotar a matriz Jacobiana de um difeomorfismo y a partir de um outro conjunto aberto V para L . A curvatura de Ricci da função com valor de matriz dada pelo produto da matriz J ^T ( g ∘ y ) J é dada pelo produto da matriz J ^T ( R ∘ y ) J , onde R denota a curvatura de Ricci de g .

Em matemática, essa propriedade é referida ao se dizer que a curvatura de Ricci é uma "quantidade tensorial" e marca a fórmula que define a curvatura de Ricci, por mais complicada que seja, como de grande importância no campo da geometria diferencial . Em termos físicos, essa propriedade é uma manifestação da " covariância geral " e é a principal razão pela qual Albert Einstein fez uso da fórmula que define R _ij ao formular a relatividade geral . Neste contexto, a possibilidade de escolha do mapeamento y equivale à possibilidade de escolha entre referenciais; a "propriedade inesperada" da curvatura de Ricci é um reflexo do amplo princípio de que as equações da física não dependem do referencial.

Isso é discutido da perspectiva de variedades diferenciáveis na subseção seguinte, embora o conteúdo subjacente seja virtualmente idêntico ao desta subseção.

Definição por meio de coordenadas locais em um manifold suave

Deixe ( M , g ) ser uma suave Riemannianos ou pseudo-Riemannianos n -variedade. Dado um gráfico liso ( L , ) um, em seguida, tem funções g _ij  : ( L ) → ℝ e g ^ij  : ( L ) → ℝ para cada i e j entre 1 e n que satisfazem

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} g ^ {ik} (x) g_ {kj} (x) = {\ begin {cases} 1 & i = j \\ 0 & i \ neq j \ end {cases }}}$

para todo x em ( U ) . As funções g _ij são definidas avaliando g em campos de vetores de coordenadas, enquanto as funções g ^ij são definidas de forma que, como uma função com valor de matriz, elas fornecem um inverso para a função com valor de matriz x ↦ g _ij ( x ) .

Agora defina, para cada a , b , c , i e j entre 1 e n , as funções

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ Gamma _ {ab} ^ {c} & = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {d = 1} ^ {n} \ left ({\ frac { \ parcial g_ {bd}} {\ parcial x ^ {a}}} + {\ frac {\ parcial g_ {ad}} {\ parcial x ^ {b}}} - {\ frac {\ parcial g_ {ab} } {\ partial x ^ {d}}} \ right) g ^ {cd} \\ R_ {ij} & = \ sum _ {a = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial \ Gamma _ {ij } ^ {a}} {\ parcial x ^ {a}}} - \ sum _ {a = 1} ^ {n} {\ frac {\ parcial \ Gama _ {aj} ^ {a}} {\ parcial x ^ {i}}} + \ sum _ {a = 1} ^ {n} \ sum _ {b = 1} ^ {n} \ left (\ Gamma _ {ab} ^ {a} \ Gamma _ {ij} ^ {b} - \ Gamma _ {ib} ^ {a} \ Gamma _ {aj} ^ {b} \ right) \ end {alinhado}}}$

como mapas ( U ) → ℝ .

Agora sejam ( U , ) e ( V , ψ) dois gráficos suaves para os quais U e V têm interseção não vazia. Sejam R _ij  : ( U ) → ℝ as funções calculadas como acima por meio do gráfico ( U , ) e sejam r _ij  : ψ ( V ) → ℝ as funções calculadas como acima por meio do gráfico ( V , ψ) . Em seguida, pode-se verificar por um cálculo com a regra da cadeia e a regra do produto que

${\ displaystyle R_ {ij} (x) = \ sum _ {k, l = 1} ^ {n} r_ {kl} \ left (\ psi \ circ \ varphi ^ {- 1} (x) \ right) D_ {i} {\ Big |} _ {x} \ left (\ psi \ circ \ varphi ^ {- 1} \ right) ^ {k} D_ {j} {\ Big |} _ {x} \ left (\ psi \ circ \ varphi ^ {- 1} \ right) ^ {l}.}$

Isso mostra que a seguinte definição não depende da escolha de ( U , ) . Para qualquer p em U , defina um mapa bilinear Ric _p  : T _p M × T _p M → ℝ por

${\ displaystyle \ operatorname {Ric} _ {p} (X, Y) = \ sum _ {i, j = 1} ^ {n} R_ {ij} (\ varphi (x)) X ^ {i} (p ) Y ^ {j} (p),}$

onde X ¹ , ..., X ⁿ e Y ¹ , ..., Y ⁿ são os componentes de X e Y em relação aos campos de vetor de coordenadas de ( U , ) .

É comum abreviar a apresentação formal acima no seguinte estilo:

Seja M uma variedade suave e seja g uma métrica Riemanniana ou pseudo-Riemanniana. Em coordenadas suaves locais, defina os símbolos de Christoffel

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ Gamma _ {ij} ^ {k} & = {\ frac {1} {2}} g ^ {kl} \ left (\ partial _ {i} g_ {jl} + \ parcial _ {j} g_ {il} - \ parcial _ {l} g_ {ij} \ direita) \\ R_ {jk} & = \ parcial _ {i} \ Gamma _ {jk} ^ {i} - \ parcial _ {j} \ Gamma _ {ki} ^ {i} + \ Gamma _ {ip} ^ {i} \ Gamma _ {jk} ^ {p} - \ Gamma _ {jp} ^ {i} \ Gamma _ {ik} ^ {p}. \ end {alinhado}}}$

Pode-se verificar diretamente se

${\ displaystyle R_ {jk} = {\ widetilde {R}} _ {ab} {\ frac {\ parcial {\ widetilde {x}} ^ {a}} {\ parcial x ^ {j}}} {\ frac {\ parcial {\ widetilde {x}} ^ {b}} {\ parcial x ^ {k}}},}$

de modo que R _ij definir um (0,2) -tensor campo em H . Em particular, se X e Y são campos vetoriais em M, então, em relação a quaisquer coordenadas suaves que alguém tenha

${\ displaystyle R_ {jk} X ^ {j} Y ^ {k} = \ left ({\ widetilde {R}} _ {ab} {\ frac {\ partial {\ widetilde {x}} ^ {a}} {\ partial x ^ {j}}} {\ frac {\ partial {\ widetilde {x}} ^ {b}} {\ partial x ^ {k}}} \ right) \ left ({\ widetilde {X} } ^ {c} {\ frac {\ partial x ^ {j}} {\ partial {\ widetilde {x}} ^ {c}}} \ right) \ left ({\ widetilde {Y}} ^ {d} {\ frac {\ partial x ^ {k}} {\ partial {\ widetilde {x}} ^ {d}}} \ right) = {\ widetilde {R}} _ {ab} {\ widetilde {X}} ^ {c} {\ widetilde {Y}} ^ {d} \ left ({\ frac {\ partial {\ widetilde {x}} ^ {a}} {\ partial x ^ {j}}} {\ frac { \ parcial x ^ {j}} {\ parcial {\ widetilde {x}} ^ {c}}} \ direita) \ esquerda ({\ frac {\ parcial {\ widetilde {x}} ^ {b}} {\ parcial x ^ {k}}} {\ frac {\ parcial x ^ {k}} {\ parcial {\ widetilde {x}} ^ {d}}} \ direita) = {\ widetilde {R}} _ {ab } {\ widetilde {X}} ^ {c} {\ widetilde {Y}} ^ {d} \ delta _ {c} ^ {a} \ delta _ {d} ^ {b} = {\ widetilde {R} } _ {ab} {\ widetilde {X}} ^ {a} {\ widetilde {Y}} ^ {b}.}$

A linha final inclui a demonstração de que o mapa bilinear Ric é bem definido, o que é muito mais fácil de escrever com a notação informal.

Definição via diferenciação de campos vetoriais

Suponha que ( M , g ) seja uma variedade Riemanniana ou pseudo-Riemanniana n- dimensional , equipada com sua conexão de Levi-Civita ∇ . A curvatura de Riemann de M é um mapa que pega os campos vetoriais suaves X , Y e Z e retorna o campo vetorial

${\ displaystyle R (X, Y) Z = \ nabla _ {X} \ nabla _ {Y} Z- \ nabla _ {Y} \ nabla _ {X} Z- \ nabla _ {[X, Y]} Z }$

em campos vectoriais X , Y , Z . A propriedade crucial desse mapeamento é que se X , Y , Z e X ' , Y' e Z ' são campos vetoriais suaves, de modo que X e X' definem o mesmo elemento de algum espaço tangente T _p M , e Y e Y ' também definem o mesmo elemento de T _p M , e Z e Z' também definem o mesmo elemento de T _p M , então os campos vetoriais R ( X , Y ) Z e R ( X ′, Y ′) Z ′ também definem o mesmo elemento de T _p H .

A implicação é que a curvatura de Riemann, que é a priori um mapeamento com entradas de campo vetorial e uma saída de campo vetorial, pode na verdade ser vista como um mapeamento com entradas vetoriais tangentes e uma saída vetorial tangente. Ou seja, ele define para cada p no mapa M a (multilinear)

${\ displaystyle \ operatorname {Rm} _ {p}: T_ {p} M \ vezes T_ {p} M \ vezes T_ {p} M \ a T_ {p} M.}$

Defina para cada p em M o mapa por ${\ displaystyle \ operatorname {Ric} _ {p}: T_ {p} M \ vezes T_ {p} M \ to \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Ric} _ {p} (Y, Z) = \ operatorname {tr} {\ big (} X \ mapsto \ operatorname {Rm} _ {p} (X, Y, Z) {\ big )}.}$

Ou seja, tendo Y e Z fixados , então para qualquer base v ₁ , ..., v _n do espaço vetorial T _p M , define-se

${\ displaystyle \ operatorname {Ric} _ {p} (Y, Z) = \ sum _ {i = 1} c_ {ii}}$

onde para qualquer i fixo, os números c _{i 1} , ..., c _in são as coordenadas de Rm _p ( v _i , Y , Z ) em relação à base v ₁ , ..., v _n . É um exercício padrão de álgebra (multi) linear verificar que esta definição não depende da escolha da base v ₁ , ..., v _n .

Assine convenções. Observe que algumas fontes definem ser o que aqui seria chamado , e então definiriam como Embora as convenções de sinais sejam diferentes sobre o tensor de Riemann, elas não diferem sobre o tensor de Ricci. ${\ displaystyle R (X, Y) Z}$${\ displaystyle -R (X, Y) Z;}$${\ displaystyle \ operatorname {Ric}}$${\ displaystyle - \ operatorname {tr} (X \ mapsto \ operatorname {Rm} _ {p} (X, Y, Z)).}$

Comparação das definições

As duas definições acima são idênticas. As fórmulas que definem e na abordagem de coordenadas têm um paralelo exato nas fórmulas que definem a conexão Levi-Civita e a curvatura de Riemann através da conexão Levi-Civita. Indiscutivelmente, as definições usando coordenadas locais diretamente são preferíveis, uma vez que a "propriedade crucial" do tensor de Riemann mencionada acima requer ser Hausdorff para se manter. Em contraste, a abordagem de coordenadas locais requer apenas um atlas liso. Também é um pouco mais fácil conectar a filosofia de "invariância" subjacente à abordagem local com os métodos de construção de objetos geométricos mais exóticos, como campos de spinor . ${\ displaystyle \ Gamma _ {ij} ^ {k}}$${\ displaystyle R_ {ij}}$${\ displaystyle M}$

Observe também que a fórmula complicada que define na seção introdutória é a mesma que na seção seguinte. A única diferença é que os termos foram agrupados de forma que seja fácil ver que${\ displaystyle R_ {ij}}$${\ displaystyle R_ {ij} = R_ {ji}.}$

Propriedades

Como pode ser visto a partir das identidades Bianchi , o tensor de Ricci de uma variedade Riemanniana é simétrico , no sentido de que

${\ displaystyle \ operatorname {Ric} (X, Y) = \ operatorname {Ric} (Y, X)}$

para todos Segue-se linear-algebricamente que o tensor de Ricci é completamente determinado pelo conhecimento da quantidade Ric ( X , X ) para todos os vetores X de comprimento unitário. Essa função no conjunto de vetores tangentes unitários é freqüentemente também chamada de curvatura de Ricci, uma vez que conhecê-la é equivalente a conhecer o tensor de curvatura de Ricci. ${\ displaystyle X, Y \ in T_ {p} M.}$

A curvatura de Ricci é determinada pelas curvaturas seccionais de uma variedade Riemanniana, mas geralmente contém menos informações. De fato, se ξ é um vetor de comprimento unitário em uma variedade n Riemanniana , então Ric ( ξ , ξ ) é precisamente ( n - 1) vezes o valor médio da curvatura secional, tomada por todos os 2 planos contendo ξ . Existe uma família ( n - 2) -dimensional de tais 2 planos e, portanto, apenas nas dimensões 2 e 3 o tensor de Ricci determina o tensor de curvatura total. Uma exceção notável é quando a variedade é dada a priori como uma hipersuperfície do espaço euclidiano . A segunda forma fundamental , que determina a curvatura completa por meio da equação de Gauss-Codazzi , é ela mesma determinada pelo tensor de Ricci e as direções principais da hipersuperfície são também as direções eigendirecionais do tensor de Ricci. O tensor foi introduzido por Ricci por esse motivo.

Como pode ser visto a partir da segunda identidade Bianchi, um tem

${\ displaystyle \ operatorname {div} \ operatorname {Ric} = {\ frac {1} {2}} dR,}$

onde está a curvatura escalar , definida em coordenadas locais como Isso geralmente é chamado de segunda identidade Bianchi contraída. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle g ^ {ij} R_ {ij}.}$

Propriedades informais

A curvatura de Ricci às vezes é considerada (um múltiplo negativo de) o Laplaciano do tensor métrico ( Chow & Knopf 2004 , Lema 3.32) . Especificamente, em coordenadas locais harmônicas, os componentes satisfazem erro harv: sem alvo: CITEREFChowKnopf2004 ( ajuda )

${\ displaystyle R_ {ij} = - {\ frac {1} {2}} \ Delta \ left (g_ {ij} \ right) + {\ text {termos de ordem inferior}},}$

onde está o operador Laplace-Beltrami , aqui considerado como atuando nas funções definidas localmente g _ij . Esse fato motiva, por exemplo, a introdução da equação de fluxo de Ricci como uma extensão natural da equação de calor para a métrica. Alternativamente, em um sistema de coordenadas normal baseado em p , no ponto p${\ displaystyle \ Delta = \ nabla \ cdot \ nabla}$

${\ displaystyle R_ {ij} = - {\ frac {2} {3}} \ Delta \ left (g_ {ij} \ right).}$

Significado geométrico direto

Perto de qualquer ponto p em uma variedade Riemanniana ( M , g ) , pode-se definir coordenadas locais preferenciais, chamadas de coordenadas normais geodésicas . Estas são adaptadas à métrica para que as geodésicas através de p correspondam a retas na origem, de forma que a distância geodésica de p corresponda à distância euclidiana da origem. Nessas coordenadas, o tensor métrico é bem aproximado pela métrica euclidiana, no sentido preciso de que

${\ displaystyle g_ {ij} = \ delta _ {ij} + O \ left (| x | ^ {2} \ right).}$

Na verdade, tomando a expansão de Taylor da métrica aplicada a um campo de Jacobi ao longo de uma geodésica radial no sistema de coordenadas normal, tem-se

${\ displaystyle g_ {ij} = \ delta _ {ij} - {\ frac {1} {3}} R_ {ikjl} x ^ {k} x ^ {l} + O \ left (| x | ^ {3 }\direito).}$

Nessas coordenadas, o elemento de volume métrico , então, tem a seguinte expansão em p :

${\ displaystyle d \ mu _ {g} = \ left [1 - {\ frac {1} {6}} R_ {jk} x ^ {j} x ^ {k} + O \ left (| x | ^ { 3} \ right) \ right] d \ mu _ {\ text {Euclidiano}},}$

que segue expandindo a raiz quadrada do determinante da métrica.

Assim, se a curvatura de Ricci Ric ( ξ , ξ ) é positiva na direção de um vetor ξ , a região cônica em M varrida por uma família fortemente focada de segmentos geodésicos de comprimento emanando de p , com velocidade inicial dentro de um pequeno cone cerca de ξ , terá volume menor do que a região cônica correspondente no espaço euclidiano, pelo menos desde que seja suficientemente pequeno. Da mesma forma, se a curvatura de Ricci for negativa na direção de um dado vetor ξ , tal região cônica na variedade terá um volume maior do que teria no espaço euclidiano. ${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ varepsilon}$

A curvatura de Ricci é essencialmente uma média das curvaturas nos planos, incluindo ξ . Assim, se um cone emitido com uma seção transversal inicialmente circular (ou esférica) for distorcido em uma elipse ( elipsóide ), é possível que a distorção do volume desapareça se as distorções ao longo dos eixos principais se neutralizarem. A curvatura de Ricci então desapareceria ao longo de ξ . Em aplicações físicas, a presença de uma curvatura seccional que não se desvanece não indica necessariamente a presença de qualquer massa localmente; se uma seção transversal inicialmente circular de um cone de linhas de mundo posteriormente se tornar elíptica, sem alterar seu volume, isso se deve aos efeitos de maré de uma massa em algum outro local.

Formulários

A curvatura de Ricci desempenha um papel importante na relatividade geral , onde é o termo-chave nas equações de campo de Einstein .

A curvatura de Ricci também aparece na equação de fluxo de Ricci , onde certas famílias de um parâmetro de métricas Riemannianas são escolhidas como soluções de uma equação diferencial parcial geometricamente definida. Este sistema de equações pode ser considerado um análogo geométrico da equação do calor e foi introduzido pela primeira vez por Richard S. Hamilton em 1982. Uma vez que o calor tende a se espalhar através de um sólido até que o corpo atinja um estado de equilíbrio de temperatura constante, se houver recebe uma variedade, pode-se esperar que o fluxo de Ricci produza uma métrica Riemanniana de "equilíbrio" que é Einstein ou de curvatura constante. No entanto, essa imagem de "convergência" limpa não pode ser alcançada, pois muitos manifolds não podem suportar muitas métricas. Um estudo detalhado da natureza das soluções do fluxo de Ricci, principalmente devido a Hamilton e Grigori Perelman , mostra que os tipos de "singularidades" que ocorrem ao longo de um fluxo de Ricci, correspondendo à falha de convergência, codificam informações profundas sobre o tridimensional topologia. O ponto culminante deste trabalho foi uma prova da conjectura de geometrização proposta pela primeira vez por William Thurston na década de 1970, que pode ser pensada como uma classificação de 3 variedades compactas.

Em uma variedade de Kähler , a curvatura de Ricci determina a primeira classe de Chern da variedade (mod torção). No entanto, a curvatura de Ricci não tem nenhuma interpretação topológica análoga em uma variedade Riemanniana genérica.

Geometria global e topologia

Aqui está uma pequena lista de resultados globais relativos a variedades com curvatura de Ricci positiva; veja também teoremas clássicos da geometria Riemanniana . Resumidamente, a curvatura de Ricci positiva de uma variedade Riemanniana tem fortes consequências topológicas, enquanto (para dimensão pelo menos 3), a curvatura de Ricci negativa não tem implicações topológicas. (A curvatura de Ricci é considerada positiva se a função de curvatura de Ricci Ric ( ξ , ξ ) é positiva no conjunto de vetores tangentes diferentes de zero ξ .) Alguns resultados também são conhecidos para variedades pseudo-Riemannianas.

1. O teorema de Myers (1941) afirma que se a curvatura de Ricci é limitada de baixo em uma variedade n Riemanniana completa por ( n - 1) k > 0 , então a variedade tem diâmetro ≤ π/√ k. Por um argumento do espaço de cobertura, segue-se que qualquer variedade compacta de curvatura de Ricci positiva deve ter um grupo fundamental finito . Cheng (1975) mostrou que, neste cenário, a igualdade na desigualdade de diâmetro ocorre apenas se a variedade for isométrica a uma esfera de curvatura constante k .
2. Os desigualdade Bishop-Gromov estados que se completa um n Riemaniano multiplicado -dimensional tem curvatura de Ricci não-negativo, então o volume de uma esfera geodésica é inferior ou igual ao volume de uma esfera geodésica do mesmo raio em euclidiana n -espaço . Além disso, se v _p ( R ) denota o volume da bola com centro p e raio R na variedade e V ( R ) = c _n R ⁿ denota o volume da bola de raio R no espaço n euclidiano, então a funçãov _p ( R )/V ( R )não é crescente. Isso pode ser generalizado para qualquer limite inferior da curvatura de Ricci (não apenas a não negatividade) e é o ponto-chave na prova do teorema de compactação de Gromov .)
3. O teorema de divisão de Cheeger-Gromoll afirma que se uma variedade Riemanniana completa (M, g) com Ric ≥ 0 contém uma reta , o que significa uma geodésica tal que d ( γ ( u ), γ ( v )) = | u - v | para todos u , v ∈ ℝ , então é isométrica a um espaço produto ℝ × L . Consequentemente, uma variedade completa de curvatura de Ricci positiva pode ter no máximo uma extremidade topológica. O teorema também é verdadeiro sob algumas hipóteses adicionais para variedades Lorentzianas completas (de assinatura métrica (+ - - ...) ) com tensor de Ricci não negativo ( Galloway 2000 ).${\ displaystyle \ gamma: \ mathbb {R} \ para M}$
4. O primeiro teorema de convergência de Hamilton para o fluxo de Ricci tem, como corolário, que as únicas 3-variedades compactas que têm métricas Riemannianas de curvatura positiva de Ricci são os quocientes da 3-esfera por subgrupos discretos de SO (4) que agem adequadamente de forma descontínua. Mais tarde, ele estendeu isso para permitir a curvatura de Ricci não negativa. Em particular, a única possibilidade simplesmente conectada é a própria 3-esfera.

Esses resultados, particularmente os de Myers e Hamilton, mostram que a curvatura positiva de Ricci tem fortes consequências topológicas. Em contraste, excluindo o caso das superfícies, sabe-se agora que a curvatura negativa de Ricci não tem implicações topológicas; Lohkamp (1994) mostrou que qualquer variedade de dimensão maior que dois admite uma métrica Riemanniana completa de curvatura negativa de Ricci. No caso de variedades bidimensionais, a negatividade da curvatura de Ricci é sinônimo de negatividade da curvatura gaussiana, que tem implicações topológicas muito claras . Existem muito poucas variedades bidimensionais que falham em admitir a métrica Riemanniana de curvatura Gaussiana negativa.

Comportamento sob reescalonamento conforme

Se a métrica g é alterada multiplicando-a por um fator conforme e ^{2 f} , o tensor de Ricci da nova métrica g̃ = e ^{2 f} g é dado ( Besse 1987 , p. 59) por

${\ displaystyle {\ widetilde {\ operatorname {Ric}}} = \ operatorname {Ric} + (2-n) \ left [\ nabla df-df \ otimes df \ right] + \ left [\ Delta f- (n -2) \ | df \ | ^ {2} \ right] g,}$

onde Δ = d * d é o (espectro positivo) Hodge Laplaciano, ou seja, o oposto do traço usual do Hessiano.

Em particular, dado um ponto p em uma variedade Riemanniana, é sempre possível encontrar métricas conforme a métrica dada g para a qual o tensor de Ricci desaparece em p . Observe, entretanto, que esta é apenas uma afirmação pontual; geralmente é impossível fazer a curvatura de Ricci desaparecer de forma idêntica em toda a variedade por um reescalonamento conformado.

Para variedades bidimensionais, a fórmula acima mostra que se f é uma função harmônica , então a escala conforme g ↦ e ^{2 f} g não muda o tensor de Ricci (embora ele ainda mude seu traço em relação à métrica, a menos que f = 0 ) .

Tensor de Ricci sem traços

Na geometria Riemanniana e na geometria pseudo-Riemanniana , o tensor de Ricci sem traços (também chamado de tensor de Ricci sem traços ) de uma variedade n Riemanniana ou pseudo-Riemanniana ( M , g ) é o tensor definido por

${\ displaystyle Z = \ operatorname {Ric} - {\ frac {1} {n}} Rg,}$

onde Ric e R denotam a curvatura de Ricci e a curvatura escalar de g . O nome deste objeto reflete o fato de que seu traço desaparece automaticamente: No entanto, é um tensor bastante importante, pois reflete uma "decomposição ortogonal" do tensor de Ricci. ${\ displaystyle \ operatorname {tr} _ {g} Z \ equiv g ^ {ab} Z_ {ab} = 0.}$

A decomposição ortogonal do tensor de Ricci

Trivialmente, um tem

${\ displaystyle \ operatorname {Ric} = Z + {\ frac {1} {n}} Rg.}$

É menos óbvio que os dois termos do lado direito são ortogonais entre si:

${\ displaystyle \ left \ langle Z, {\ frac {1} {n}} Rg \ right \ rangle _ {g} \ equiv g ^ {ab} \ left (R_ {ab} - {\ frac {1} { n}} Rg_ {ab} \ right) = 0.}$

Uma identidade que está intimamente ligada a isso (mas que poderia ser provada diretamente) é aquela

${\ displaystyle | \ operatorname {Ric} | _ {g} ^ {2} = | Z | _ {g} ^ {2} + {\ frac {1} {n}} R ^ {2}.}$

O tensor de Ricci livre de traços e as métricas de Einstein

Tomando uma divergência, e usando a identidade de Bianchi contraída, vê-se que implica So, desde que n ≥ 3 e esteja conectado, o desaparecimento de implica que a curvatura escalar é constante. Pode-se então ver que os seguintes são equivalentes: ${\ displaystyle Z = 0}$${\ textstyle {\ frac {1} {2}} dR - {\ frac {1} {n}} dR = 0.}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle Z}$

• ${\ displaystyle Z = 0}$
• ${\ displaystyle \ operatorname {Ric} = \ lambda g}$ para algum número ${\ displaystyle \ lambda}$
• ${\ displaystyle \ operatorname {Ric} = {\ frac {1} {n}} Rg}$

No cenário Riemanniano, a decomposição ortogonal acima mostra que também é equivalente a essas condições. No cenário pseudo-Riemmanniano, ao contrário, a condição não implica necessariamente que o máximo que se pode dizer é que essas condições implicam${\ displaystyle R ^ {2} = n | \ operatorname {Ric} | ^ {2}}$${\ displaystyle | Z | _ {g} ^ {2} = 0}$${\ displaystyle Z = 0,}$${\ displaystyle R ^ {2} = n | \ operatorname {Ric} | _ {g} ^ {2}.}$

Em particular, o desaparecimento do tensor de Ricci livre de traços caracteriza as variedades de Einstein , conforme definido pela condição de um número. Na relatividade geral , essa equação afirma que ( M , g ) é uma solução das equações do campo de vácuo de Einstein com constante cosmológica . ${\ displaystyle \ operatorname {Ric} = \ lambda g}$${\ displaystyle \ lambda.}$

Variedades Kähler

Em uma variedade X de Kähler , a curvatura de Ricci determina a forma de curvatura do feixe de linha canônica ( Moroianu 2007 , Capítulo 12). O pacote de linha canônica é o poder externo superior do pacote de diferenciais holomórficos Kähler :

${\ displaystyle \ kappa = {\ textstyle \ bigwedge} ^ {n} ~ \ Omega _ {X}.}$

A conexão Levi-Civita correspondente à métrica em X dá origem a uma conexão em κ . A curvatura desta conexão são as duas formas definidas por

${\ displaystyle \ rho (X, Y) \; {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \; \ operatorname {Ric} (JX, Y)}$

onde J é o mapa de estrutura complexa no feixe tangente determinado pela estrutura da variedade de Kähler. O formulário Ricci é um formulário 2 fechado . Sua classe de cohomologia é, até um fator constante real, a primeira classe de Chern do feixe canônico e, portanto, uma invariante topológica de X (para X compacto ) no sentido de que depende apenas da topologia de X e da classe de homotopia da estrutura complexa.

Por outro lado, a forma de Ricci determina o tensor de Ricci por

${\ displaystyle \ operatorname {Ric} (X, Y) = \ rho (X, JY).}$

Em coordenadas holomórficas locais z ^α , a forma de Ricci é dada por

${\ displaystyle \ rho = -i \ partial {\ overline {\ partial}} \ log \ det \ left (g _ {\ alpha {\ overline {\ beta}}} \ right)}$

onde ∂ é o operador Dolbeault e

${\ displaystyle g _ {\ alpha {\ overline {\ beta}}} = g \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial z ^ {\ alpha}}}, {\ frac {\ partial} {\ partial {\ overline {z}} ^ {\ beta}}} \ right).}$

Se o tensor de Ricci desaparecer, então o feixe canônico é plano, então o grupo de estrutura pode ser localmente reduzido a um subgrupo do grupo linear especial SL ( n , C ) . No entanto, variedades de Kähler já possuem holonomia em U ( n ) e, portanto, a holonomia (restrita) de uma variedade de Kähler plana de Ricci está contida em SU ( n ) . Inversamente, se a holonomia (restrita) de uma variedade Riemanniana 2 n- dimensional está contida em SU ( n ) , então a variedade é uma variedade de Kähler plana de Ricci ( Kobayashi & Nomizu 1996 , IX, §4).

Generalização para conexões afins

O tensor de Ricci também pode ser generalizado para conexões afins arbitrárias , onde é um invariante que desempenha um papel especialmente importante no estudo da geometria projetiva (geometria associada a geodésicas não parametrizadas) ( Nomizu & Sasaki 1994 ). Se ∇ denota uma conexão afim, então o tensor de curvatura R é o (1,3) -tensor definido por

${\ displaystyle R (X, Y) Z = \ nabla _ {X} \ nabla _ {Y} Z- \ nabla _ {Y} \ nabla _ {X} Z- \ nabla _ {[X, Y]} Z }$

para quaisquer campos vectoriais X , Y , Z . O tensor de Ricci é definido para ser o traço:

${\ displaystyle \ operatorname {ric} (X, Y) = \ operatorname {tr} {\ big (} Z \ mapsto R (Z, X) Y {\ big)}.}$

Nesta situação mais geral, o tensor de Ricci é simétrico se e somente se houver localmente uma forma de volume paralelo para a conexão.

Curvatura discreta de Ricci

Noções de curvatura de Ricci em variedades discretas foram definidas em grafos e redes, onde quantificam propriedades de divergência local de arestas. A curvatura de Ricci de Olliver é definida usando a teoria do transporte ótimo. Uma segunda noção, a curvatura de Ricci de Forman, é baseada em argumentos topológicos.

Veja também

• Curvatura de variedades Riemannianas
• Curvatura escalar
• Cálculo de Ricci
• Decomposição de Ricci
• Manifold Ricci-flat
• Símbolos de Christoffel
• Introdução básica à matemática do espaço-tempo curvo

Notas de rodapé

Referências

• Besse, AL (1987), Einstein manifolds , Springer, ISBN 978-3-540-15279-8.
• Chow, Bennet & Knopf, Dan (2004), The Ricci Flow: uma introdução , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3515-7.
• Eisenhart, LP (1949), geometria Riemanniana , Princeton Univ. Aperte.
• Galloway, Gregory (2000), "Maximum Principles for Null Hypersurfaces and Null Splitting Theorems", Annales de l'Institut Henri Poincaré A , 1 (3): 543–567, arXiv : math / 9909158 , Bibcode : 2000AnHP .... 1..543G , doi : 10.1007 / s000230050006 , S2CID  9619157.
• Kobayashi, S .; Nomizu, K. (1963), Foundations of Differential Geometry, Volume 1 , Interscience.
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, vol. 2 , Wiley-Interscience , ISBN 978-0-471-15732-8.
• Lohkamp, ​​Joachim (1994), "Metrics of negative Ricci curvature", Annals of Mathematics , Second Series, Annals of Mathematics, 140 (3): 655-683, doi : 10.2307 / 2118620 , ISSN  0003-486X , JSTOR  2118620 , MR  1307899.
• Moroianu, Andrei (2007), Lectures on Kähler geometry , London Mathematical Society Student Texts, 69 , Cambridge University Press , arXiv : math / 0402223 , doi : 10.1017 / CBO9780511618666 , ISBN 978-0-521-68897-0, MR  2325093
• Nomizu, Katsumi ; Sasaki, Takeshi (1994), geometria diferencial afim , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44177-3.
• Ricci, G. (1903–1904), "Direzioni e invarianti principali in una varietà qualunque", Atti R. Inst. Veneto , 63 (2): 1233–1239.
• LA Sidorov (2001) [1994], "tensor de Ricci" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• LA Sidorov (2001) [1994], "curvatura de Ricci" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Najman, Laurent e Romon, Pascal (2017): abordagens modernas para curvatura discreta, Springer (Cham), notas de aula em matemática

links externos

• Z. Shen, C. Sormani "The Topology of Open Manifolds with Nonnegative Ricci Curvature" (uma pesquisa)
• G. Wei, "Manifolds with A Lower Ricci Curvature Bound" (uma pesquisa)