Torção de Whitehead - Whitehead torsion

Na topologia geométrica , um campo dentro da matemática, a obstrução para uma equivalência de homotopia de complexos CW finitos sendo uma equivalência de homotopia simples é sua torção de Whitehead, que é um elemento do grupo de Whitehead . Esses conceitos são nomeados em homenagem ao matemático JHC Whitehead . ${\ displaystyle f \ dois pontos X \ a Y}$ ${\ displaystyle \ tau (f)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Wh} (\ pi _ {1} (Y))}$

A torção de Whitehead é importante na aplicação da teoria da cirurgia a variedades não simplesmente conectadas de dimensão> 4: para variedades simplesmente conectadas, o grupo de Whitehead desaparece e, portanto, as equivalências de homotopia e as equivalências de homotopia simples são as mesmas. As aplicações são para variedades diferenciáveis, variedades PL e variedades topológicas. As provas foram obtidas pela primeira vez no início dos anos 1960 por Stephen Smale , para variedades diferenciáveis. O desenvolvimento da teoria do handlebody permitiu praticamente as mesmas provas nas categorias diferenciável e PL. As provas são muito mais difíceis na categoria topológica, exigindo a teoria de Robion Kirby e Laurent C. Siebenmann . A restrição para variedades de dimensão maior que quatro se deve à aplicação do truque de Whitney para remover pontos duplos.

Ao generalizar o teorema h- co-cordismo , que é uma afirmação sobre variedades simplesmente conectadas, para variedades não simplesmente conectadas, deve-se distinguir equivalências de homotopia simples e equivalências de homotopia não simples. Enquanto um h -cobordismo W entre variedades conectadas fechadas simplesmente conectadas M e N de dimensão n > 4 é isomórfico a um cilindro (a equivalência de homotopia correspondente pode ser considerada um difeomorfismo, PL-isomorfismo ou homeomorfismo, respectivamente), o O teorema s -cobordismo afirma que, se as variedades não são simplesmente conectadas, um h -cobordismo é um cilindro se e somente se a torção de Whitehead da inclusão desaparecer. ${\ displaystyle M \ hookrightarrow W}$

Grupo Whitehead

O grupo Whitehead de um ligado CW-complexo ou um colector de M é igual ao grupo Whitehead do grupo fundamental de M . ${\ displaystyle \ operatorname {Wh} (\ pi _ {1} (M))}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1} (M)}$

Se L é um grupo, o grupo de Whitehead é definido como sendo o cokernel do mapa que envia ( g , ± 1) para o invertível (1,1) -matrix (± g ). Aqui é o anel de grupo de G . Lembre-se de que o grupo K K ₁ ( A ) de um anel A é definido como o quociente de GL (A) pelo subgrupo gerado por matrizes elementares . O grupo GL ( A ) é o limite direto dos grupos de dimensão finita GL ( n , A ) → GL ( n +1, A ); concretamente, o grupo de matrizes infinitas invertíveis que diferem da matriz identidade em apenas um número finito de coeficientes. Uma matriz elementar aqui é uma transvecção : uma tal que todos os elementos diagonais principais são 1 e há no máximo um elemento diferente de zero não na diagonal. O subgrupo gerado por matrizes elementares é exatamente o subgrupo derivado , ou seja, o menor subgrupo normal tal que o quociente por ele é abeliano. ${\ displaystyle \ operatorname {Wh} (G)}$ ${\ displaystyle G \ times \ {\ pm 1 \} \ a K_ {1} (\ mathbb {Z} [G])}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [G]}$

Em outras palavras, o grupo de Whitehead de um grupo G é o quociente de pelo subgrupo gerado por matrizes elementares, elementos de G e . Note-se que este é o mesmo como o quociente entre o grupo K-reduzidos por L . ${\ displaystyle \ operatorname {Wh} (G)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {GL} (\ mathbb {Z} [G])}$ ${\ displaystyle \ pm 1}$ ${\ displaystyle {\ tilde {K}} _ {1} (\ mathbb {Z} [G])}$

Exemplos

O grupo Whitehead do grupo trivial é trivial. Como o anel de grupo do grupo trivial é , temos que mostrar que qualquer matriz pode ser escrita como um produto de matrizes elementares vezes uma matriz diagonal; isso decorre facilmente do fato de que é um domínio euclidiano . ${\ displaystyle \ mathbb {Z},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

O grupo Whitehead de um grupo abeliano livre é trivial, um resultado de 1964 de Hyman Bass , Alex Heller e Richard Swan . Isso é muito difícil de provar, mas é importante porque é usado na prova de que um s -cobordismo de dimensão de pelo menos 6 cujas extremidades são tori é um produto. É também o principal resultado algébrico usado na classificação da teoria da cirurgia de variedades lineares por partes de dimensão pelo menos 5 que são homotópicas equivalentes a um toro ; este é o ingrediente essencial da teoria da estrutura de Kirby – Siebenmann de 1969 de variedades topológicas de dimensão pelo menos 5.

O grupo Whitehead de um grupo de tranças (ou qualquer subgrupo de um grupo de tranças) é trivial. Isso foi provado por F. Thomas Farrell e Sayed K. Roushon.

O grupo Whitehead dos grupos cíclicos de ordens 2, 3, 4 e 6 são triviais.

O grupo Whitehead do grupo cíclico de ordem 5 é . Isso foi provado em 1940 por Graham Higman . Um exemplo de uma unidade não trivial no anel de grupo surge da identidade em que t é um gerador do grupo cíclico de ordem 5. Este exemplo está intimamente relacionado à existência de unidades de ordem infinita (em particular, a razão áurea ) no anel de inteiros do campo ciclotômico gerado pelas quinta raízes da unidade. ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle (1-tt ^ {4}) (1-t ^ {2} -t ^ {3}) = 1,}$

O grupo de Whitehead de qualquer grupo finito G é finitamente gerado, de classificação igual ao número de representações reais irredutíveis de G menos o número de representações racionais irredutíveis . isso foi provado em 1965 por Bass.

Se G é um grupo cíclico finito, então é isomórfico às unidades do anel do grupo sob o mapa determinante, então Wh ( G ) é apenas o grupo de unidades do módulo o grupo de "unidades triviais" gerado pelos elementos de G e −1 . ${\ displaystyle K_ {1} (\ mathbb {Z} [G])}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [G]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [G]}$

É uma conjectura bem conhecida que o grupo Whitehead de qualquer grupo livre de torção deve desaparecer.

A torção de Whitehead

Em primeiro lugar, definimos a torção de Whitehead para uma equivalência de homotopia de cadeia de complexos de cadeia R livres de base finita . Podemos atribuir à equivalência de homotopia seu cone de mapeamento C _* : = cone _* (h _* ) que é um complexo de cadeia R livre de base finita contratável. Seja qualquer contração da cadeia do cone de mapeamento, ou seja, para todo n . Obtemos um isomorfismo com ${\ displaystyle \ tau (h _ {*}) \ in {\ tilde {K}} _ {1} (R)}$ ${\ displaystyle h _ {*}: D _ {*} \ a E _ {*}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {*}: C _ {*} \ to C _ {* + 1}}$ ${\ displaystyle c_ {n + 1} \ circ \ gamma _ {n} + \ gamma _ {n-1} \ circ c_ {n} = \ operatorname {id} _ {C_ {n}}}$ ${\ displaystyle (c _ {*} + \ gamma _ {*}) _ {\ mathrm {ímpar}}: C _ {\ mathrm {ímpar}} \ para C _ {\ mathrm {par}}}$

{\ displaystyle C _ {\ mathrm {ímpar}}: = \ bigoplus _ {n {\ text {ímpar}}} C_ {n}, \ qquad C _ {\ mathrm {par}}: = \ bigoplus _ {n {\ enviar texto {even}}} C_ {n}.}

Definimos , onde A é a matriz de em relação às bases fornecidas. ${\ displaystyle \ tau (h _ {*}): = [A] \ in {\ tilde {K}} _ {1} (R)}$ ${\ displaystyle (c _ {*} + \ gamma _ {*}) _ {\ rm {odd}}}$

Para uma equivalência de homotopia de complexos CW finitos conectados, definimos a torção de Whitehead como segue. Deixe ser o elevador da cobertura universal. Induz equivalências de homotopia de cadeia . Agora podemos aplicar a definição da torção de Whitehead para uma equivalência de homotopia em cadeia e obter um elemento no qual mapeamos para Wh (π ₁ ( Y )). Esta é a torção de Whitehead τ (ƒ) ∈ Wh (π ₁ ( Y )). ${\ displaystyle f: X \ a Y}$ ${\ displaystyle \ tau (f) \ in \ operatorname {Wh} (\ pi _ {1} (Y))}$ ${\ displaystyle {\ tilde {f}}: {\ tilde {X}} \ to {\ tilde {Y}}}$ ${\ displaystyle f: X \ a Y}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [\ pi _ {1} (Y)]}$ ${\ displaystyle C _ {*} ({\ tilde {f}}): C _ {*} ({\ tilde {X}}) \ para C _ {*} ({\ tilde {Y}})}$ ${\ displaystyle {\ tilde {K}} _ {1} (\ mathbb {Z} [\ pi _ {1} (Y)])}$

Propriedades

Invariância de homotopia: Sejam equivalências de homotopia de complexos CW conectados finitos. Se f e g são homotópicas, então . ${\ displaystyle f, g \ dois pontos X \ a Y}$ ${\ displaystyle \ tau (f) = \ tau (g)}$

Invariância topológica: Se for um homeomorfismo de complexos CW conectados finitos, então . ${\ displaystyle f \ dois pontos X \ a Y}$ ${\ displaystyle \ tau (f) = 0}$

Composição fórmula: Let , ser homotopy equivalências de CW-complexos ligados finitos. Então . ${\ displaystyle f \ dois pontos X \ a Y}$ ${\ displaystyle g \ dois pontos Y \ a Z}$ ${\ displaystyle \ tau (g \ circ f) = g _ {*} \ tau (f) + \ tau (g)}$

Interpretação geométrica

O teorema s-cobordismo afirma para uma variedade orientada conectada fechada M de dimensão n > 4 que um h-cobordismo W entre M e outra variedade N é trivial sobre M se e somente se a torção de Whitehead da inclusão desaparecer. Além disso, para qualquer elemento do grupo de Whitehead existe um h-cobordismo W sobre M cuja torção de Whitehead é o elemento considerado. As provas usam decomposições de manuseio . ${\ displaystyle M \ hookrightarrow W}$

Existe um análogo teórico da homotopia do teorema do s-cobordismo. Dado um complexo CW A , considere o conjunto de todos os pares de complexos CW ( X , A ) de forma que a inclusão de A em X seja uma equivalência de homotopia. Dois pares ( X ₁ , A ) e ( X ₂ , A ) são referidos como sendo equivalente, se há uma equivalência homotopy simples entre X ₁ e X ₂ em relação a um . O conjunto de tais classes equivalentes formam um grupo em que a adição é dada tomando união de X ₁ e X ₂ com subespaço comum Uma . Este grupo é natural isomorfo para o grupo Whitehead Wh ( A ) do complexo CW- A . A prova desse fato é semelhante à prova do teorema do s-cobordismo .

Veja também

Referências

Baixo, Hyman ; Heller, Alex; Swan, Richard (1964), "The Whitehead group of a polynomial extension" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 22 : 61-79, MR 0174605
Cohen, M. Um curso em teoria simples de homotopia Graduate Text in Mathematics 10, Springer, 1973
Higman, Graham (1940), "The units of group-rings", Proceedings of the London Mathematical Society , 2, 46 : 231–248, doi : 10.1112 / plms / s2-46.1.231 , MR 0002137
Kirby, Robion ; Siebenmann, Laurent (1977), Ensaios fundamentais sobre variedades topológicas, suavizações e triangulações , Annals of Mathematics Studies, 88 , Princeton University Press Princeton, NJ; University of Tokyo Press , Tóquio
Milnor, John (1966), "Whitehead torsion", Bulletin of the American Mathematical Society , 72 : 358–426, doi : 10.1090 / S0002-9904-1966-11484-2 , MR 0196736
Smale, Stephen (1962), "On the structure of manifolds", American Journal of Mathematics , 84 : 387-399, doi : 10.2307 / 2372978 , MR 0153022
Whitehead, JHC (1950), "Simple homotopy types", American Journal of Mathematics , 72 : 1-57, doi : 10.2307 / 2372133 , MR 0035437

links externos

Uma descrição da torção de Whitehead está na seção dois .

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