Exsecant - Exsecant

Trigonometria
Contorno História Uso Funções  ( inversa ) Trigonometria generalizada
Referência
Identidades Constantes exatas Mesas Círculo de unidade
Leis e teoremas
Sines Cossenos Tangentes Cotangents teorema de Pitágoras
Cálculo
Substituição trigonométrica Integrais  ( funções inversas ) Derivados
v t e

O exsecante ( exsec , exs ) e o excosecante ( excosec , excsc , exc ) são funções trigonométricas definidas em termos das funções secante e cossecante . Eles costumavam ser importantes em áreas como topografia , engenharia ferroviária , engenharia civil , astronomia e trigonometria esférica e poderia ajudar a melhorar a precisão, mas raramente são usados hoje, exceto para simplificar alguns cálculos.

Um círculo unitário com funções trigonométricas .

Exsecant

As funções trigonométricas, incluindo o exsecant, pode ser construído geometricamente em termos de um círculo centrado em unidade S . A exsecante é a porção DE da secante exterior ao círculo.

O  exsecante , (latim: secans exterior ), também conhecido como exterior , externo , externo ou secante externo e abreviado como exsec ou exs , é uma função trigonométrica definida em termos da função secante sec ( θ ):

${\ displaystyle \ operatorname {exsec} (\ theta) = \ sec (\ theta) -1 = {\ frac {1} {\ cos (\ theta)}} - 1.}$

O nome exsecant pode ser entendido a partir de uma construção gráfica das várias funções trigonométricas de um círculo unitário , como era usado historicamente. sec ( θ ) é a linha secante OE , e exsecante é a porção DE desta secante que fica exterior ao círculo ( ex é latim para fora de ).

Excosecant

exsecant (azul) e excosecant (verde)

Uma função relacionada é a excosecant ou coexsecant , também conhecido como exterior , externo , para o exterior ou co-secante exterior e abreviado como excosec , coexsec , excsc ou iva , o exsecant do ângulo complementar:

${\ displaystyle \ operatorname {excsc} (\ theta) = \ operatorname {exsec} \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) = \ csc (\ theta) -1 = {\ frac {1} {\ sin (\ theta)}} - 1.}$

Uso

Importante em campos como agrimensura , engenharia ferroviária (por exemplo, para traçar curvas e superelevação de ferrovias ), engenharia civil , astronomia e trigonometria esférica até a década de 1980, a função exsecant é agora pouco utilizada. Principalmente, isso ocorre porque a ampla disponibilidade de calculadoras e computadores eliminou a necessidade de tabelas trigonométricas de funções especializadas como esta.

A razão para definir uma função especial para o exsecante é semelhante ao fundamento lógico para a versina : para ângulos pequenos θ , a função sec ( θ ) se aproxima de um e, portanto, usar a fórmula acima para o exsecante envolverá a subtração de dois quase iguais quantidades, resultando em cancelamento catastrófico . Assim, uma tabela da função secante precisaria de uma precisão muito alta para ser usada para a exsecante, tornando útil uma tabela exsecante especializada. Mesmo com um computador, os erros de ponto flutuante podem ser problemáticos para exsecantes de pequenos ângulos, se usar a definição baseada em cosseno. Uma fórmula mais precisa neste limite seria usar a identidade:

${\ displaystyle \ operatorname {exsec} (\ theta) = {\ frac {1- \ cos (\ theta)} {\ cos (\ theta)}} = {\ frac {\ operatorname {versin} (\ theta)} {\ cos (\ theta)}} = \ operatorname {versin} (\ theta) \ sec (\ theta) = 2 \ left (\ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ direita) ^ {2} \ sec (\ theta)}$

ou

${\ displaystyle \ operatorname {excsc} (\ theta) = {\ frac {1- \ sin (\ theta)} {\ sin (\ theta)}} = {\ frac {\ operatorname {coversin} (\ theta)} {\ sin (\ theta)}} = \ operatorname {coversin} (\ theta) \ csc (\ theta) = 2 \ left (\ cos \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ direita) ^ {2} \ csc (\ theta). \}$

Antes da disponibilidade de computadores, isso exigiria multiplicações demoradas.

A função exsecante já era usada por Galileo Galilei em 1632, embora ele ainda a chamasse de segante (que significa secante ). O termo latino secans exterior foi usado pelo menos desde cerca de 1745. O uso do termo em inglês secante externo e da abreviatura ex. seg. pode ser rastreada até 1855, pelo menos, quando Charles Haslett publicou a primeira tabela conhecida de exsecantes. Variações como ex secant e exsec estavam em uso em 1880, e exsecant foi usado desde 1894, pelo menos.

Os termos coexsecante e coexsec podem ser usados ​​já em 1880, também seguidos por excosecante desde 1909. A função também foi utilizada por Albert Einstein para descrever a energia cinética dos férmions .

Identidades matemáticas

Derivados

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ theta}} \ operatorname {exsec} (\ theta) = \ tan (\ theta) \ sec (\ theta) = {\ frac { \ sin (\ theta)} {(\ cos (\ theta)) ^ {2}}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ theta}} \ operatorname {excsc} (\ theta) = - \ cot (\ theta) \ csc (\ theta) = {\ frac {- \ cos (\ theta)} {(\ sin (\ theta)) ^ {2}}}}$

Integrais

${\ displaystyle \ int \ operatorname {exsec} (\ theta) \, \ mathrm {d} \ theta = \ ln \ left [\ cos \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) + \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ right] - \ ln \ left [\ cos \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) - \ sin \ esquerda ({\ frac {\ theta} {2}} \ direita) \ direita] - \ theta + C}$

${\ displaystyle \ int \ operatorname {excsc} (\ theta) \, \ mathrm {d} \ theta = \ ln \ left [\ tan \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ right ] - \ theta + C}$

Funções inversas

As funções inversas arcexsecant ( arcexsec , aexsec , aexs , exsec ⁻¹ ) e arcexcosecant ( arcexcosec , arcexcsc , aexcsc , aexc , arccoexsecant , arccoexsec , excsc ⁻¹ ) também existem:

${\ displaystyle \ operatorname {arcexsec} (y) = \ operatorname {arcsec} (y + 1) = \ arccos \ left ({\ frac {1} {y + 1}} \ right) = \ arctan ({\ sqrt {y ^ {2} + 2y}})}$(para y  ≤ −2 ou y  ≥ 0)

${\ displaystyle \ operatorname {arcexcsc} (y) = \ operatorname {arccsc} (y + 1) = \ arcsin \ left ({\ frac {1} {y + 1}} \ right) \,}$

Outras propriedades

Derivado do círculo unitário:

${\ displaystyle \ operatorname {exsec} (\ theta) = \ sec (\ theta) - \ cos (\ theta) - \ operatorname {versin} (\ theta).}$

${\ displaystyle \ operatorname {excsc} (\ theta) = \ operatorname {csc} (\ theta) - \ sin (\ theta) - \ operatorname {coversin} (\ theta).}$

A função exsecant está relacionada à função tangente por

${\ displaystyle \ operatorname {exsec} (\ theta) = \ tan (\ theta) \ tan \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right).}$

Em analogia, a função excosecante está relacionada à função cotangente por

${\ displaystyle \ operatorname {excsc} (\ theta) = \ cot (\ theta) \ cot \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right).}$

A função exsecant está relacionada à função seno por

${\ displaystyle \ operatorname {exsec} (\ theta) = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - (\ sin (\ theta)) ^ {2}}}} - 1.}$

Em analogia, a função excosecante está relacionada à função cosseno por

${\ displaystyle \ operatorname {excsc} (\ theta) = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - (\ cos (\ theta)) ^ {2}}}} - 1.}$

As funções exsecant e excosecant podem ser estendidas ao plano complexo .

${\ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to 0} {\ frac {\ operatorname {exsec} (\ theta)} {\ theta}} = 0}$

${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {versin} (\ theta) + \ operatorname {coversin} (\ theta)} {\ operatorname {versin} (\ theta) - \ operatorname {coversin} (\ theta)}} - {\ frac {\ operatorname {exsec} (\ theta) + \ operatorname {excsc} (\ theta)} {\ operatorname {exsec} (\ theta) - \ operatorname {excsc} (\ theta)}} = {\ frac {2 \ operatorname {versin} (\ theta) \ operatorname {coversin} (\ theta)} {\ operatorname {versin} (\ theta) - \ operatorname {coversin} (\ theta)}}}$

${\ displaystyle (\ operatorname {exsec} (\ theta) + \ operatorname {versin} (\ theta)) \, (\ operatorname {excsc} (\ theta) + \ operatorname {coversin} (\ theta)) = \ sin (\ theta) \ cos (\ theta)}$

${\ displaystyle \ operatorname {exsec} (2 \ theta) = {\ frac {2 \ sin ^ {2} (\ theta)} {1-2 \ sin ^ {2} (\ theta)}}}$

${\ displaystyle \ operatorname {exsec} (2 \ theta) \, \ cos (2 \ theta) = \ tan (\ theta)}$

${\ displaystyle \ operatorname {exsec} ^ {2} (\ theta) +2 \ operatorname {exsec} (\ theta) = \ tan ^ {2} (\ theta)}$

Veja também

• Identidades trigonométricas  - Igualdades que envolvem funções trigonométricas
• Versino  - 1 menos o cosseno de um ângulo
• Chord  - segmento de linha geométrica cujos pontos finais estão ambos na curva
• Círculo e círculos de um triângulo  - Círculos tangentes a todos os três lados de um triângulo
• Exponencial menos 1
• Logaritmo natural mais 1

Referências