gravidade f ( R ) - f(R) gravity

${\ displaystyle \ kappa = {\ tfrac {8 \ pi G} {c ^ {4}}}, g = \ det g _ {\ mu \ nu}}$

${\ displaystyle f (R)}$

Gravidade métrica f ( R )

Derivação de equações de campo

Na gravidade métrica f ( R ), chega-se às equações de campo variando em relação à métrica e não tratando a conexão de forma independente. Para completar, iremos agora mencionar brevemente as etapas básicas da variação da ação. As etapas principais são as mesmas do caso da variação da ação de Einstein – Hilbert (consulte o artigo para obter mais detalhes), mas também existem algumas diferenças importantes.

A variação do determinante é como sempre:

$${\ displaystyle \ delta {\ sqrt {-g}} = - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-g}} g _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} }$$

O escalar de Ricci é definido como

$${\ displaystyle R = g ^ {\ mu \ nu} R _ {\ mu \ nu}.}$$

Portanto, sua variação em relação à métrica inversa é dada por ${\ displaystyle g ^ {\ mu \ nu}}$

$${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ delta R & = R _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} + g ^ {\ mu \ nu} \ delta R _ {\ mu \ nu} \\ & = R _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} + g ^ {\ mu \ nu} \ left (\ nabla _ {\ rho} \ delta \ Gamma _ {\ nu \ mu} ^ {\ rho} - \ nabla _ {\ nu} \ delta \ Gamma _ {\ rho \ mu} ^ {\ rho} \ right) \ end {alinhado}}}$$

Para a segunda etapa, consulte o artigo sobre a ação Einstein – Hilbert . Como é a diferença de duas conexões, ele deve se transformar em um tensor. Portanto, pode ser escrito como ${\ displaystyle \ delta \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ lambda}}$

$${\ displaystyle \ delta \ Gamma _ {\ mu \ nu} ^ {\ lambda} = {\ frac {1} {2}} g ^ {\ lambda a} \ left (\ nabla _ {\ mu} \ delta g_ {a \ nu} + \ nabla _ {\ nu} \ delta g_ {a \ mu} - \ nabla _ {a} \ delta g _ {\ mu \ nu} \ right).}$$

Substituindo na equação acima:

$${\ displaystyle \ delta R = R _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} + g _ {\ mu \ nu} \ Box \ delta g ^ {\ mu \ nu} - \ nabla _ {\ mu} \ nabla _ {\ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu}}$$

onde é a

${\ displaystyle \ nabla _ {\ mu}}$

${\ displaystyle \ square = g ^ {\ mu \ nu} \ nabla _ {\ mu} \ nabla _ {\ nu}}$

Denotando , a variação na ação é: ${\ displaystyle F (R) = {\ frac {df} {dR}}}$

$${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ delta S [g] & = \ int {\ frac {1} {2 \ kappa}} \ left (\ delta f (R) {\ sqrt {-g}} + f (R) \ delta {\ sqrt {-g}} \ right) \, \ mathrm {d} ^ {4} x \\ & = \ int {\ frac {1} {2 \ kappa}} \ left (F (R) \ delta R {\ sqrt {-g}} - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {-g}} g _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} f (R) \ direita) \, \ mathrm {d} ^ {4} x \\ & = \ int {\ frac {1} {2 \ kappa}} {\ sqrt {-g}} \ left (F ( R) (R _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} + g _ {\ mu \ nu} \ Box \ delta g ^ {\ mu \ nu} - \ nabla _ {\ mu} \ nabla _ {\ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu}) - {\ frac {1} {2}} g _ {\ mu \ nu} \ delta g ^ {\ mu \ nu} f (R) \ right ) \, \ mathrm {d} ^ {4} x \ end {alinhado}}}$$

Fazendo integração por partes no segundo e terceiro termos (e negligenciando as contribuições de limite), obtemos:

$${\ displaystyle \ delta S [g] = \ int {\ frac {1} {2 \ kappa}} {\ sqrt {-g}} \ delta g ^ {\ mu \ nu} \ left (F (R) R_ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {2}} g _ {\ mu \ nu} f (R) + [g _ {\ mu \ nu} \ Box - \ nabla _ {\ mu} \ nabla _ {\ nu}] F (R) \ direita) \, \ mathrm {d} ^ {4} x.}$$

Ao exigir que a ação permaneça invariante sob variações da métrica, obtém-se as equações de campo: ${\ displaystyle {\ frac {\ delta S} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} = 0}$

$${\ displaystyle F (R) R _ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {2}} f (R) g _ {\ mu \ nu} + \ left [g _ {\ mu \ nu} \ Box - \ nabla _ {\ mu} \ nabla _ {\ nu} \ direita] F (R) = \ kappa T _ {\ mu \ nu},}$$

${\ displaystyle T _ {\ mu \ nu}}$

$${\ displaystyle T _ {\ mu \ nu} = - {\ frac {2} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta ({\ sqrt {-g}} {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {m}})} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}},}$$

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {m}}$

As equações generalizadas de Friedmann

Assumindo uma métrica Robertson-Walker com fator de escala , podemos encontrar as

${\ displaystyle a (t)}$

${\ displaystyle \ kappa = 1}$

$${\ displaystyle 3FH ^ {2} = \ rho _ {\ rm {m}} + \ rho _ {\ rm {rad}} + {\ frac {1} {2}} (FR-f) -3H {\ ponto {F}}}$$

$${\ displaystyle -2F {\ dot {H}} = \ rho _ {\ rm {m}} + {\ frac {4} {3}} \ rho _ {\ rm {rad}} + {\ ddot {F }} - H {\ ponto {F}},}$$

$${\ displaystyle H = {\ frac {\ dot {a}} {a}},}$$

$${\ displaystyle {\ dot {\ rho}} _ {\ rm {m}} + 3H \ rho _ {\ rm {m}} = 0;}$$

$${\ displaystyle {\ dot {\ rho}} _ {\ rm {rad}} + 4H \ rho _ {\ rm {rad}} = 0.}$$

Constante de Newton modificada

Uma característica interessante dessas teorias é o fato de que a constante gravitacional é dependente do tempo e da escala. Para ver isso, adicione uma pequena perturbação escalar à métrica (no calibre newtoniano ):

$${\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = - (1 + 2 \ Phi) \ mathrm {d} t ^ {2} + \ alpha ^ {2} (1-2 \ Psi) \ delta _ { ij} \ mathrm {d} x ^ {i} \ mathrm {d} x ^ {j}}$$

$${\ displaystyle \ Phi = -4 \ pi G _ {\ mathrm {eff}} {\ frac {a ^ {2}} {k ^ {2}}} \ delta \ rho _ {\ mathrm {m}}}$$

$${\ displaystyle G _ {\ mathrm {eff}} = {\ frac {1} {8 \ pi F}} {\ frac {1 + 4 {\ frac {k ^ {2}} {a ^ {2} R} } m} {1 + 3 {\ frac {k ^ {2}} {a ^ {2} R}} m}},}$$

$${\ displaystyle m \ equiv {\ frac {RF _ {, R}} {F}}.}$$

Ondas gravitacionais massivas

Esta classe de teorias quando linearizada exibe três modos de polarização para as ondas gravitacionais , dos quais dois correspondem ao gráviton sem massa (helicidades ± 2) e o terceiro (escalar) é proveniente do fato de que se levarmos em conta uma transformação conforme, o a teoria de quarta ordem f ( R ) torna-se relatividade geral mais um campo escalar . Para ver isso, identifique

$${\ displaystyle \ Phi \ to f '(R) \ quad {\ textrm {and}} \ quad {\ frac {dV} {d \ Phi}} \ to {\ frac {2f (R) -Rf' (R )} {3}},}$$

$${\ displaystyle \ Box \ Phi = {\ frac {\ mathrm {d} V} {\ mathrm {d} \ Phi}}}$$

Trabalhando com a teoria de perturbação de primeira ordem:

$${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} = \ eta _ {\ mu \ nu} + h _ {\ mu \ nu}}$$

$${\ displaystyle \ Phi = \ Phi _ {0} + \ delta \ Phi}$$

$${\ displaystyle h _ {\ mu \ nu} (t, z; \ omega) = A ^ {+} (\ omega) \ exp (-i \ omega (tz)) e _ {\ mu \ nu} ^ {+} + A ^ {\ times} (\ omega) \ exp (-i \ omega (tz)) e _ {\ mu \ nu} ^ {\ times} + h_ {f} (v _ {\ mathrm {g}} tz; \ omega) \ eta _ {\ mu \ nu}}$$

$${\ displaystyle h_ {f} \ equiv {\ frac {\ delta \ Phi} {\ Phi _ {0}}},}$$

e v _g ( ω ) = d ω / d k é a velocidade de

${\ displaystyle f (R) = \ alpha R ^ {2}}$

${\ displaystyle R ^ {2}}$

Formalismo equivalente

Sob certas condições adicionais, podemos simplificar a análise das teorias f ( R ) introduzindo um campo auxiliar Φ . Supondo que para todo

${\ displaystyle f '' (R) \ neq 0}$

${\ displaystyle \ Phi = f '(R)}$

${\ displaystyle R = V '(\ Phi)}$

$${\ displaystyle S = \ int d ^ {4} x {\ sqrt {-g}} \ left [{\ frac {1} {2 \ kappa}} \ left (\ Phi RV (\ Phi) \ right) + {\ mathcal {L}} _ {\ text {m}} \ right].}$$

Temos as equações de Euler-Lagrange

$${\ displaystyle V '(\ Phi) = R}$$

$${\ displaystyle \ Phi \ left (R _ {\ mu \ nu} - {\ frac {1} {2}} g _ {\ mu \ nu} R \ right) + \ left (g _ {\ mu \ nu} \ Box - \ nabla _ {\ mu} \ nabla _ {\ nu} \ direita) \ Phi + {\ frac {1} {2}} g _ {\ mu \ nu} V (\ Phi) = \ kappa T _ {\ mu \ nu}}$$

Eliminando Φ , obtemos exatamente as mesmas equações de antes. No entanto, as equações são apenas de segunda ordem nas derivadas, em vez de quarta ordem.

Atualmente, estamos trabalhando com o quadro Jordan . Executando um reescalonamento conforme

$${\ displaystyle {\ tilde {g}} _ {\ mu \ nu} = \ Phi g _ {\ mu \ nu},}$$

$${\ displaystyle R = \ Phi \ left [{\ tilde {R}} + {\ frac {3 {\ tilde {\ Box}} \ Phi} {\ Phi}} - {\ frac {9} {2}} \ left ({\ frac {{\ tilde {\ nabla}} \ Phi} {\ Phi}} \ right) ^ {2} \ right]}$$

$${\ displaystyle S = \ int d ^ {4} x {\ sqrt {- {\ tilde {g}}}} {\ frac {1} {2 \ kappa}} \ left [{\ tilde {R}} - {\ frac {3} {2}} \ left ({\ frac {{\ tilde {\ nabla}} \ Phi} {\ Phi}} \ right) ^ {2} - {\ frac {V (\ Phi) } {\ Phi ^ {2}}} \ right]}$$

Definindo e substituindo ${\ displaystyle {\ tilde {\ Phi}} = {\ sqrt {3}} \ ln {\ Phi}}$

$${\ displaystyle S = \ int \ mathrm {d} ^ {4} x {\ sqrt {- {\ tilde {g}}}} {\ frac {1} {2 \ kappa}} \ left [{\ tilde { R}} - {\ frac {1} {2}} \ left ({\ tilde {\ nabla}} {\ tilde {\ Phi}} \ right) ^ {2} - {\ tilde {V}} ({ \ tilde {\ Phi}}) \ right]}$$

$${\ displaystyle {\ tilde {V}} ({\ tilde {\ Phi}}) = e ^ {- {\ frac {2} {\ sqrt {3}}} {\ tilde {\ Phi}}} V \ esquerda (e ^ {{\ tilde {\ Phi}} / {\ sqrt {3}}} \ direita).}$$

Esta é a relatividade geral acoplada a um campo escalar real: usar teorias f ( R ) para descrever o universo em aceleração é praticamente equivalente a usar quintessência . (Pelo menos, equivalente até a ressalva de que ainda não especificamos acoplamentos de matéria, então (por exemplo) f ( R ) gravidade em que a matéria está minimamente acoplada à métrica (ou seja, no quadro de Jordan) é equivalente a uma teoria da quintessência em que o campo escalar medeia uma quinta força com a força gravitacional.)

Gravidade Palatini f ( R )

No Palatini f ( R ) gravidade, trata-se a métrica e a conexão independentemente e varia a ação em relação a cada uma delas separadamente. A matéria Lagrangiana é considerada independente da conexão. Demonstrou-se que essas teorias são equivalentes à teoria de Brans-Dicke com ω = - 3 ⁄ 2 . Devido à estrutura da teoria, no entanto, as teorias Palatini f ( R ) parecem estar em conflito com o Modelo Padrão, podem violar os experimentos do sistema solar e parecem criar singularidades indesejadas.

Gravidade métrica f ( R ) afim

Na gravidade

Testes de observação

Como existem muitas formas potenciais de gravidade f ( R ), é difícil encontrar testes genéricos. Além disso, como os desvios da Relatividade Geral podem ser arbitrariamente pequenos em alguns casos, é impossível excluir conclusivamente algumas modificações. Algum progresso pode ser feito, sem assumir uma forma concreta para a função f ( R ) por Taylor expandindo

$${\ displaystyle f (R) = a_ {0} + a_ {1} R + a_ {2} R ^ {2} + \ cdots}$$

O primeiro termo é como a constante cosmológica e deve ser pequeno. O próximo coeficiente a ₁ pode ser definido como um como na relatividade geral. Para gravidade métrica f ( R ) (em oposição à gravidade Palatini ou métrica afina f ( R )), o termo quadrático é melhor restringido por medidas de quinta força , uma vez que leva a uma correção de Yukawa para o potencial gravitacional. Os melhores limites atuais são | a ₂ | <4 × 10 ⁻⁹  m ² ou equivalente | a ₂ | <2,3 × 10 ²²  GeV ⁻² .

O formalismo pós-newtoniano parametrizado é projetado para ser capaz de restringir teorias genéricas modificadas da gravidade. No entanto, a gravidade f ( R ) compartilha muitos dos mesmos valores da Relatividade Geral e, portanto, é indistinguível usando esses testes. Em particular, a deflexão da luz permanece inalterada, então a gravidade f ( R ), como a Relatividade Geral, é inteiramente consistente com os limites do rastreamento da

Gravidade Starobinsky

A gravidade Starobinsky tem a seguinte forma

$${\ displaystyle f (R) = R + {\ frac {R ^ {2}} {6M ^ {2}}}}$$

${\ displaystyle M}$

Gravidade Gogoi-Goswami

A gravidade Gogoi-Goswami tem a seguinte forma

$${\ displaystyle f (R) = R - {\ frac {\ alpha} {\ pi}} R_ {c} \ cot ^ {- 1} \ left ({\ frac {R_ {c} ^ {2}} { R ^ {2}}} \ right) - \ beta R_ {c} \ left [1- \ exp \ left (- {\ frac {R} {R_ {c}}} \ right) \ right]}$$

${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle \ beta}$

${\ displaystyle R_ {c}}$

Generalização tensorial

A gravidade