Teorema dos quatro quadrados de Lagrange - Lagrange's four-square theorem

É suficiente provar o teorema para cada número primo ímpar p . Isso decorre imediatamente da identidade dos quatro quadrados de Euler (e do fato de que o teorema é verdadeiro para os números 1 e 2).

Os resíduos de a ² módulo p são distintos para cada a entre 0 e ( p  - 1) / 2 (inclusive). Para ver isso, pegue algum a e defina c como a ² mod p . uma é a raiz do polinómio x ²  -  c sobre o campo Z / p Z . O mesmo ocorre com p  -  a (que é diferente de a ). Em um campo K , qualquer polinômio de grau n tem no máximo n raízes distintas ( teorema de Lagrange (teoria dos números) ), então não há outro a com esta propriedade, em particular não entre 0 a ( p  - 1) / 2 .

Da mesma forma, para b assumindo valores integrais entre 0 e ( p  - 1) / 2 (inclusive), os - b ²  - 1 são distintos. Pelo princípio de pombo , há um e b nesta gama, para os quais um ^dois e - b ²  - 1 são congruentes módulo p , isto é para as quais

${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + 1 ^ {2} + 0 ^ {2} = np.}$

Agora seja m o menor inteiro positivo tal que mp é a soma de quatro quadrados, x ₁ ²  +  x ₂ ²  +  x ₃ ²  +  x ₄ ² (acabamos de mostrar que existe algum m (nomeadamente n ) com esta propriedade , portanto, há pelo menos um m , e é menor que p ). Mostramos por contradição que m é igual a 1: supondo que não seja o caso, provamos a existência de um número inteiro positivo r menor que m , para o qual rp é também a soma de quatro quadrados (isso está no espírito do método da descida infinita de Fermat).

Para este fim, considera-se para cada x _i o y _i que está na mesma classe resíduo modulo m e entre (- m  + 1) / 2 e m / 2 (possivelmente incluídas). Segue-se que y ₁ ²  +  y ₂ ²  +  y ₃ ²  +  y ₄ ²  =  mr , para algum número inteiro estritamente positivo r menor que  m .

Finalmente, outro apelo à identidade de quatro quadrados de Euler mostra que mpmr  =  z ₁ ²  +  z ₂ ²  +  z ₃ ²  +  z ₄ ² . Mas o fato de que cada x _i é congruente com seu correspondente y _i implica que todos os z _i são divisíveis por m . De fato,

${\ displaystyle {\ begin {cases} z_ {1} & = x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} + x_ {3} y_ {3} + x_ {4} y_ {4} & \ equiv x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} + x_ {4} ^ {2} & = mp \ equiv 0 & {\ pmod {m} }, \\ z_ {2} & = x_ {1} y_ {2} -x_ {2} y_ {1} + x_ {3} y_ {4} -x_ {4} y_ {3} & \ equiv x_ { 1} x_ {2} -x_ {2} x_ {1} + x_ {3} x_ {4} -x_ {4} x_ {3} & = 0 & {\ pmod {m}}, \\ z_ {3} & = x_ {1} y_ {3} -x_ {2} y_ {4} -x_ {3} y_ {1} + x_ {4} y_ {2} & \ equiv x_ {1} x_ {3} -x_ {2} x_ {4} -x_ {3} x_ {1} + x_ {4} x_ {2} & = 0 & {\ pmod {m}}, \\ z_ {4} & = x_ {1} y_ { 4} + x_ {2} y_ {3} -x_ {3} y_ {2} -x_ {4} y_ {1} & \ equiv x_ {1} x_ {4} + x_ {2} x_ {3} - x_ {3} x_ {2} -x_ {4} x_ {1} & = 0 & {\ pmod {m}}. \ end {casos}}}$

Segue-se que, para w _i = z _i / m , w ₁ ²  +  w ₂ ²  +  w ₃ ²  +  w ₄ ²  =  rp , e isso está em contradição com a minimalidade de  m .

Na descida acima, devemos descartar tanto o caso y ₁ = y ₂ = y ₃ = y ₄ = m / 2 (o que resultaria em r = m e nenhuma descida), e também o caso y ₁ = y ₂ = y ₃ = y ₄ = 0 (o que resultaria em r = 0 em vez de estritamente positivo). Para ambos os casos, pode-se verificar que mp = x ₁ ²  +  x ₂ ²  +  x ₃ ²  +  x ₄ ² seria um múltiplo de m ² , contradizendo o fato de que p é um primo maior que m .

Os quatérnions de Hurwitz consistem em todos os quatérnions com componentes inteiros e todos os quatérnions com componentes meio-inteiros . Esses dois conjuntos podem ser combinados em uma única fórmula

${\ displaystyle \ alpha = {\ frac {1} {2}} E_ {0} (1+ \ mathbf {i} + \ mathbf {j} + \ mathbf {k}) + E_ {1} \ mathbf {i } + E_ {2} \ mathbf {j} + E_ {3} \ mathbf {k} = a_ {0} + a_ {1} \ mathbf {i} + a_ {2} \ mathbf {j} + a_ {3 } \ mathbf {k}}$

onde estão inteiros. Assim, os componentes do quatérnio são todos inteiros ou todos meio inteiros, dependendo se é par ou ímpar, respectivamente. O conjunto de quatérnions de Hurwitz forma um anel ; ou seja, a soma ou produto de quaisquer dois quatérnios de Hurwitz é igualmente um quatérnio de Hurwitz. ${\ displaystyle E_ {0}, E_ {1}, E_ {2}, E_ {3}}$${\ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}}$${\ displaystyle E_ {0}}$

A norma (aritmética ou de campo) de um quaternion racional é o número racional não negativo${\ displaystyle \ mathrm {N} (\ alpha)}$${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle \ mathrm {N} (\ alpha) = \ alpha {\ bar {\ alpha}} = a_ {0} ^ {2} + a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2}}$

onde está o conjugado de . Observe que a norma de um quaternion de Hurwitz é sempre um número inteiro. (Se os coeficientes são meio-inteiros, então seus quadrados têm a forma e a soma de quatro desses números é um inteiro.) ${\ displaystyle {\ bar {\ alpha}} = a_ {0} -a_ {1} \ mathbf {i} -a_ {2} \ mathbf {j} -a_ {3} \ mathbf {k}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {4}} + n: n \ in \ mathbb {Z}}$

Uma vez que a multiplicação de quatérnions é associativa, e os números reais comutam com outros quatérnios, a norma de um produto de quatérnions é igual ao produto das normas:

${\ displaystyle \ mathrm {N} (\ alpha \ beta) = \ alpha \ beta ({\ overline {\ alpha \ beta}}) = \ alpha \ beta {\ bar {\ beta}} {\ bar {\ alpha }} = \ alpha \ mathrm {N} (\ beta) {\ bar {\ alpha}} = \ alpha {\ bar {\ alpha}} \ mathrm {N} (\ beta) = \ mathrm {N} (\ alpha) \ mathrm {N} (\ beta).}$

Para qualquer , . Segue-se facilmente que é uma unidade no anel dos quatérnios de Hurwitz se e somente se . ${\ displaystyle \ alpha \ neq 0}$${\ displaystyle \ alpha ^ {- 1} = {\ bar {\ alpha}} \ mathrm {N} (\ alpha) ^ {- 1}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ mathrm {N} (\ alpha) = 1}$

A prova do teorema principal começa pela redução ao caso dos números primos. A identidade de quatro quadrados de Euler implica que, se o teorema de quatro quadrados de Langrange é válido para dois números, ele é válido para o produto dos dois números. Uma vez que qualquer número natural pode ser fatorado em potências de primos, é suficiente provar o teorema para números primos. É verdade para . Para mostrar isso para um inteiro primo ímpar p , represente-o como um quatérnio e suponha por enquanto (como mostraremos mais tarde) que não é um Hurwitz irredutível ; ou seja, pode ser fatorado em dois quaternions de Hurwitz não unitários ${\ displaystyle 2 = 1 ^ {2} + 1 ^ {2} + 0 ^ {2} + 0 ^ {2}}$${\ displaystyle (p, 0,0,0)}$

${\ displaystyle p = \ alpha \ beta.}$

As normas de são números inteiros que ${\ displaystyle p, \ alpha, \ beta}$

${\ displaystyle \ mathrm {N} (p) = p ^ {2} = \ mathrm {N} (\ alpha \ beta) = \ mathrm {N} (\ alpha) \ mathrm {N} (\ beta)}$

e . Isso mostra que e são iguais ap (uma vez que são inteiros), e p é a soma de quatro quadrados ${\ displaystyle \ mathrm {N} (\ alpha), \ mathrm {N} (\ beta)> 1}$${\ displaystyle \ mathrm {N} (\ alpha)}$${\ displaystyle \ mathrm {N} (\ beta)}$

${\ displaystyle p = \ mathrm {N} (\ alpha) = a_ {0} ^ {2} + a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2} .}$

Caso o escolhido possua coeficientes de meio-inteiro, ele pode ser substituído por outro quatérnio de Hurwitz. Escolha de forma que tenha coeficientes inteiros pares. Então ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ omega = (\ pm 1 \ pm \ mathbf {i} \ pm \ mathbf {j} \ pm \ mathbf {k}) / 2}$${\ displaystyle \ gamma \ equiv \ omega + \ alpha}$

${\ displaystyle p = ({\ bar {\ gamma}} - {\ bar {\ omega}}) \ omega {\ bar {\ omega}} (\ gamma - \ omega) = ({\ bar {\ gamma} } \ omega -1) ({\ bar {\ omega}} \ gamma -1).}$

Uma vez que tem coeficientes inteiros pares, terá coeficientes inteiros e pode ser usado em vez do original para dar uma representação de p como a soma de quatro quadrados. ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle ({\ bar {\ omega}} \ gamma -1)}$${\ displaystyle \ alpha}$

Quanto a mostrar que p não é irredutível de Hurwitz, Lagrange provou que qualquer primo ímpar p divide pelo menos um número da forma , onde l e m são inteiros. Isso pode ser visto da seguinte maneira: como p é primo, pode valer para inteiros , somente quando . Assim, o conjunto de quadrados contém resíduos distintos módulo p . Da mesma forma, contém resíduos. Uma vez que existem apenas p resíduos no total, e , os conjuntos X e Y devem se cruzar. ${\ displaystyle u = 1 + l ^ {2} + m ^ {2}}$${\ displaystyle a ^ {2} \ equiv b ^ {2} {\ pmod {p}}}$${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle a \ equiv \ pm b {\ pmod {p}}}$${\ displaystyle X = \ {0 ^ {2}, 1 ^ {2}, \ dots, ((p-1) / 2) ^ {2} \}}$${\ displaystyle (p + 1) / 2}$${\ displaystyle Y = \ {- (1 + x): x \ em X \}}$${\ displaystyle (p + 1) / 2}$${\ displaystyle | X | + | Y | = p + 1> p}$

O número u pode ser fatorado em quaternions de Hurwitz:

${\ displaystyle 1 + l ^ {2} + m ^ {2} = (1 + l \; \ mathbf {i} + m \; \ mathbf {j}) (1-l \; \ mathbf {i} - m \; \ mathbf {j}).}$

A norma sobre quatérnios de Hurwitz satisfaz uma forma da propriedade euclidiana : para qualquer quatérnio com coeficientes racionais, podemos escolher um quatérnio de Hurwitz de modo que escolhendo primeiro aquele e depois aquele para . Então nós obtemos ${\ displaystyle \ alpha = a_ {0} + a_ {1} \ mathbf {i} + a_ {2} \ mathbf {j} + a_ {3} \ mathbf {k}}$${\ displaystyle \ beta = b_ {0} + b_ {1} \ mathbf {i} + b_ {2} \ mathbf {j} + b_ {3} \ mathbf {k}}$${\ displaystyle \ mathrm {N} (\ alpha - \ beta) <1}$${\ displaystyle b_ {0}}$${\ displaystyle | a_ {0} -b_ {0} | \ leq 1/4}$${\ displaystyle b_ {1}, b_ {2}, b_ {3}}$${\ displaystyle | a_ {i} -b_ {i} | \ leq 1/2}$${\ displaystyle i = 1,2,3}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mathrm {N} (\ alpha - \ beta) & = (a_ {0} -b_ {0}) ^ {2} + (a_ {1} -b_ {1}) ^ {2} + (a_ {2} -b_ {2}) ^ {2} + (a_ {3} -b_ {3}) ^ {2} \\ & \ leq \ left ({\ frac {1} {4}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) ^ {2} = {\ frac {13} {16}} <1. \ end {alinhado}}}$

Conclui-se que para quaisquer quatérnios de Hurwitz com , existe um quatérnio de Hurwitz tal que ${\ displaystyle \ alpha, \ beta}$${\ displaystyle \ alpha \ neq 0}$${\ displaystyle \ gamma}$

${\ displaystyle \ mathrm {N} (\ beta - \ alpha \ gamma) <\ mathrm {N} (\ alpha).}$

O anel H dos quatérnions de Hurwitz não é comutativo, portanto, não é um domínio euclidiano real e não tem fatoração única no sentido usual. No entanto, a propriedade acima implica que todo ideal correto é principal . Assim, existe um quaternion de Hurwitz tal que ${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle \ alpha H = pH + (1-l \; \ mathbf {i} -m \; \ mathbf {j}) H.}$

Em particular, para alguns quatérnios de Hurwitz . Se fosse uma unidade, seria um múltiplo de p , porém isso é impossível, pois não é um quaternion de Hurwitz para . Da mesma forma, se fosse uma unidade, teríamos ${\ displaystyle p = \ alpha \ beta}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle 1-l \; \ mathbf {i} -m \; \ mathbf {j}}$${\ displaystyle 1 / pl / p \; \ mathbf {i} -m / p \; \ mathbf {j}}$${\ displaystyle p> 2}$${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle (1 + l \; \ mathbf {i} + m \; \ mathbf {j}) H = (1 + l \; \ mathbf {i} + m \; \ mathbf {j}) pH + (1 + l \; \ mathbf {i} + m \; \ mathbf {j}) (1-l \; \ mathbf {i} -m \; \ mathbf {j}) H \ subseteq pH}$

então p se divide , o que novamente contradiz o fato de que não é um quaternion de Hurwitz. Assim, p não é irredutível de Hurwitz, como afirmado. ${\ displaystyle 1 + l \; \ mathbf {i} + m \; \ mathbf {j}}$${\ displaystyle 1 / pl / p \; \ mathbf {i} -m / p \; \ mathbf {j}}$