Teorema de Fermat sobre somas de dois quadrados - Fermat's theorem on sums of two squares

Na teoria aditiva dos números , o teorema de Fermat sobre as somas de dois quadrados afirma que um primo ímpar p pode ser expresso como:

${\ displaystyle p = x ^ {2} + y ^ {2},}$

com x e y inteiros, se e somente se

${\ displaystyle p \ equiv 1 {\ pmod {4}}.}$

Os números primos para os quais isso é verdade são chamados de primos pitagóricos . Por exemplo, os primos 5, 13, 17, 29, 37 e 41 são todos congruentes a 1 módulo 4 e podem ser expressos como somas de dois quadrados das seguintes maneiras:

${\ displaystyle 5 = 1 ^ {2} + 2 ^ {2}, \ quad 13 = 2 ^ {2} + 3 ^ {2}, \ quad 17 = 1 ^ {2} + 4 ^ {2}, \ quad 29 = 2 ^ {2} + 5 ^ {2}, \ quad 37 = 1 ^ {2} + 6 ^ {2}, \ quad 41 = 4 ^ {2} + 5 ^ {2}.}$

Por outro lado, os primos 3, 7, 11, 19, 23 e 31 são todos congruentes a 3 módulo 4, e nenhum deles pode ser expresso como a soma de dois quadrados. Esta é a parte mais fácil do teorema, e segue imediatamente da observação de que todos os quadrados são congruentes a 0 ou 1 módulo 4.

Uma vez que a identidade de Diofanto implica que o produto de dois inteiros, cada um dos quais pode ser escrito como a soma de dois quadrados, é ele próprio expressável como a soma de dois quadrados, aplicando o teorema de Fermat à fatoração primária de qualquer inteiro positivo n , vemos que se todos os fatores primos de n congruentes a 3 módulo 4 ocorrem em um expoente par, então n é expressável como a soma de dois quadrados. O inverso também é válido. Esta generalização do teorema de Fermat é conhecida como teorema da soma de dois quadrados .

História

Albert Girard foi o primeiro a fazer a observação, descrevendo todos os números inteiros positivos (não necessariamente primos) expressos como a soma de dois quadrados de inteiros positivos; isso foi publicado em 1625. A afirmação de que todo p primo da forma 4n + 1 é a soma de dois quadrados é às vezes chamada de teorema de Girard . Por sua vez, Fermat escreveu uma versão elaborada da declaração (na qual também deu o número de expressões possíveis das potências de p como a soma de dois quadrados) em uma carta a Marin Mersenne datada de 25 de dezembro de 1640: por este motivo esta versão do teorema é às vezes chamada de teorema do Natal de Fermat.

Primos gaussianos

O teorema de Fermat sobre as somas de dois quadrados está fortemente relacionado com a teoria dos primos gaussianos .

Um Gaussiana inteiro é um número complexo de tal modo que um e b são números inteiros. A norma de um inteiro gaussiano é um inteiro igual ao quadrado do valor absoluto do inteiro gaussiano. A norma de um produto de inteiros gaussianos é o produto de sua norma. Esta é a identidade de Diofanto , que resulta imediatamente da propriedade semelhante do valor absoluto. ${\ displaystyle a + ib}$ ${\ displaystyle N (a + ib) = a ^ {2} + b ^ {2}}$

Os inteiros gaussianos formam um domínio ideal principal . Isto implica que primos Gaussianos pode ser definido de forma semelhante como números primos, que é como aquelas inteiros de Gauss, que não são o produto de dois não-unidades (aqui as unidades são 1, -1, i e - i ).

A propriedade multiplicativa da norma implica que um número primo p é um primo gaussiano ou a norma de um primo gaussiano. O teorema de Fermat afirma que o primeiro caso ocorre quando e que o segundo caso ocorre quando e O último caso não é considerado na afirmação de Fermat, mas é trivial, como${\ displaystyle p = 4k + 3,}$${\ displaystyle p = 4k + 1}$${\ displaystyle p = 2.}$${\ displaystyle 2 = 1 ^ {2} + 1 ^ {2} = N (1 + i).}$

Resultados relacionados

Acima do ponto de vista do teorema de Fermat é um caso especial da teoria da fatoração de ideais em anéis de inteiros quadráticos . Em resumo, se é o anel de números inteiros algébricas no campo quadrática , em seguida, um número impar privilegiada p , não dividindo d , ou é um elemento primordial na ou a norma ideal de um ideal de que é necessariamente privilegiada. Além disso, a lei da reciprocidade quadrática permite distinguir os dois casos em termos de congruências. Se for um domínio ideal principal , então p é uma norma ideal se e somente ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ sqrt {d}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ sqrt {d}},}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ sqrt {d}},}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ sqrt {d}}}$

${\ displaystyle 4p = a ^ {2} -db ^ {2},}$

com um e b ambos inteiros.

Em uma carta a Blaise Pascal datada de 25 de setembro de 1654, Fermat anunciou os dois resultados a seguir que são essencialmente os casos especiais e Se p for um primo ímpar, então ${\ displaystyle d = -2}$${\ displaystyle d = -3.}$

${\ displaystyle p = x ^ {2} + 2y ^ {2} \ iff p \ equiv 1 {\ mbox {ou}} p \ equiv 3 {\ pmod {8}},}$

${\ displaystyle p = x ^ {2} + 3y ^ {2} \ iff p \ equiv 1 {\ pmod {3}}.}$

Fermat escreveu também:

Se dois primos que terminam em 3 ou 7 e superam em 3 um múltiplo de 4 são multiplicados, então seu produto será composto de um quadrado e o quíntuplo de outro quadrado.

Em outras palavras, se p, q têm a forma 20 k + 3 ou 20 k + 7 , então pq = x ² + 5 y ² . Euler mais tarde estendeu isso à conjectura de que

${\ displaystyle p = x ^ {2} + 5y ^ {2} \ iff p \ equiv 1 {\ mbox {ou}} p \ equiv 9 {\ pmod {20}},}$

${\ displaystyle 2p = x ^ {2} + 5y ^ {2} \ iff p \ equiv 3 {\ mbox {ou}} p \ equiv 7 {\ pmod {20}}.}$

Tanto a afirmação de Fermat quanto a conjectura de Euler foram estabelecidas por Joseph-Louis Lagrange . Esta formulação mais complicada baseia-se no fato de que não é um domínio ideal principal, ao contrário de e${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ sqrt {-5}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ sqrt {-2}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ sqrt {-3}}.}$

Algoritmo

Há um trivial algoritmo para decompor um primo da forma em uma soma de dois quadrados: Para todos n tal , testar se a raiz quadrada de um inteiro. Se for esse o caso, temos a decomposição. ${\ displaystyle p = 4k + 1}$${\ displaystyle 1 \ leq n <{\ sqrt {p}}}$${\ displaystyle pn ^ {2}}$

No entanto, o tamanho de entrada do algoritmo é o número de dígitos de p (até um fator constante que depende da base numérica ). O número de testes necessários é da ordem e, portanto, exponencial no tamanho da entrada. Portanto, a complexidade computacional desse algoritmo é exponencial . ${\ displaystyle \ log p,}$${\ displaystyle {\ sqrt {p}} = \ exp \ left ({\ frac {\ log p} {2}} \ right),}$

Um algoritmo com complexidade polinomial foi descrito por Stan Wagon em 1990, baseado no trabalho de Serret e Hermite (1848) e Cornacchia (1908).

Descrição

Dado um primo ímpar na forma , primeiro encontre- o . Isso pode ser feito encontrando um módulo sem resíduo Quadrático , digamos , e deixando . ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle 4k + 1}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x ^ {2} \ equiv -1 {\ pmod {p}}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle x = q ^ {\ frac {p-1} {4}} {\ pmod {p}}}$

Tal irá satisfazer a condição desde que os não-resíduos quadráticos satisfaçam . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle q ^ {\ frac {p-1} {2}} \ equiv -1 {\ pmod {p}}}$

Uma vez determinado, pode-se aplicar o algoritmo Euclidiano com e . Denote os dois primeiros remanescentes que são menores que a raiz quadrada de as e . Então será esse o caso . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = p}$

Exemplo

Pegue . Um possível não-resíduo quadrático para 97 é 13, pois . então nós deixamos . O algoritmo euclidiano aplicado a 97 e 22 produz: ${\ displaystyle p = 97}$${\ displaystyle 13 ^ {\ frac {97-1} {2}} \ equiv -1 {\ pmod {97}}}$${\ displaystyle x = 13 ^ {\ frac {97-1} {4}} = 22 {\ pmod {97}}}$

Os dois primeiros remanescentes menores do que a raiz quadrada de 97 são 9 e 4; e de fato temos , como esperado. ${\ displaystyle 97 = 9 ^ {2} + 4 ^ {2}}$

Provas

Fermat geralmente não anotava as provas de suas afirmações e não fornecia uma prova dessa afirmação. A primeira prova foi encontrada por Euler após muito esforço e é baseada na descida infinita . Ele o anunciou em duas cartas a Goldbach , em 6 de maio de 1747 e em 12 de abril de 1749; ele publicou a prova detalhada em dois artigos (entre 1752 e 1755). Lagrange deu uma prova em 1775 que foi baseada em seu estudo das formas quadráticas . Esta prova foi simplificada por Gauss em seu Disquisitiones Arithmeticae (art. 182). Dedekind deu pelo menos duas provas baseadas na aritmética dos inteiros gaussianos . Há uma prova elegante usando o teorema de Minkowski sobre conjuntos convexos. Simplificando uma prova curta anterior devido a Heath-Brown (que foi inspirado pela ideia de Liouville ), Zagier apresentou uma prova não construtiva de uma frase em 1990. E mais recentemente Christopher deu uma prova teórica da partição .

Prova de Euler por descida infinita

Euler conseguiu provar o teorema de Fermat sobre a soma de dois quadrados em 1749, quando tinha 42 anos. Ele comunicou isso em uma carta a Goldbach datada de 12 de abril de 1749. A prova se baseia na descendência infinita e é apenas brevemente esboçada na carta. A prova completa consiste em cinco etapas e é publicada em dois artigos. As primeiras quatro etapas são as proposições 1 a 4 do primeiro artigo e não correspondem exatamente às quatro etapas abaixo. A quinta etapa abaixo é do segundo artigo.

Para evitar ambigüidade, zero sempre será um constituinte possível válido de "somas de dois quadrados", então, por exemplo, cada quadrado de um inteiro é trivialmente expressável como a soma de dois quadrados, definindo um deles como zero.

1. O produto de dois números, cada um dos quais é a soma de dois quadrados, é ele próprio uma soma de dois quadrados.

Esta é uma propriedade bem conhecida, com base na identidade

${\ displaystyle (a ^ {2} + b ^ {2}) (p ^ {2} + q ^ {2}) = (ap + bq) ^ {2} + (aq-bp) ^ {2}}$

devido a Diofanto .

2. Se um número que é a soma de dois quadrados é divisível por um primo que é a soma de dois quadrados, então o quociente é a soma de dois quadrados. (Esta é a primeira proposição de Euler).

Na verdade, suponha, por exemplo, que seja divisível por e que este último seja um primo. Então divide ${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2}}$${\ displaystyle p ^ {2} + q ^ {2}}$${\ displaystyle p ^ {2} + q ^ {2}}$

${\ displaystyle (pb-aq) (pb + aq) = p ^ {2} b ^ {2} -a ^ {2} q ^ {2} = p ^ {2} (a ^ {2} + b ^ {2}) - a ^ {2} (p ^ {2} + q ^ {2}).}$

Como é primo, ele divide um dos dois fatores. Suponha que ele se divida . Desde a ${\ displaystyle p ^ {2} + q ^ {2}}$${\ displaystyle pb-aq}$

${\ displaystyle (a ^ {2} + b ^ {2}) (p ^ {2} + q ^ {2}) = (ap + bq) ^ {2} + (aq-bp) ^ {2}}$

(A identidade de Diofanto) segue-se que deve dividir . Portanto, a equação pode ser dividida pelo quadrado de . Dividindo a expressão por rendimentos: ${\ displaystyle p ^ {2} + q ^ {2}}$${\ displaystyle (ap + bq) ^ {2}}$${\ displaystyle p ^ {2} + q ^ {2}}$${\ displaystyle (p ^ {2} + q ^ {2}) ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2}} {p ^ {2} + q ^ {2}}} = \ left ({\ frac {ap + bq} {p ^ {2 } + q ^ {2}}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {aq-bp} {p ^ {2} + q ^ {2}}} \ right) ^ {2}}$

e, portanto, expressa o quociente como uma soma de dois quadrados, conforme reivindicado.

Por outro lado, se divide , um argumento semelhante é válido usando a seguinte variante da identidade de Diofanto: ${\ displaystyle p ^ {2} + q ^ {2}}$${\ displaystyle pb + aq}$

${\ displaystyle (a ^ {2} + b ^ {2}) (q ^ {2} + p ^ {2}) = (aq + bp) ^ {2} + (ap-bq) ^ {2}. }$

3. Se um número que pode ser escrito como a soma de dois quadrados é divisível por um número que não é a soma de dois quadrados, então o quociente tem um fator que não é a soma de dois quadrados. (Esta é a segunda proposição de Euler).

Suponha que seja um número não expressável como a soma de dois quadrados, que se divide . Escreva o quociente, fatorado em seus fatores primos (possivelmente repetidos), como tal . Se todos os factores pode ser escrito como somas de dois quadrados, em seguida, que pode dividir sucessivamente por , etc., e aplicando o passo (2) acima deduz-se que cada sucessivo, menor, quociente é uma soma de dois quadrados. Se descermos até, então ele mesmo teria que ser igual à soma de dois quadrados, o que é uma contradição. Portanto, pelo menos um dos primos não é a soma de dois quadrados.${\ displaystyle q}$${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2}}$${\ displaystyle p_ {1} p_ {2} \ cdots p_ {n}}$${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = qp_ {1} p_ {2} \ cdots p_ {n}}$${\ displaystyle p_ {i}}$${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2}}$${\ displaystyle p_ {1}}$${\ displaystyle p_ {2}}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle p_ {i}}$

4. Se e forem inteiros positivos relativamente primos, então cada fator de é uma soma de dois quadrados. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2}}$ (Esta é a etapa que usa a etapa (3.) para produzir uma 'descida infinita' e foi a proposição 4 de Euler. A prova esboçada abaixo também inclui a prova de sua proposição 3).

Sejamos inteiros positivos relativamente primos: sem perda de generalidade, ele não é primo, caso contrário, não há nada a provar. Deixe, portanto, ser um fator próprio de , não necessariamente primo: desejamos mostrar que é uma soma de dois quadrados. Novamente, não perdemos nada ao presumir, já que o caso é óbvio.${\ displaystyle a, b}$ ${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2}}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2}}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle q> 2}$${\ displaystyle q = 2 = 1 ^ {2} + 1 ^ {2}}$

Let Ser números inteiros não negativos tais que são os múltiplos mais próximos de (em valor absoluto) para respectivamente. Observe que as diferenças e são inteiros de valor absoluto estritamente menores que : de fato, quando é par, mdc ; caso contrário, desde o gcd , também teríamos o gcd .${\ displaystyle m, n}$${\ displaystyle mq, nq}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle c = a-mq}$${\ displaystyle d = b-nq}$${\ displaystyle q / 2}$${\ displaystyle q> 2}$${\ displaystyle (a, q / 2) = 1}$${\ displaystyle (a, q / 2) \ mid q / 2 \ mid q \ mid a ^ {2} + b ^ {2}}$${\ displaystyle (a, q / 2) \ mid b}$

Multiplicando, obtemos

${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = m ^ {2} q ^ {2} + 2mqc + c ^ {2} + n ^ {2} q ^ {2} + 2nqd + d ^ { 2} = Aq + (c ^ {2} + d ^ {2})}$

definindo exclusivamente um número inteiro não negativo . Uma vez que divide ambas as extremidades desta sequência de equações, segue-se que também deve ser divisível por : digamos . Seja o mdc de e que pela co-primidade de é relativamente primo para . Assim , divide , escrevendo , e , obtemos a expressão para relativamente primo e , e com , uma vez que ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle c ^ {2} + d ^ {2}}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle c ^ {2} + d ^ {2} = qr}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle g ^ {2}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle e = c / g}$${\ displaystyle f = d / g}$${\ displaystyle s = r / g ^ {2}}$${\ displaystyle e ^ {2} + f ^ {2} = qs}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle s <q / 2}$

${\ displaystyle qs = e ^ {2} + f ^ {2} \ leq c ^ {2} + d ^ {2} <\ left ({\ frac {q} {2}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {q} {2}} \ right) ^ {2} = q ^ {2} / 2.}$

Agora, finalmente, o degrau de descida : se não for a soma de dois quadrados, então pelo degrau (3.) deve haver um fator, digamos, que não seja a soma de dois quadrados. Mas e assim repetindo essas etapas (inicialmente com no lugar de , e assim por diante ad infinitum ), seremos capazes de encontrar uma sequência infinita decrescente estritamente de inteiros positivos que não são somas de dois quadrados, mas que se dividem em uma soma de dois quadrados relativamente primos. Visto que tal descida infinita é impossível, concluímos que deve ser exprimível como uma soma de dois quadrados, como afirmado.${\ displaystyle q}$${\ displaystyle q_ {1}}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle q_ {1} \ leq s <q / 2 <q}$${\ displaystyle e, f; q_ {1}}$${\ displaystyle a, b; q}$${\ displaystyle q, q_ {1}, q_ {2}, \ ldots}$${\ displaystyle q}$

5. Cada primo do formulário é uma soma de dois quadrados. ${\ displaystyle 4n + 1}$ (Este é o principal resultado do segundo artigo de Euler).

Se , então pelo Pequeno Teorema de Fermat, cada um dos números é congruente a um módulo . As diferenças são, portanto, todas divisíveis por . Cada uma dessas diferenças pode ser fatorada como ${\ displaystyle p = 4n + 1}$${\ displaystyle 1,2 ^ {4n}, 3 ^ {4n}, \ dots, (4n) ^ {4n}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle 2 ^ {4n} -1,3 ^ {4n} -2 ^ {4n}, \ dots, (4n) ^ {4n} - (4n-1) ^ {4n}}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle a ^ {4n} -b ^ {4n} = \ left (a ^ {2n} + b ^ {2n} \ right) \ left (a ^ {2n} -b ^ {2n} \ right). }$

Como é primo, ele deve dividir um dos dois fatores. Se em qualquer um dos casos ele divide o primeiro fator, então pelo passo anterior concluímos que ele é uma soma de dois quadrados (visto que e diferem por , eles são relativamente primos). Portanto, basta mostrar que nem sempre é possível dividir o segundo fator. Se dividir todas as diferenças , então dividirá todas as diferenças de termos sucessivos, todas as diferenças das diferenças e assim por diante. Uma vez que as ésimas diferenças da sequência são todas iguais a ( diferença finita ), as ésimas diferenças seriam todas constantes e iguais a , o que certamente não é divisível por . Portanto, não pode dividir todos os segundos fatores, o que prova que é de fato a soma de dois quadrados.${\ displaystyle p}$${\ displaystyle 4n-1}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle 4n-1}$${\ displaystyle 2 ^ {2n} -1,3 ^ {2n} -2 ^ {2n}, \ dots, (4n) ^ {2n} - (4n-1) ^ {2n}}$${\ displaystyle 4n-2}$${\ displaystyle 4n-3}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle 1 ^ {k}, 2 ^ {k}, 3 ^ {k}, \ dots}$${\ displaystyle k!}$${\ displaystyle 2n}$${\ displaystyle (2n)!}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$

A prova de Lagrange através de formas quadráticas

Lagrange completou uma prova em 1775 com base em sua teoria geral das formas quadráticas integrais . A apresentação a seguir incorpora uma ligeira simplificação de seu argumento, devido a Gauss , que aparece no artigo 182 das Disquisitiones Arithmeticae .

Uma forma quadrática ( binária integral ) é uma expressão da forma com números inteiros. Diz-se que um número é representado pela forma se houver inteiros como esse . Teorema de Fermat em somas de dois quadrados é, então, equivalente à afirmação de que um primo é representado pela forma (ou seja, , ) exatamente quando é congruente com modulo . ${\ displaystyle ax ^ {2} + bxy + cy ^ {2}}$${\ displaystyle a, b, c}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle x, y}$${\ displaystyle n = ax ^ {2} + bxy + cy ^ {2}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2}}$${\ displaystyle a = c = 1}$${\ displaystyle b = 0}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle 4}$

O discriminante da forma quadrática é definido como sendo . O discriminante de é então igual a . ${\ displaystyle b ^ {2} -4ac}$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2}}$${\ displaystyle -4}$

Duas formas e são equivalentes se e somente se houver substituições com coeficientes inteiros ${\ displaystyle ax ^ {2} + bxy + cy ^ {2}}$${\ displaystyle a'x '^ {2} + b'x'y' + c'y '^ {2}}$

${\ displaystyle x = \ alpha x '+ \ beta y'}$

${\ displaystyle y = \ gamma x '+ \ delta y'}$

com tal que, quando substituído na primeira forma, produza a segunda. As formas equivalentes são facilmente vistas como tendo o mesmo discriminante e, portanto, também a mesma paridade para o coeficiente do meio , que coincide com a paridade do discriminante. Além disso, está claro que as formas equivalentes representarão exatamente os mesmos inteiros, porque esse tipo de substituição pode ser revertido por substituições do mesmo tipo. ${\ displaystyle \ alpha \ delta - \ beta \ gamma = \ pm 1}$${\ displaystyle b}$

Lagrange provou que todas as formas definidas positivas de discriminante −4 são equivalentes. Assim, para provar o teorema de Fermat é suficiente encontrar qualquer forma definida positiva de discriminante −4 que represente . Por exemplo, pode-se usar um formulário ${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle px ^ {2} + 2mxy + \ left ({\ frac {m ^ {2} +1} {p}} \ right) y ^ {2},}$

onde o primeiro coeficiente a  =  foi escolhido de modo que a forma represente definindo x  = 1 ey  = 0, o coeficiente b  = 2 m é um número par arbitrário (como deve ser, para obter um discriminante par) e, finalmente é escolhido de forma que o discriminante seja igual a −4, o que garante que a forma seja de fato equivalente a . Claro, o coeficiente deve ser um inteiro, então o problema se reduz a encontrar algum inteiro m tal que divida : ou em outras palavras, uma 'raiz quadrada de -1 módulo ' . ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle c = {\ frac {m ^ {2} +1} {p}}}$${\ displaystyle b ^ {2} -4ac = 4m ^ {2} -4pc}$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2}}$${\ displaystyle c = {\ frac {m ^ {2} +1} {p}}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle m ^ {2} +1}$${\ displaystyle p}$

Afirmamos que essa raiz quadrada de é dada por . Em primeiro lugar, segue do Teorema Fundamental da Aritmética de Euclides que . Consequentemente,: isto é, são seus próprios módulos inversos e esta propriedade é exclusiva deles. Segue-se então da validade da divisão euclidiana nos inteiros, e do fato de que é primo, que para cada mdc de e pode ser expresso por meio do algoritmo euclidiano, produzindo um inverso único e distinto do módulo . Em particular, portanto, o produto de todos os resíduos diferentes de zero módulo é . Let : do que acabou de ser observado ,. Mas, por definição, uma vez que cada termo pode ser emparelhado com seu negativo em , que, desde é mostras estranhas que , conforme necessário. ${\ displaystyle -1}$${\ displaystyle K = \ prod _ {k = 1} ^ {\ frac {p-1} {2}} k}$${\ displaystyle ab \ equiv 0 {\ pmod {p}} \ iff a \ equiv 0 {\ pmod {p}} \ \ {\ hbox {ou}} \ \ b \ equiv 0 {\ pmod {p}}}$${\ displaystyle a ^ {2} \ equiv 1 {\ pmod {p}} \ iff a \ equiv \ pm 1 {\ pmod {p}}}$${\ displaystyle \ pm 1}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle 2 \ leq a \ leq p-2}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle a ^ {- 1} \ neq a}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle -1}$${\ displaystyle L = \ prod _ {l = {\ frac {p + 1} {2}}} ^ {p-1} l}$${\ displaystyle KL \ equiv -1 {\ pmod {p}}}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle L = (- 1) ^ {\ frac {p-1} {2}} K}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle K ^ {2} \ equiv -1 {\ pmod {p}} \ iff p \ equiv 1 {\ pmod {4}}}$

As duas provas de Dedekind usando inteiros gaussianos

Richard Dedekind deu pelo menos duas provas de teorema de Fermat em somas de dois quadrados, tanto utilizando as propriedades aritméticas dos inteiros de Gauss , que são os números da forma um  +  bi , onde um e b são números inteiros, e i é a raiz quadrada de -1. Um aparece na seção 27 de sua exposição de ideais publicada em 1877; a segunda apareceu no Suplemento XI Peter Gustav Lejeune Dirichlet 's Vorlesungen über Zahlentheorie , e foi publicado em 1894.

1. Primeira prova. Se for um número primo ímpar , temos os inteiros gaussianos. Consequentemente, escrevendo um inteiro gaussiano ω =  x  +  iy com x, y  ∈  Z e aplicando o automorfismo de Frobenius em Z [ i ] / ( p ), encontramos ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle i ^ {p-1} = (- 1) ^ {\ frac {p-1} {2}}}$

${\ displaystyle \ omega ^ {p} = (x + yi) ^ {p} \ equiv x ^ {p} + y ^ {p} i ^ {p} \ equiv x + (- 1) ^ {\ frac {p -1} {2}} yi {\ pmod {p}},}$

já que o automorfismo fixa os elementos de Z / ( p ). No caso atual, para algum inteiro n, e assim na expressão acima para ω ^p , o expoente (p-1) / 2 de -1 é par. Portanto, o lado direito é igual a ω, então, neste caso, o endomorfismo de Frobenius de Z [ i ] / ( p ) é a identidade. ${\ displaystyle p = 4n + 1}$

Kummer já havia estabelecido que se f ∈ {1,2 } é a ordem do automorfismo de Frobenius de Z [ i ] / ( p ), então o ideal em Z [ i ] seria um produto de 2 / f ideais primos distintos . (Na verdade, Kummer havia estabelecido um resultado muito mais geral para qualquer extensão de Z obtida pela junção de uma raiz m- ésima da unidade primitiva , onde m era qualquer inteiro positivo; este é o caso m = 4 desse resultado.) Portanto, o ideal ( p ) é o produto de dois ideais primos diferentes em Z [ i ]. Uma vez que os inteiros gaussianos são um domínio euclidiano para a função norma , todo ideal é principal e gerado por um elemento diferente de zero do ideal de norma mínima. Como a norma é multiplicativa, a norma de um gerador de um dos fatores ideais de ( p ) deve ser um divisor estrito de , de modo que devemos ter , o que dá o teorema de Fermat. ${\ displaystyle (p)}$${\ displaystyle N (x + iy) = x ^ {2} + y ^ {2}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle N (p) = p ^ {2}}$${\ displaystyle p = N (\ alpha) = N (a + bi) = a ^ {2} + b ^ {2}}$

2. Segunda prova. Essa prova se baseia no resultado de Lagrange de que se é um número primo, então deve haver um inteiro m tal que é divisível por p (também podemos ver isso pelo critério de Euler ); também usa o fato de que os inteiros gaussianos são um domínio de fatoração único (porque são um domínio euclidiano). Como p ∈ Z não divide nenhum dos inteiros gaussianos e (como não divide suas partes imaginárias ), mas divide seu produto , segue-se que não pode ser um elemento primo nos inteiros gaussianos. Devemos, portanto, ter uma fatoração não trivial de p nos inteiros gaussianos, que em vista da norma pode ter apenas dois fatores (uma vez que a norma é multiplicativa, e , só pode haver até dois fatores de p), então deve ser do formulário para alguns inteiros e . Isso imediatamente produz isso . ${\ displaystyle p = 4n + 1}$${\ displaystyle m ^ {2} +1}$${\ displaystyle m + i}$${\ displaystyle mi}$${\ displaystyle m ^ {2} +1}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p ^ {2} = N (p)}$${\ displaystyle p = (x + yi) (x-yi)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle p = x ^ {2} + y ^ {2}}$

Prova do Teorema de Minkowski

Para congruente ao mod um primo, é um resíduo quadrático mod pelo critério de Euler . Portanto, existe um número inteiro que divide . Let Ser os elementos de base padrão para o espaço vetorial e definir e . Considere a rede . Se então . Assim se divide para qualquer um . ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle 4}$${\ displaystyle -1}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle m ^ {2} +1}$${\ displaystyle {\ hat {i}}, {\ hat {j}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle {\ vec {u}} = {\ hat {i}} + m {\ hat {j}}}$${\ displaystyle {\ vec {v}} = 0 {\ hat {i}} + p {\ hat {j}}}$ ${\ displaystyle S = \ {a {\ vec {u}} + b {\ vec {v}} \ mid a, b \ in \ mathbb {Z} \}}$${\ displaystyle {\ vec {w}} = a {\ vec {u}} + b {\ vec {v}} = a {\ hat {i}} + (am + bp) {\ hat {j}} \ in S}$${\ displaystyle \ | {\ vec {w}} \ | ^ {2} \ equiv a ^ {2} + (am + bp) ^ {2} \ equiv a ^ {2} (1 + m ^ {2} ) \ equiv 0 {\ pmod {p}}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ | {\ vec {w}} \ | ^ {2}}$${\ displaystyle {\ vec {w}} \ in S}$

A área do paralelogramo fundamental da rede é . A área do disco aberto,, de raio centrado em torno da origem é . Além disso, é convexo e simétrico em relação à origem. Portanto, pelo teorema de Minkowski existe um vetor diferente de zero tal que . Ambos e assim . Portanto, é a soma dos quadrados dos componentes de . ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle {\ sqrt {2p}}}$${\ displaystyle 2 \ pi p> 4p}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle {\ vec {w}} \ in S}$${\ displaystyle {\ vec {w}} \ in D}$${\ displaystyle \ | {\ vec {w}} \ | ^ {2} <2p}$${\ displaystyle p \ mid \ | {\ vec {w}} \ | ^ {2}}$${\ displaystyle p = \ | {\ vec {w}} \ | ^ {2}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle {\ vec {w}}}$

A "prova de uma frase" de Zagier

Sejam primos, denotem os números naturais (com ou sem zero) e consideremos o conjunto finito de triplos de números. Então tem duas involuções : uma óbvia cujos pontos fixos correspondem a representações de como uma soma de dois quadrados, e uma mais complicada, ${\ displaystyle p = 4k + 1}$${\ displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle S = \ {(x, y, z) \ in \ mathbb {N} ^ {3}: x ^ {2} + 4yz = p \}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle (x, y, z) \ mapsto (x, z, y)}$${\ displaystyle (x, y, y)}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle (x, y, z) \ mapsto {\ begin {cases} (x + 2z, ​​~ z, ~ yxz), \ quad {\ textrm {if}} \, \, \, x <yz \\ (2y-x, ~ y, ~ x-y + z), \ quad {\ textrm {if}} \, \, \, yz <x <2y \\ (x-2y, ~ x-y + z, ~ y), \ quad {\ textrm {if}} \, \, \, x> 2y \ end {cases}}}$

que tem exatamente um ponto fixo . Duas involuções sobre o mesmo conjunto finito devem ter conjuntos de pontos fixos com a mesma paridade e, como a segunda involução tem um número ímpar de pontos fixos, a primeira também tem. Zero é par, então a primeira involução tem um número diferente de zero de pontos fixos, qualquer um dos quais dá uma representação de como a soma de dois quadrados. ${\ displaystyle (1,1, k)}$${\ displaystyle p}$

Esta prova, devido a Zagier , é uma simplificação de uma prova anterior de Heath-Brown , que por sua vez foi inspirada por uma prova de Liouville . A técnica da prova é um análogo combinatório do princípio topológico de que as características de Euler de um espaço topológico com uma involução e de seu conjunto de ponto fixo têm a mesma paridade e é uma reminiscência do uso de involuções de reversão de sinal nas provas de bijeções combinatórias.

Esta prova é equivalente a uma prova geométrica ou "visual" usando figuras de "moinho de vento", dada por Alexander Spivak em 2006 e descrita neste post do MathOverflow e neste vídeo do Mathologer no YouTube. Por que essa prova visual foi perdida por 400 anos? (Teorema dos dois quadrados de Fermat) no YouTube .

Prova com teoria de partição

Em 2016, A. David Christopher deu uma prova teórica da partição considerando partições do número primo ímpar com exatamente dois tamanhos , cada um ocorrendo exatamente vezes, e mostrando que pelo menos uma dessas partições existe se for congruente a 1 módulo 4. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle a_ {i} (i = 1,2)}$${\ displaystyle a_ {i}}$${\ displaystyle n}$

Veja também

• Teorema dos três quadrados de Legendre
• Teorema de quatro quadrados de Lagrange
• Constante de Landau-Ramanujan
• Lema de quinta

Referências

Notas

links externos

• Mais duas provas em PlanetMath.org
• "Uma prova do teorema de uma frase" . Arquivado do original em 5 de fevereiro de 2012.Manutenção de CS1: URL impróprio ( link )
• Teorema dos dois quadrados de Fermat , DR Heath-Brown, 1984.