Pseudovetor Pauli – Lubanski - Pauli–Lubanski pseudovector

Teoria quântica de campos
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v t e

Na física , o pseudovetor Pauli – Lubanski é um operador definido a partir do momento e do momento angular , usado na descrição quântica-relativística do momento angular. Tem o nome de Wolfgang Pauli e Józef Lubański ,

Ele descreve os estados de spin de partículas em movimento. É o gerador do pequeno grupo do grupo de Poincaré , que é o subgrupo máximo (com quatro geradores), deixando os autovalores do vetor de quatro momentos P _μ invariante.

Definição

Geralmente é denotado por W (ou menos frequentemente por S ) e definido por:

Onde

• ${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ mu \ nu \ rho \ sigma}}$é o símbolo de Levi-Civita quadridimensional totalmente antissimétrico ;
• ${\ displaystyle J ^ {\ nu \ rho}}$é o operador tensor de momento angular relativístico ( );${\ displaystyle M ^ {\ nu \ rho}}$
• ${\ displaystyle P ^ {\ sigma}}$é o operador de quatro momentos .

Na linguagem da álgebra exterior , pode ser escrito como o dual de Hodge de um trivector ,

${\ displaystyle \ mathbf {W} = \ star (\ mathbf {J} \ wedge \ mathbf {p}).}$

Nota , e${\ displaystyle W_ {0} = {\ vec {J}} \ cdot {\ vec {P}}}$${\ displaystyle {\ vec {W}} = E {\ vec {J}} - {\ vec {P}} \ times {\ vec {K}}.}$

W _μ evidentemente satisfaz

${\ displaystyle P ^ {\ mu} W _ {\ mu} = 0,}$

bem como as seguintes relações do comutador ,

${\ displaystyle \ left [P ^ {\ mu}, W ^ {\ nu} \ right] = 0,}$

${\ displaystyle \ left [J ^ {\ mu \ nu}, W ^ {\ rho} \ right] = i \ left (g ^ {\ rho \ nu} W ^ {\ mu} -g ^ {\ rho \ mu} W ^ {\ nu} \ right),}$

Consequentemente,

${\ displaystyle \ left [W _ {\ mu}, W _ {\ nu} \ right] = - i \ epsilon _ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} W ^ {\ rho} P ^ {\ sigma}.}$

O escalar W _μ W ^μ é um operador invariante de Lorentz e comuta com os quatro momentos, podendo assim servir como um rótulo para representações unitárias irredutíveis do grupo de Poincaré . Ou seja, pode servir como rótulo para o spin , uma característica da estrutura do espaço-tempo da representação, além do rótulo invariante relativisticamente P _μ P ^μ para a massa de todos os estados em uma representação.

Pequeno grupo

Em um autoespaço do operador de 4 momentos com autovalor de 4 momentos do espaço de Hilbert de um sistema quântico (ou, nesse caso, a representação padrão com ℝ ⁴ interpretada como espaço de momento atuado por matrizes 5 × 5 com o canto superior esquerdo 4 × 4 bloqueiam uma transformação de Lorentz comum, a última coluna reservada para translações e a ação efetuada em elementos (vetores de coluna) do espaço de momento com 1 anexado como uma quinta linha, ver textos padrão) o seguinte é válido: ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle p}$

• Os componentes de com substituídos por formam uma álgebra de Lie. É a álgebra de Lie do pequeno grupo de , ou seja, o subgrupo do grupo de Lorentz homogêneo que sai invariante.${\ displaystyle W}$${\ displaystyle P ^ {\ mu}}$${\ displaystyle k ^ {\ mu}}$${\ displaystyle L_ {k}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$
• Para cada representação unitária irredutível de, há uma representação unitária irredutível de todo o grupo de Poincaré, chamada de representação induzida .${\ displaystyle L_ {k}}$
• Um espaço de representação da representação induzida pode ser obtido pela aplicação sucessiva de elementos do grupo Poincaré completo a um elemento diferente de zero e estendendo-se por linearidade.${\ displaystyle S}$

As representações unitárias irredutíveis do grupo de Poincaré são caracterizadas pelos autovalores dos dois operadores de Casimir e . A melhor maneira de ver que uma representação unitária irredutível realmente é obtida é exibir sua ação sobre um elemento com autovalor arbitrário de 4 momentos no espaço de representação assim obtido. A irredutibilidade decorre da construção do espaço de representação. ${\ displaystyle P ^ {2}}$${\ displaystyle W ^ {2}}$${\ displaystyle p}$

Campos massivos

Na teoria quântica de campos , no caso de um campo massivo, o invariante de Casimir W _μ W ^μ descreve o spin total da partícula, com autovalores.

${\ displaystyle W ^ {2} = W _ {\ mu} W ^ {\ mu} = - m ^ {2} s (s + 1),}$

onde s é o número quântico de spin da partícula e m é a sua massa em repouso .

É simples ver isso no quadro de repouso da partícula, o comutador acima agindo no estado da partícula equivale a [ W _j , W _k ] = i ε _jkl W _l m ; portanto, W → = mJ → e W ⁰ = 0 , de modo que o pequeno grupo equivale ao grupo de rotação,

${\ displaystyle W _ {\ mu} W ^ {\ mu} = - m ^ {2} {\ vec {J}} \ cdot {\ vec {J}}.}$

Como esta é uma quantidade invariante de Lorentz , ela será a mesma em todos os outros referenciais .

Também é comum usar W ³ para descrever a projeção do spin ao longo da terceira direção no quadro de repouso.

Em quadros móveis, decompondo W = ( W ₀ , W → ) em componentes ( W ₁ , W ₂ , W ₃ ) , com W ₁ e W ₂ ortogonais a P → , e W ₃ paralelo a P → , o Pauli – Lubanski vetor pode ser expresso em termos do vetor de spin S → = ( S ₁ , S ₂ , S ₃ ) (decomposto de forma semelhante) como

${\ displaystyle W_ {0} = PS_ {3}, \ qquad W_ {1} = mS_ {1}, \ qquad W_ {2} = mS_ {2}, \ qquad W_ {3} = {\ frac {E} {c ^ {2}}} S_ {3},}$

Onde

${\ displaystyle E ^ {2} = P ^ {2} c ^ {2} + m ^ {2} c ^ {4}}$

é a relação energia-momento .

Os componentes transversais W ₁ , W ₂ , juntamente com S ₃ , satisfazem as seguintes relações de comutador (que se aplicam geralmente, não apenas a representações de massa diferentes de zero),

${\ displaystyle [W_ {1}, W_ {2}] = {\ frac {ih} {2 \ pi}} \ left (\ left ({\ frac {E} {c ^ {2}}} \ right) ^ {2} - \ left ({\ frac {P} {c}} \ right) ^ {2} \ right) S_ {3}, \ qquad [W_ {2}, S_ {3}] = {\ frac {ih} {2 \ pi}} W_ {1}, \ qquad [S_ {3}, W_ {1}] = {\ frac {ih} {2 \ pi}} W_ {2}.}$

Para partículas com massa diferente de zero e os campos associados a tais partículas,

${\ displaystyle [W_ {1}, W_ {2}] = {\ frac {ih} {2 \ pi}} m ^ {2} S_ {3}.}$

Campos sem massa

Em geral, no caso de representações não massivas, dois casos podem ser distinguidos. Para partículas sem massa,

${\ displaystyle W ^ {2} = W _ {\ mu} W ^ {\ mu} = - E ^ {2} \ left ((K_ {2} -J_ {1}) ^ {2} + (K_ {1 } + J_ {2}) ^ {2} \ right) \; {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \; - E ^ {2} (A ^ {2} + B ^ {2} ),}$

onde K → é o vetor de momento de massa dinâmico . Então, matematicamente, P ² = 0 não implica W ² = 0.

Representações de spin contínuo

No caso mais geral, os componentes de W → transversal a P → podem ser diferentes de zero, gerando assim a família de representações referida como luxões cilíndricos ("luxon" é outro termo para "partícula sem massa"), sua propriedade de identificação sendo que os componentes de W → formam uma subálgebra de Lie isomórfica ao grupo euclidiano bidimensional ISO (2) , com a componente longitudinal de W → desempenhando o papel de gerador de rotação e os componentes transversais de geradores de translação. Isso equivale a uma contração de grupo de SO (3) , e leva ao que é conhecido como representações de spin contínuo . No entanto, não há casos físicos conhecidos de partículas ou campos fundamentais nesta família. Pode-se provar que os estados de spin contínuos não são físicos.

Representações de helicidade

Em um caso especial, é paralelo a ou de forma equivalente Para diferente de zero, esta restrição só pode ser imposta de forma consistente para luxons ( partículas sem massa ), uma vez que o comutador dos dois componentes transversais de é proporcional a Para esta família, e o invariante é, em vez dado por ${\ displaystyle ~ {\ vec {W}} ~}$${\ displaystyle ~ {\ vec {P}} ~;}$${\ displaystyle ~ {\ vec {W}} \ times {\ vec {P}} = {\ vec {\ boldsymbol {0}}} ~.}$${\ displaystyle ~ {\ vec {W}} ~}$${\ displaystyle ~ {\ vec {W}} ~}$${\ displaystyle ~ m ^ {2} {\ vec {J}} \ cdot {\ vec {P}} \; ~.}$${\ displaystyle ~ W ^ {2} = 0 ~}$${\ displaystyle ~ W ^ {\ mu} = \ lambda \, P ^ {\ mu} ~}$

${\ displaystyle (W ^ {0}) ^ {2} = (W ^ {3}) ^ {2} ~,}$

Onde

${\ displaystyle ~ W ^ {0} = - {\ vec {J}} \ cdot {\ vec {P}} ~,}$

então o invariante é representado pelo operador helicidade

${\ displaystyle ~ W ^ {0} / P ~.}$

Todas as partículas que interagem com a Força Nuclear Fraca , por exemplo, se enquadram nessa família, uma vez que a definição de carga nuclear fraca ( isospin fraca ) envolve helicidade, que, por cima, deve ser uma invariante. O aparecimento de massa diferente de zero em tais casos deve então ser explicado por outros meios, como o mecanismo de Higgs . Mesmo depois de levar em consideração tais mecanismos de geração de massa, no entanto, o fóton (e, portanto, o campo eletromagnético) continua a cair nesta classe, embora os outros estados próprios de massa dos portadores da força eletrofraca (o
C^±
bóson e anti- bóson e
Z⁰
bóson ) adquirem massa diferente de zero.

Antigamente, os neutrinos também se enquadravam nessa classe. No entanto, como foi observado que os neutrinos oscilam no sabor , sabe-se agora que pelo menos dois dos três autoestados de massa dos neutrinos de helicidade à esquerda e anti-neutrinos de helicidade à direita devem ter massa diferente de zero.

Veja também

• Centro de massa (relativístico)
• Classificação de Wigner
• Operador de momento angular
• Operadora casimir
• Quiralidade
• Pseudovetor
• Pseudotensor
• Representação induzida

Notas

Referências

• Bogolyubov, NN (1989). General Principles of Quantum Field Theory (2ª ed.). Springer Verlag . ISBN 0-7923-0540-X.
• Brown, LS (1994). Teoria Quântica de Campos . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-46946-3.
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• Ohlsson, T. (2011). Física Quântica relativística: da mecânica quântica avançada à teoria quântica introdutória de campos . Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-50432-4.
• Penrose, R. (2005). A estrada para a realidade . Livros antigos. ISBN 978-0-09-944068-0.
• Rossmann, Wulf (2002), Lie Groups - An Introduction Through Linear Groups , Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9
• Ryder, LH (1996). Quantum Field Theory (2ª ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-47814-6.
• Tung, Wu-Ki (1985). Teoria de Grupo em Física (1ª ed.). Nova Jersey · Londres · Cingapura · Hong Kong: World Scientific . ISBN 978-9971966577.
• Weinberg, S. (2002) [1995], Foundations , The Quantum Theory of Fields, 1 , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-55001-7
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