Posição e espaço de impulso - Position and momentum space
Em física e geometria , existem dois espaços vetoriais intimamente relacionados , geralmente tridimensionais, mas em geral podem ser qualquer número finito de dimensões.
Posição espaço (também espaço real ou coordenar espaço ) é o conjunto de todos os vectores de posição r no espaço, e tem dimensões de comprimento . Um vetor de posição define um ponto no espaço. Se o vetor posição de uma partícula pontual varia com o tempo, ele traçará um caminho, a trajetória de uma partícula. O espaço de momento é o conjunto de todos os vetores de momento p que um sistema físico pode ter. O vetor momentum de uma partícula corresponde ao seu movimento, com unidades de [massa] [comprimento] [tempo] -1 .
Matematicamente, a dualidade entre posição e momento é um exemplo da dualidade de Pontryagin . Em particular, se uma função é dada no espaço de posição, f ( r ), então sua transformada de Fourier obtém a função no espaço de momento, φ ( p ). Por outro lado, a transformada de Fourier inversa de uma função de espaço de momento é uma função de espaço de posição.
Essas quantidades e ideias transcendem toda a física clássica e quântica, e um sistema físico pode ser descrito usando as posições das partículas constituintes ou seus momentos; ambas as formulações fornecem equivalentemente as mesmas informações sobre o sistema em consideração. Outra quantidade é útil para definir no contexto das ondas . O vetor de onda k (ou simplesmente " k- vetor") tem dimensões de comprimento recíproco , tornando-o um análogo da frequência angular ω que tem dimensões de tempo recíproco . O conjunto de todos os vetores de onda é o espaço k . Normalmente r é mais intuitivo e simples do que k , embora o inverso também possa ser verdadeiro, como na física do estado sólido .
A mecânica quântica fornece dois exemplos fundamentais da dualidade entre posição e momento, o princípio da incerteza de Heisenberg Δ x Δ p ≥ ħ / 2 afirmando que a posição e o momento não podem ser simultaneamente conhecidos com precisão arbitrária, e a relação de Broglie p = ħ k que afirma o momento e o vetor de onda de uma partícula livre são proporcionais um ao outro. Neste contexto, quando não é ambíguo, os termos " momentum " e "wavevector" são usados indistintamente. No entanto, a relação de de Broglie não é verdadeira em um cristal.
Espaços de posição e momento na mecânica clássica
Mecânica lagrangiana
Mais frequentemente na mecânica Lagrangiana , o Lagrangiano L ( q , d q / dt , t ) está no espaço de configuração , onde q = ( q 1 , q 2 , ..., q n ) é uma n - tupla das coordenadas generalizadas . As equações de movimento de Euler-Lagrange são
(Um overdot indica uma derivada de tempo ). Apresentando a definição de momento canônico para cada coordenada generalizada
as equações de Euler-Lagrange assumem a forma
A Lagrangiana também pode ser expressa no espaço de momento , L ′ ( p , d p / dt , t ), onde p = ( p 1 , p 2 , ..., p n ) é um n -tuplo dos momentos generalizados. Uma transformação de Legendre é realizada para alterar as variáveis na diferencial total do espaço de coordenadas generalizadas Lagrangiana;
em que a definição de equações de movimento e de Euler-Lagrange generalizadas substituíram as derivadas parciais de L . A regra de produto para diferenciais permite a troca de diferenciais nas coordenadas generalizadas e velocidades para as diferenciais em momentos generalizados e suas derivadas de tempo,
que após a substituição simplifica e reorganiza para
Agora, o diferencial total do espaço de momento Lagrangiano L ′ é
então, por comparação das diferenciais das Lagrangianas, os momentos, e suas derivadas de tempo, o espaço de momento Lagrangiano L ′ e as coordenadas generalizadas derivadas de L ′ são respectivamente
Combinar as duas últimas equações dá ao espaço de momento as equações de Euler-Lagrange
A vantagem da transformação de Legendre é que a relação entre as funções novas e antigas e suas variáveis são obtidas no processo. As formas de coordenada e momento da equação são equivalentes e contêm as mesmas informações sobre a dinâmica do sistema. Esta forma pode ser mais útil quando o momento ou momento angular entra no Lagrangiano.
Mecânica hamiltoniana
Na mecânica hamiltoniana , ao contrário da mecânica lagrangiana, que usa todas as coordenadas ou os momentos, as equações hamiltonianas de movimento colocam as coordenadas e os momentos em pé de igualdade. Para um sistema com Hamiltoniano H ( q , p , t ), as equações são
Espaços de posição e momento na mecânica quântica
Na mecânica quântica , uma partícula é descrita por um estado quântico . Este estado quântico pode ser representada como uma sobreposição (isto é, uma combinação linear como uma soma ponderada ) de base estados. Em princípio, a pessoa é livre para escolher o conjunto de estados básicos, contanto que eles abranjam o espaço. Se alguém escolhe as autofunções do operador de posição como um conjunto de funções de base, fala-se de um estado como uma função de onda ψ ( r ) no espaço de posição (nossa noção comum de espaço em termos de comprimento ). A conhecida equação de Schrödinger em termos da posição r é um exemplo da mecânica quântica na representação da posição.
Ao escolher as autofunções de um operador diferente como um conjunto de funções básicas, pode-se chegar a várias representações diferentes do mesmo estado. Se alguém escolhe as autofunções do operador de momento como um conjunto de funções de base, a função de onda resultante é considerada a função de onda no espaço de momento.
Uma característica da mecânica quântica é que os espaços de fase podem vir em diferentes tipos: variável discreta, rotor e variável contínua. A tabela abaixo resume algumas relações envolvidas nos três tipos de espaços de fase.
Relação entre espaço e espaço recíproco
A representação do momento de uma função de onda está intimamente relacionada à transformada de Fourier e ao conceito de domínio da frequência . Uma vez que uma partícula de mecânica quântica tem uma frequência proporcional ao momento (equação de de Broglie dada acima), descrever a partícula como uma soma de seus componentes de momento é equivalente a descrevê-la como uma soma de componentes de frequência (ou seja, uma transformada de Fourier). Isso fica claro quando nos perguntamos como podemos passar de uma representação para outra.
Funções e operadores no espaço de posição
Suponha que temos uma função de onda tridimensional no espaço de posição ψ ( r ) , então podemos escrever esta função como uma soma ponderada de funções de base ortogonal ψ j ( r ) :
ou, no caso contínuo, como uma integral
É claro que se especificarmos o conjunto de funções , digamos como o conjunto de autofunções do operador momentum, a função contém todas as informações necessárias para reconstruir ψ ( r ) e é, portanto, uma descrição alternativa para o estado .
Na mecânica quântica, o operador momentum é dado por
(veja cálculo de matriz para a notação do denominador) com domínio apropriado . As funções próprias são
e autovalores ħ k . Então
e vemos que a representação do momento está relacionada à representação da posição por uma transformada de Fourier.
Funções e operadores no espaço momentum
Por outro lado, uma função de onda tridimensional no espaço de momento pode ser expressa como uma soma ponderada de funções de base ortogonal ,
ou como um integral,
O operador de posição é dado por
com autofunções
e autovalores r . Assim, uma decomposição semelhante de pode ser feita em termos das autofunções desse operador, que acaba sendo a transformada inversa de Fourier,
Equivalência unitária entre posição e operador de momento
Os operadores r e p são unitariamente equivalentes , com o operador unitário sendo dado explicitamente pela transformada de Fourier, ou seja, uma rotação de um quarto de ciclo no espaço de fase, gerada pelo oscilador hamiltoniano. Portanto, eles têm o mesmo espectro . Na linguagem física, p agindo nas funções de onda espacial de momento é o mesmo que r agindo nas funções de onda espacial de posição (sob a imagem da transformada de Fourier).
Espaço recíproco e cristais
Para um elétron (ou outra partícula ) em um cristal, seu valor de k se relaciona quase sempre com o momento do cristal , não com o seu momento normal. Portanto, k e p não são simplesmente proporcionais, mas desempenham papéis diferentes. Veja a teoria de perturbação k · p para um exemplo. O momento do cristal é como um envelope de onda que descreve como a onda varia de uma célula unitária para outra, mas não fornece nenhuma informação sobre como a onda varia dentro de cada célula unitária.
Quando k se relaciona com o momento do cristal em vez do verdadeiro momento, o conceito de espaço- k ainda é significativo e extremamente útil, mas difere de várias maneiras do espaço - k não cristalino discutido acima. Por exemplo, no espaço k de um cristal , há um conjunto infinito de pontos chamados de rede recíproca que são "equivalentes" a k = 0 (isso é análogo ao aliasing ). Da mesma forma, a " primeira zona de Brillouin " é um volume finito de espaço- k , de modo que todo k possível é "equivalente" a exatamente um ponto nesta região.
Para obter mais detalhes, consulte a rede recíproca .