Expansão multipolar - Multipole expansion

Uma expansão multipolar é uma série matemática que representa uma função que depende ângulos -normalmente os dois ângulos utilizados no sistema de coordenadas esféricas (os polares e azimutais ângulos) para tridimensional espaço euclidiano , . De maneira semelhante à série de Taylor , as expansões multipolares são úteis porque, muitas vezes, apenas os primeiros termos são necessários para fornecer uma boa aproximação da função original. A função que está sendo expandida pode ser real - ou complexa - avaliada e é definida em ou, com menos frequência, em algum outro .${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle n}$

As expansões multipolares são usadas freqüentemente no estudo de campos eletromagnéticos e gravitacionais , onde os campos em pontos distantes são dados em termos de fontes em uma pequena região. A expansão multipolar com ângulos é freqüentemente combinada com uma expansão no raio . Essa combinação fornece uma expansão que descreve uma função em todo o espaço tridimensional.

A expansão multipolar é expressa como uma soma de termos com características angulares ( momentos ) progressivamente mais finas . O primeiro (a ordem zero) termo é chamado de momento monopolo , o segundo (a primeira ordem) termo é chamado de momento dipolo , o terceiro (a segunda ordem) o momento quadrupolo , o quarto termo (terceira ordem) é chamado de momento de octupolo e assim por diante. Dada a limitação dos prefixos numéricos gregos , os termos de ordem superior são convencionalmente nomeados adicionando "-pole" ao número de pólos - por exemplo, 32-pólos (raramente dotriacontapole ou triacontadipole) e 64-pólos (raramente tetrahexacontapole ou hexacontatetrapole). Um momento multipolar geralmente envolve potências (ou potências inversas) da distância até a origem, bem como alguma dependência angular.

Em princípio, uma expansão multipolar fornece uma descrição exata do potencial e geralmente converge sob duas condições: (1) se as fontes (por exemplo, cargas) estão localizadas perto da origem e o ponto em que o potencial é observado está longe do origem; ou (2) o inverso, ou seja, se as fontes estão localizadas longe da origem e o potencial é observado próximo à origem. No primeiro caso (mais comum), os coeficientes de expansão em série são chamados de momentos multipolares externos ou simplesmente momentos multipolares enquanto, no segundo caso, são chamados de momentos multipolares internos .

Expansão em harmônicos esféricos

Mais comumente, a série é escrita como uma soma de harmônicos esféricos . Assim, podemos escrever uma função como a soma ${\ displaystyle f (\ theta, \ varphi)}$

${\ displaystyle f (\ theta, \ varphi) = \ sum _ {\ ell = 0} ^ {\ infty} \, \ sum _ {m = - \ ell} ^ {\ ell} \, C _ {\ ell} ^ {m} \, Y _ {\ ell} ^ {m} (\ theta, \ varphi)}$

onde estão os harmônicos esféricos padrão e são coeficientes constantes que dependem da função. O termo representa o monopolo; representam o dipolo; e assim por diante. Equivalentemente, a série também é frequentemente escrita como ${\ displaystyle Y _ {\ ell} ^ {m} (\ theta, \ varphi)}$${\ displaystyle C _ {\ ell} ^ {m}}$${\ displaystyle C_ {0} ^ {0}}$${\ displaystyle C_ {1} ^ {- 1}, C_ {1} ^ {0}, C_ {1} ^ {1}}$

${\ displaystyle f (\ theta, \ varphi) = C + C_ {i} n ^ {i} + C_ {ij} n ^ {i} n ^ {j} + C_ {ijk} n ^ {i} n ^ {j} n ^ {k} + C_ {ijk \ ell} n ^ {i} n ^ {j} n ^ {k} n ^ {\ ell} + \ pontos}$

onde o representa os componentes de um vetor unitário na direção dada pelos ângulos e , e os índices são implicitamente somados . Aqui, o termo é monopolo; é um conjunto de três números que representam o dipolo; e assim por diante. ${\ displaystyle n ^ {i}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle C_ {i}}$

Nas expansões acima, os coeficientes podem ser reais ou complexos . Se a função que está sendo expressa como uma expansão multipolar for real, entretanto, os coeficientes devem satisfazer certas propriedades. Na expansão harmônica esférica, devemos ter

${\ displaystyle C _ {\ ell} ^ {- m} = (- 1) ^ {m} C _ {\ ell} ^ {m \ ast} \,}$

Na expansão multivetorial, cada coeficiente deve ser real:

${\ displaystyle C = C ^ {\ ast}; \ C_ {i} = C_ {i} ^ {\ ast}; \ C_ {ij} = C_ {ij} ^ {\ ast}; \ C_ {ijk} = C_ {ijk} ^ {\ ast}; \ \ ldots}$

Embora as expansões de funções escalares sejam de longe a aplicação mais comum das expansões multipolares, elas também podem ser generalizadas para descrever tensores de classificação arbitrária. Isso é usado em expansões multipolares do potencial vetorial no eletromagnetismo, ou na perturbação métrica na descrição das ondas gravitacionais .

Para descrever funções de três dimensões, longe da origem das coordenadas, os coeficientes da expansão multipolar podem ser escritos como funções da distância até a origem, - mais frequentemente, como uma série de Laurent em potências de . Por exemplo, para descrever o potencial eletromagnético , de uma fonte em uma pequena região perto da origem, os coeficientes podem ser escritos como: ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle V (r, \ theta, \ varphi) = \ sum _ {\ ell = 0} ^ {\ infty} \, \ sum _ {m = -l} ^ {\ ell} C _ {\ ell} ^ {m} (r) \, Y _ {\ ell} ^ {m} (\ theta, \ varphi) = \ sum _ {j = 1} ^ {\ infty} \, \ sum _ {\ ell = 0} ^ {\ infty} \, \ sum _ {m = -l} ^ {\ ell} {\ frac {D _ {\ ell, j} ^ {m}} {r ^ {j}}} \, Y _ {\ ell } ^ {m} (\ theta, \ varphi).}$

Formulários

As expansões multipolares são amplamente utilizadas em problemas que envolvem campos gravitacionais de sistemas de massas , campos elétricos e magnéticos de carga e distribuição de correntes, e a propagação de ondas eletromagnéticas . Um exemplo clássico é o cálculo dos momentos multipolares externos dos núcleos atômicos a partir de suas energias de interação com os multipolares internos dos orbitais eletrônicos. Os momentos multipolares dos núcleos relatam a distribuição de cargas dentro do núcleo e, portanto, a forma do núcleo. O truncamento da expansão multipolar para seu primeiro termo diferente de zero é freqüentemente útil para cálculos teóricos.

As expansões multipolares também são úteis em simulações numéricas e formam a base do método multipolar rápido de Greengard e Rokhlin , uma técnica geral para cálculo eficiente de energias e forças em sistemas de partículas em interação . A ideia básica é decompor as partículas em grupos; as partículas dentro de um grupo interagem normalmente (ou seja, pelo potencial total), enquanto as energias e forças entre os grupos de partículas são calculadas a partir de seus momentos multipolares. A eficiência do método multipolar rápido é geralmente semelhante ao da soma de Ewald , mas é superior se as partículas estiverem agrupadas, ou seja, o sistema tem grandes flutuações de densidade.

Expansão multipolar de um potencial fora de uma distribuição de carga eletrostática

Considere uma distribuição de carga discreta consistindo em N cargas pontuais q _i com vetores de posição r _i . Assumimos que as cargas estão agrupadas em torno da origem, de modo que para todo i : r _i < r _max , onde r _max tem algum valor finito. O potencial V ( R ), devido à distribuição de carga, em um ponto R fora da distribuição de carga, ou seja, | R | > R _máximo , pode ser expandida em potências de 1 / R . Duas maneiras de fazer essa expansão podem ser encontradas na literatura: a primeira é uma série de Taylor nas coordenadas cartesianas x , y e z , enquanto a segunda é em termos de harmônicos esféricos que dependem de coordenadas polares esféricas . A abordagem cartesiana tem a vantagem de que nenhum conhecimento prévio das funções de Legendre, harmônicos esféricos, etc., é necessário. Sua desvantagem é que as derivações são bastante complicadas (na verdade, grande parte delas é a rederivação implícita da expansão de Legendre de 1 / | r - R | , que foi feita de uma vez por todas por Legendre na década de 1780). Também é difícil fornecer uma expressão fechada para um termo geral da expansão multipolar - normalmente, apenas os primeiros termos são fornecidos seguidos por reticências.

Expansão em coordenadas cartesianas

Vamos satisfazer . Então, a expansão de Taylor de v ( r - R ) em torno da origem r = 0 pode ser escrita ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle v (x) = v (-x)}$

${\ displaystyle v (\ mathbf {r} - \ mathbf {R}) = v (\ mathbf {R}) - \ sum _ {\ alpha = x, y, z} r _ {\ alpha} v _ {\ alpha} (\ mathbf {R}) + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {\ alpha = x, y, z} \ sum _ {\ beta = x, y, z} r _ {\ alpha} r_ {\ beta} v _ {\ alpha \ beta} (\ mathbf {R}) - \ ldots + \ dots}$

com

${\ displaystyle v _ {\ alpha} (\ mathbf {R}) \ equiv \ left ({\ frac {\ partial v (\ mathbf {r} - \ mathbf {R})} {\ partial r _ {\ alpha}} } \ right) _ {\ mathbf {r} = \ mathbf {0}} \ quad {\ hbox {and}} \ quad v _ {\ alpha \ beta} (\ mathbf {R}) \ equiv \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} v (\ mathbf {r} - \ mathbf {R})} {\ partial r _ {\ alpha} \ partial r _ {\ beta}}} \ right) _ {\ mathbf {r} = \ mathbf {0}}.}$

Se v ( r - R ) satisfaz a equação de Laplace

${\ displaystyle \ left (\ nabla ^ {2} v (\ mathbf {r} - \ mathbf {R}) \ right) _ {\ mathbf {r} = \ mathbf {0}} = \ sum _ {\ alpha = x, y, z} v _ {\ alpha \ alpha} (\ mathbf {R}) = 0}$

em seguida, a expansão pode ser reescrita em termos dos componentes de um traceless cartesiano segundo posto tensor :

${\ displaystyle \ sum _ {\ alpha = x, y, z} \ sum _ {\ beta = x, y, z} r _ {\ alpha} r _ {\ beta} v _ {\ alpha \ beta} (\ mathbf { R}) = {\ frac {1} {3}} \ sum _ {\ alpha = x, y, z} \ sum _ {\ beta = x, y, z} (3r _ {\ alpha} r _ {\ beta } - \ delta _ {\ alpha \ beta} r ^ {2}) v _ {\ alpha \ beta} (\ mathbf {R}),}$

onde δ _αβ é o delta de Kronecker e r ² ≡ | r | ² . A remoção do traço é comum, porque tira o invariante rotacional r ² do tensor de segunda ordem.

Exemplo

Considere agora a seguinte forma de v ( r - R ) :

${\ displaystyle v (\ mathbf {r} - \ mathbf {R}) \ equiv {\ frac {1} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {R} |}}.}$

Então, por diferenciação direta , segue-se que

${\ displaystyle v (\ mathbf {R}) = {\ frac {1} {R}}, \ quad v _ {\ alpha} (\ mathbf {R}) = - {\ frac {R _ {\ alpha}} { R ^ {3}}}, \ quad {\ hbox {e}} \ quad v _ {\ alpha \ beta} (\ mathbf {R}) = {\ frac {3R _ {\ alpha} R _ {\ beta} - \ delta _ {\ alpha \ beta} R ^ {2}} {R ^ {5}}}.}$

Defina um monopolo, dipolo e quadrupolo (sem traços) por, respectivamente,

${\ displaystyle q _ {\ mathrm {tot}} \ equiv \ sum _ {i = 1} ^ {N} q_ {i}, \ quad P _ {\ alpha} \ equiv \ sum _ {i = 1} ^ {N } q_ {i} r_ {i \ alpha}, \ quad {\ hbox {e}} \ quad Q _ {\ alpha \ beta} \ equiv \ sum _ {i = 1} ^ {N} q_ {i} (3r_ {i \ alpha} r_ {i \ beta} - \ delta _ {\ alpha \ beta} r_ {i} ^ {2}),}$

e obtemos finalmente os primeiros termos da expansão multipolar do potencial total, que é a soma dos potenciais de Coulomb das cargas separadas:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} 4 \ pi \ varepsilon _ {0} V (\ mathbf {R}) & \ equiv \ sum _ {i = 1} ^ {N} q_ {i} v (\ mathbf { r} _ {i} - \ mathbf {R}) \\ & = {\ frac {q _ {\ mathrm {tot}}} {R}} + {\ frac {1} {R ^ {3}}} \ soma _ {\ alpha = x, y, z} P _ {\ alpha} R _ {\ alpha} + {\ frac {1} {2R ^ {5}}} \ sum _ {\ alpha, \ beta = x, y , z} Q _ {\ alpha \ beta} R _ {\ alpha} R _ {\ beta} + \ dots \ end {alinhado}}}$

Esta expansão do potencial de uma distribuição de carga discreta é muito semelhante àquela em harmônicos sólidos reais dada abaixo. A principal diferença é que o presente é em termos de quantidades linearmente dependentes, para

${\ displaystyle \ sum _ {\ alpha} v _ {\ alpha \ alpha} = 0 \ quad {\ hbox {e}} \ quad \ sum _ {\ alpha} Q _ {\ alpha \ alpha} = 0.}$

NOTA: Se a distribuição de carga consiste em duas cargas de sinal oposto que estão a uma distância infinitesimal d separadas, de modo que d / R ≫ ( d / R ) ² , é facilmente mostrado que o único termo que não desaparece na expansão é

${\ displaystyle V (\ mathbf {R}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varejpsilon _ {0} R ^ {3}}} (\ mathbf {P} \ cdot \ mathbf {R}), }$

o campo de potencial dipolar elétrico .

Forma esférica

O potencial V ( R ) em um ponto R fora da distribuição de carga, ou seja | R | > r _max , pode ser expandido pela expansão Laplace :

${\ displaystyle V (\ mathbf {R}) \ equiv \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ frac {q_ {i}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} | \ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {R} |}} = {\ frac {1} {4 \ pi \ varejpsilon _ {0}}} \ sum _ {\ ell = 0} ^ {\ infty} \ sum _ { m = - \ ell} ^ {\ ell} (- 1) ^ {m} I _ {\ ell} ^ {- m} (\ mathbf {R}) \ sum _ {i = 1} ^ {N} q_ { i} R _ {\ ell} ^ {m} (\ mathbf {r} _ {i}),}$

onde é um harmônico sólido irregular (definido abaixo como uma função harmônica esférica dividida por ) e é um harmônico sólido regular (um harmônico esférico vezes r ^ℓ ). Definimos o momento multipolar esférico da distribuição de carga da seguinte forma ${\ displaystyle I _ {\ ell} ^ {- m} (\ mathbf {R})}$${\ displaystyle R ^ {\ ell +1}}$${\ displaystyle R _ {\ ell} ^ {m} (\ mathbf {r})}$

${\ displaystyle Q _ {\ ell} ^ {m} \ equiv \ sum _ {i = 1} ^ {N} q_ {i} R _ {\ ell} ^ {m} (\ mathbf {r} _ {i}) , \ quad \ - \ ell \ leq m \ leq \ ell.}$

Observe que um momento multipolo é determinado exclusivamente pela distribuição de carga (as posições e magnitudes das N cargas).

Um harmônico esférico depende do vetor unitário . (Um vetor unitário é determinado por dois ângulos polares esféricos.) Assim, por definição, os harmônicos sólidos irregulares podem ser escritos como ${\ displaystyle {\ hat {R}}}$

${\ displaystyle I _ {\ ell} ^ {m} (\ mathbf {R}) \ equiv {\ sqrt {\ frac {4 \ pi} {2 \ ell +1}}} {\ frac {Y _ {\ ell} ^ {m} ({\ hat {R}})} {R ^ {\ ell +1}}}}$

de modo que a expansão multipolar do campo V ( R ) no ponto R fora da distribuição de carga é dada por

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} V (\ mathbf {R}) & = {\ frac {1} {4 \ pi \ varejpsilon _ {0}}} \ sum _ {\ ell = 0} ^ {\ infty } \ sum _ {m = - \ ell} ^ {\ ell} (- 1) ^ {m} I _ {\ ell} ^ {- m} (\ mathbf {R}) Q _ {\ ell} ^ {m} \\ & = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ sum _ {\ ell = 0} ^ {\ infty} \ left [{\ frac {4 \ pi} {2 \ ell +1}} \ right] ^ {1/2} \; {\ frac {1} {R ^ {\ ell +1}}} \; \ sum _ {m = - \ ell} ^ {\ ell} (-1) ^ {m} Y _ {\ ell} ^ {- m} ({\ hat {R}}) Q _ {\ ell} ^ {m}, \ qquad R> r _ {\ mathrm {max}}. \ end {alinhado}}}$

Essa expansão é completamente geral, pois dá uma forma fechada para todos os termos, não apenas para os primeiros. Mostra que os momentos multipolares esféricos aparecem como coeficientes na expansão 1 / R do potencial.

É interessante considerar os primeiros termos em forma real, que são os únicos termos comumente encontrados em livros didáticos de graduação. Uma vez que o summand da m somatório é invariante sob uma transformação unitária de ambos os factores simultaneamente e uma vez que a transformação de harmónicas esféricas complexa para a forma real é por uma transformação unitária , que pode simplesmente substituir reais harmónicas irregulares e sólidos reais momentos multipolares. O  termo ℓ = 0 torna-se

${\ displaystyle V _ {\ ell = 0} (\ mathbf {R}) = {\ frac {q _ {\ mathrm {tot}}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} R}} \ quad {\ hbox { com}} \ quad q _ {\ mathrm {tot}} \ equiv \ sum _ {i = 1} ^ {N} q_ {i}.}$

Esta é de fato a lei de Coulomb novamente. Para o  termo ℓ = 1, introduzimos

${\ displaystyle \ mathbf {R} = (R_ {x}, R_ {y}, R_ {z}), \ quad \ mathbf {P} = (P_ {x}, P_ {y}, P_ {z}) \ quad {\ hbox {com}} \ quad P _ {\ alpha} \ equiv \ sum _ {i = 1} ^ {N} q_ {i} r_ {i \ alpha}, \ quad \ alpha = x, y, z.}$

Então

${\ displaystyle V _ {\ ell = 1} (\ mathbf {R}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} R ^ {3}}} (R_ {x} P_ {x} + R_ {y} P_ {y} + R_ {z} P_ {z}) = {\ frac {\ mathbf {R} \ cdot \ mathbf {P}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} R ^ { 3}}} = {\ frac {{\ hat {R}} \ cdot \ mathbf {P}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} R ^ {2}}}.}$

Este termo é idêntico ao encontrado na forma cartesiana.

Para escrever o  termo ℓ = 2, temos que introduzir notações abreviadas para as cinco componentes reais do momento quadrupolo e os harmônicos esféricos reais. Notações do tipo

${\ displaystyle Q_ {z ^ {2}} \ equiv \ sum _ {i = 1} ^ {N} q_ {i} \; {\ frac {1} {2}} (3z_ {i} ^ {2} -r_ {i} ^ {2}),}$

pode ser encontrada na literatura. Claramente, a notação real se torna estranha muito em breve, exibindo a utilidade da notação complexa.

Interação de duas distribuições de carga não sobrepostas

Considere dois conjuntos de cargas pontuais, um conjunto { q _i } agrupados em torno de um ponto A e um conjunto { q _j } agrupados em torno de um ponto B . Pense, por exemplo, em duas moléculas e lembre-se de que uma molécula, por definição, consiste em elétrons (cargas pontuais negativas) e núcleos (cargas pontuais positivas). A energia de interação eletrostática total U _AB entre as duas distribuições é

${\ displaystyle U_ {AB} = \ sum _ {i \ in A} \ sum _ {j \ in B} {\ frac {q_ {i} q_ {j}} {4 \ pi \ varejpsilon _ {0} r_ {eu j}}}.}$

Esta energia pode ser expandida numa série de potência ao longe inversa de A e B . Esta expansão é conhecida como expansão multipolar de U _AB .

A fim de obter esta expansão multipolar, que escrever r _XY = r _Y - R _X , que é um vector que aponta a partir de X no sentido Y . Observe que

${\ displaystyle \ mathbf {R} _ {AB} + \ mathbf {r} _ {Bj} + \ mathbf {r} _ {ji} + \ mathbf {r} _ {iA} = 0 \ quad \ iff \ quad \ mathbf {r} _ {ij} = \ mathbf {R} _ {AB} - \ mathbf {r} _ {Ai} + \ mathbf {r} _ {Bj}.}$

Assumimos que as duas distribuições não se sobrepõem:

${\ displaystyle | \ mathbf {R} _ {AB} |> | \ mathbf {r} _ {Bj} - \ mathbf {r} _ {Ai} | {\ text {para todos}} i, j.}$

Sob esta condição, podemos aplicar a expansão de Laplace da seguinte forma

${\ displaystyle {\ frac {1} {| \ mathbf {r} _ {j} - \ mathbf {r} _ {i} |}} = {\ frac {1} {| \ mathbf {R} _ {AB } - (\ mathbf {r} _ {Ai} - \ mathbf {r} _ {Bj}) |}} = \ sum _ {L = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {M = -L} ^ {L} \, (- 1) ^ {M} I_ {L} ^ {- M} (\ mathbf {R} _ {AB}) \; R_ {L} ^ {M} (\ mathbf {r} _ {Ai} - \ mathbf {r} _ {Bj}),}$

onde e são harmônicos sólidos irregulares e regulares , respectivamente. A tradução do harmônico sólido regular dá uma expansão finita, ${\ displaystyle I_ {L} ^ {M}}$${\ displaystyle R_ {L} ^ {M}}$

${\ displaystyle R_ {L} ^ {M} (\ mathbf {r} _ {Ai} - \ mathbf {r} _ {Bj}) = \ sum _ {\ ell _ {A} = 0} ^ {L} (-1) ^ {L- \ ell _ {A}} {\ binom {2L} {2 \ ell _ {A}}} ^ {1/2}}$

${\ displaystyle \ times \ sum _ {m_ {A} = - \ ell _ {A}} ^ {\ ell _ {A}} R _ {\ ell _ {A}} ^ {m_ {A}} (\ mathbf {r} _ {Ai}) R_ {L- \ ell _ {A}} ^ {M-m_ {A}} (\ mathbf {r} _ {Bj}) \; \ langle \ ell _ {A}, m_ {A}; L- \ ell _ {A}, M-m_ {A} \ mid LM \ rangle,}$

onde a quantidade entre colchetes pontiagudos é um coeficiente de Clebsch-Gordan . Além disso, usamos

${\ displaystyle R _ {\ ell} ^ {m} (- \ mathbf {r}) = (- 1) ^ {\ ell} R _ {\ ell} ^ {m} (\ mathbf {r}).}$

Uso da definição de multipolares esféricas Q^m
_ℓe cobrir os intervalos de soma em uma ordem um pouco diferente (o que só é permitido para um intervalo infinito de L ) dá finalmente

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} U_ {AB} = {} & {\ frac {1} {4 \ pi \ varejpsilon _ {0}}} \ sum _ {\ ell _ {A} = 0} ^ { \ infty} \ sum _ {\ ell _ {B} = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {\ ell _ {B}} {\ binom {2 \ ell _ {A} +2 \ ell _ {B}} {2 \ ell _ {A}}} ^ {1/2} \\ [5pt] & \ times \ sum _ {m_ {A} = - \ ell _ {A}} ^ {\ ell _ {A}} \ sum _ {m_ {B} = - \ ell _ {B}} ^ {\ ell _ {B}} (- 1) ^ {m_ {A} + m_ {B}} I _ {\ ell _ {A} + \ ell _ {B}} ^ {- m_ {A} -m_ {B}} (\ mathbf {R} _ {AB}) \; Q _ {\ ell _ {A}} ^ {m_ {A}} Q _ {\ ell _ {B}} ^ {m_ {B}} \; \ langle \ ell _ {A}, m_ {A}; \ ell _ {B}, m_ {B} \ mid \ ell _ {A} + \ ell _ {B}, m_ {A} + m_ {B} \ rangle. \ end {alinhado}}}$

Esta é a expansão multipolar da energia de interação de duas distribuições de carga não sobrepostas que estão a uma distância R _{AB uma da} outra. Desde a

${\ displaystyle I _ {\ ell _ {A} + \ ell _ {B}} ^ {- (m_ {A} + m_ {B})} (\ mathbf {R} _ {AB}) \ equiv \ left [ {\ frac {4 \ pi} {2 \ ell _ {A} +2 \ ell _ {B} +1}} \ right] ^ {1/2} \; {\ frac {Y _ {\ ell _ {A } + \ ell _ {B}} ^ {- (m_ {A} + m_ {B})} \ left ({\ widehat {\ mathbf {R}}} _ {AB} \ right)} {R_ {AB } ^ {\ ell _ {A} + \ ell _ {B} +1}}},}$

esta expansão é manifestamente em potências de 1 / R _AB . A função Y ^m _l é um harmônico esférico normalizado .

Momentos moleculares

Todos os átomos e moléculas (exceto os átomos de estado S ) têm um ou mais momentos multipolares permanentes sem desaparecimento. Diferentes definições podem ser encontradas na literatura, mas a seguinte definição na forma esférica tem a vantagem de estar contida em uma equação geral. Por ter uma forma complexa, tem como vantagem adicional ser mais fácil de manipular em cálculos do que sua contraparte real.

Consideramos uma molécula constituída por N partículas (elétrons e núcleos) com cargas eZ _i . (Os elétrons têm um valor Z de -1, enquanto para os núcleos é o número atômico ). A partícula i tem coordenadas polares esféricas r _i , θ _i e φ _i e as coordenadas cartesianas x _i , y _i e z _i . O (complexo) operador multipolo eletrostático é

${\ displaystyle Q _ {\ ell} ^ {m} \ equiv \ sum _ {i = 1} ^ {N} eZ_ {i} \; R _ {\ ell} ^ {m} (\ mathbf {r} _ {i }),}$

onde é uma função harmônica sólida regular na normalização de Racah (também conhecida como semi-normalização de Schmidt). Se a molécula tem função de onda total normalizada Ψ (dependendo das coordenadas de elétrons e núcleos), então o momento multipolar de ordem da molécula é dado pelo valor esperado (esperado) : ${\ displaystyle R _ {\ ell} ^ {m} (\ mathbf {r} _ {i})}$${\ displaystyle \ ell}$

${\ displaystyle M _ {\ ell} ^ {m} \ equiv \ langle \ Psi \ mid Q _ {\ ell} ^ {m} \ mid \ Psi \ rangle.}$

Se a molécula tem certa simetria de grupo de pontos , isso se reflete na função de onda: Ψ se transforma de acordo com uma certa representação irredutível λ do grupo ("Ψ tem tipo de simetria λ"). Isso tem como consequência que as regras de seleção são válidas para o valor esperado do operador multipolo, ou em outras palavras, que o valor esperado pode desaparecer devido à simetria. Um exemplo bem conhecido disso é o fato de que as moléculas com um centro de inversão não carregam um dipolo (os valores esperados de desaparecem para m = −1, 0, 1) . Para uma molécula sem simetria, nenhuma regra de seleção é operativa e tal molécula terá multipolos não desaparecidos de qualquer ordem (ela carregará um dipolo e simultaneamente um quadrupolo, octupolo, hexadecapolo, etc.). ${\ displaystyle Q_ {1} ^ {m}}$

As formas explícitas mais baixas dos harmônicos sólidos regulares (com a fase Condon-Shortley ) fornecem:

${\ displaystyle M_ {0} ^ {0} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} eZ_ {i},}$

(a carga total da molécula). Os componentes dipolo (complexos) são:

${\ displaystyle M_ {1} ^ {1} = - {\ sqrt {\ tfrac {1} {2}}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} eZ_ {i} \ langle \ Psi | x_ { i} + iy_ {i} | \ Psi \ rangle \ quad {\ hbox {e}} \ quad M_ {1} ^ {- 1} = {\ sqrt {\ tfrac {1} {2}}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} eZ_ {i} \ langle \ Psi | x_ {i} -iy_ {i} | \ Psi \ rangle.}$

${\ displaystyle M_ {1} ^ {0} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} eZ_ {i} \ langle \ Psi | z_ {i} | \ Psi \ rangle.}$

Observe que, por uma combinação linear simples, é possível transformar os operadores multipolares complexos em operadores reais. Os operadores multipolares reais são do tipo cosseno ou seno . Alguns dos mais baixos são: ${\ displaystyle C _ {\ ell} ^ {m}}$${\ displaystyle S _ {\ ell} ^ {m}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} C_ {1} ^ {0} & = \ sum _ {i = 1} ^ {N} eZ_ {i} \; z_ {i} \\ C_ {1} ^ {1 } & = \ sum _ {i = 1} ^ {N} eZ_ {i} \; x_ {i} \\ S_ {1} ^ {1} & = \ sum _ {i = 1} ^ {N} eZ_ {i} \; y_ {i} \\ C_ {2} ^ {0} & = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} eZ_ {i} \; ( 3z_ {i} ^ {2} -r_ {i} ^ {2}) \\ C_ {2} ^ {1} & = {\ sqrt {3}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} eZ_ {i} \; z_ {i} x_ {i} \\ C_ {2} ^ {2} & = {\ frac {1} {3}} {\ sqrt {3}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} eZ_ {i} \; (x_ {i} ^ {2} -y_ {i} ^ {2}) \\ S_ {2} ^ {1} & = {\ sqrt {3}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} eZ_ {i} \; z_ {i} y_ {i} \\ S_ {2} ^ {2} & = {\ frac {2} {3}} {\ sqrt { 3}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} eZ_ {i} \; x_ {i} y_ {i} \ end {alinhado}}}$

Nota sobre convenções

A definição do momento multipolo molecular complexo dada acima é o conjugado complexo da definição dada neste artigo , que segue a definição do livro padrão sobre eletrodinâmica clássica de Jackson, exceto para a normalização. Além disso, na definição clássica de Jackson, o equivalente do valor esperado da mecânica quântica de N- partícula é uma integral sobre uma distribuição de carga de uma partícula. Lembre-se de que, no caso de um sistema mecânico quântico de uma partícula, o valor esperado nada mais é do que uma integral sobre a distribuição de carga (módulo da função de onda ao quadrado), de modo que a definição deste artigo é uma generalização de N- partícula mecânica quântica da definição de Jackson .

A definição neste artigo concorda, entre outras, com a de Fano e Racah e Brink e Satchler.

Exemplos

Existem muitos tipos de momentos multipolares, pois existem muitos tipos de potenciais e muitas maneiras de aproximar um potencial por uma expansão em série , dependendo das coordenadas e da simetria da distribuição de carga. As expansões mais comuns incluem:

• Momentos multipolares axiais de um potencial 1 / R ;
• Momentos multipolares esféricos de um potencial 1 / R ; e
• Momentos multipolares cilíndricos de um potencial ln  R

Exemplos de potenciais 1 / R incluem o potencial elétrico , o potencial magnético e o potencial gravitacional de fontes pontuais. Um exemplo de potencial ln  R é o potencial elétrico de uma carga de linha infinita.

Propriedades matemáticas gerais

Os momentos multipolares em matemática e física matemática formam uma base ortogonal para a decomposição de uma função, com base na resposta de um campo a fontes pontuais que são infinitamente próximas umas das outras. Elas podem ser pensadas como arranjadas em várias formas geométricas ou, no sentido da teoria da distribuição , como derivadas direcionais .

As expansões multipolares estão relacionadas à simetria rotacional subjacente das leis físicas e suas equações diferenciais associadas . Mesmo que os termos de origem (como as massas, cargas ou correntes) possam não ser simétricos, pode-se expandi-los em termos de representações irredutíveis do grupo de simetria rotacional , o que leva a harmônicos esféricos e conjuntos relacionados de funções ortogonais . Utiliza-se a técnica de separação de variáveis para extrair as soluções correspondentes para as dependências radiais.

Na prática, muitos campos podem ser bem aproximados com um número finito de momentos multipolares (embora um número infinito possa ser necessário para reconstruir um campo exatamente). Uma aplicação típica é aproximar o campo de uma distribuição de carga localizada por seus termos monopolo e dipolo . Os problemas resolvidos uma vez para uma determinada ordem de momento multipolar podem ser combinados linearmente para criar uma solução final aproximada para uma determinada fonte.

Veja também

• Simulação Barnes – Hut
• Método multipolar rápido
• Expansão Laplace
• Polinômios de Legendre
• Ímãs quadrupolo são usados ​​em aceleradores de partículas
• Harmônicos sólidos
• Momento toroidal

Referências