Teorema da existência de Peano - Peano existence theorem

Equações diferenciais
Equações diferenciais de Navier-Stokes usadas para simular o fluxo de ar ao redor de uma obstrução
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Classificação
Tipos Ordinário Parcial Diferencial-algébrico Integro-diferencial Fracionário Linear Não linear Por tipo de variável Variáveis ​​dependentes e independentes Autônomo Complexo Acoplado / Desacoplado Exato Homogênea  / não homogéneas Características Pedido Operador Notação
Relação com processos Diferença (analógico discreto) Estocástico Estocástico parcial Atraso
Solução
Existência e singularidade Teorema de Picard-Lindelöf Teorema da existência de Peano Teorema da existência de Carathéodory Teorema de Cauchy-Kowalevski
Tópicos gerais Wronskian Retrato de fase Espaço de fase Lyapunov  / Estabilidade assintótica  / exponencial Taxa de convergência  Soluções em série / integrais Integração numérica Função delta de Dirac
Métodos de solução Inspeção Método das características Euler Fórmula de resposta exponencial Diferença finita  ( Crank – Nicolson ) Elemento finito Elemento infinito Volume finito Galerkin Petrov – Galerkin Fator integrador Transformações integrais Teoria de perturbação Runge – Kutta Separação de variáveis Coeficientes indeterminados Variação de parâmetros
Pessoas Isaac Newton Gottfried Leibniz Leonhard Euler Émile Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy John Crank Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Kutta
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Na matemática , especificamente no estudo de equações diferenciais ordinárias , o teorema da existência de Peano , teorema de Peano ou teorema de Cauchy-Peano , em homenagem a Giuseppe Peano e Augustin-Louis Cauchy , é um teorema fundamental que garante a existência de soluções para certos problemas de valor inicial .

História

Peano publicou o teorema pela primeira vez em 1886 com uma prova incorreta. Em 1890, ele publicou uma nova prova correta usando aproximações sucessivas.

Teorema

Let Ser um subconjunto aberto de R × R com ${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle f \ colon D \ to \ mathbb {R}}$

uma função contínua e

${\ displaystyle y '(x) = f \ left (x, y (x) \ right)}$

uma equação diferencial de primeira ordem contínua e explícita definida em D , então todo problema de valor inicial

${\ displaystyle y \ left (x_ {0} \ right) = y_ {0}}$

para f com tem uma solução local ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}) \ em D}$

${\ displaystyle z \ dois pontos I \ to \ mathbb {R}}$

onde fica um bairro de em , tal que para todos . ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle z '(x) = f \ left (x, z (x) \ right)}$${\ displaystyle x \ in I}$

A solução não precisa ser única: um único e mesmo valor inicial pode dar origem a muitas soluções diferentes . ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$${\ displaystyle z}$

Teoremas relacionados

O teorema de Peano pode ser comparado com outro resultado de existência no mesmo contexto, o teorema de Picard-Lindelöf . O teorema de Picard-Lindelöf supõe mais e conclui mais. Requer continuidade de Lipschitz , enquanto o teorema de Peano requer apenas continuidade; mas prova a existência e a singularidade, enquanto o teorema de Peano prova apenas a existência de soluções. Para ilustrar, considere a equação diferencial ordinária

${\ displaystyle y '= \ left \ vert y \ right \ vert ^ {\ frac {1} {2}}}$ no domínio ${\ displaystyle \ left [0,1 \ right].}$

De acordo com o teorema de Peano, essa equação tem soluções, mas o teorema de Picard-Lindelöf não se aplica, pois o lado direito não é Lipschitz contínuo em nenhuma vizinhança contendo 0. Assim, podemos concluir existência, mas não unicidade. Acontece que essa equação diferencial ordinária tem dois tipos de soluções ao começar em , ou . A transição entre e pode acontecer a qualquer momento . ${\ displaystyle y (0) = 0}$${\ displaystyle y (x) = 0}$${\ displaystyle y (x) = x ^ {2} / 4}$${\ displaystyle y = 0}$${\ displaystyle y = (xC) ^ {2} / 4}$${\ displaystyle C}$

O teorema da existência de Carathéodory é uma generalização do teorema da existência de Peano com condições mais fracas do que a continuidade.

Notas

Referências

• Osgood, WF (1898). "Beweis der Existenz einer Lösung der Differentialgleichung dy / dx = f (x, y) ohne Hinzunahme der Cauchy-Lipschitzchen Bedingung". Monatshefte für Mathematik . 9 : 331–345.
• Coddington, Earl A .; Levinson, Norman (1955). Teoria das Equações Diferenciais Ordinárias . Nova York: McGraw-Hill .
• Murray, Francis J .; Miller, Kenneth S. (1976) [1954]. Teoremas de existência para equações diferenciais ordinárias (reimpressão ed.). Nova York: Krieger.
• Teschl, Gerald (2012). Equações diferenciais ordinárias e sistemas dinâmicos . Providence : American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-8328-0.