Fórmula de resposta exponencial - Exponential response formula

Equações diferenciais
Equações diferenciais de Navier-Stokes usadas para simular o fluxo de ar ao redor de uma obstrução
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Classificação
Tipos Ordinário Parcial Diferencial-algébrico Integro-diferencial Fracionário Linear Não linear Por tipo de variável Variáveis ​​dependentes e independentes Autônomo Complexo Acoplado / Desacoplado Exato Homogênea  / não homogéneas Recursos Pedido Operador Notação
Relação com processos Diferença (analógico discreto) Estocástico Estocástico parcial Atraso
Solução
Existência e singularidade Teorema de Picard-Lindelöf Teorema da existência de Peano Teorema da existência de Carathéodory Teorema de Cauchy-Kowalevski
Tópicos gerais Wronskian Retrato de fase Espaço de fase Lyapunov  / Estabilidade assintótica  / exponencial Taxa de convergência  Soluções em série / integrais Integração numérica Função delta de Dirac
Métodos de solução Inspeção Método das características Euler Fórmula de resposta exponencial Diferença finita  ( Crank – Nicolson ) Elemento finito Elemento infinito Volume finito Galerkin Petrov – Galerkin Fator integrador Transformações integrais Teoria de perturbação Runge – Kutta Separação de variáveis Coeficientes indeterminados Variação de parâmetros
Pessoas Isaac Newton Gottfried Leibniz Leonhard Euler Émile Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy John Crank Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Kutta
v t e

Em matemática , a fórmula de resposta exponencial (ERF), também conhecida como resposta exponencial e substituição complexa , é um método usado para encontrar uma solução particular de uma equação diferencial ordinária linear não homogênea de qualquer ordem. A fórmula de resposta exponencial é aplicável a equações diferenciais ordinárias lineares não homogêneas com coeficientes constantes se a função for polinomial , senoidal , exponencial ou a combinação das três. A solução geral de uma equação diferencial ordinária linear não homogênea é uma superposição da solução geral da ODE homogênea associada e uma solução particular para a ODE não homogênea. Métodos alternativos para resolver equações diferenciais ordinárias de ordem superior são o método de coeficientes indeterminados e o método de variação de parâmetros .

Contexto e método

Aplicabilidade

O método ERF de encontrar uma solução particular de uma equação diferencial não homogênea é aplicável se a equação não homogênea for ou puder ser transformada para formar ; onde são números reais ou complexos e é equação diferencial linear homogênea de qualquer ordem. Então, a fórmula de resposta exponencial pode ser aplicada a cada termo do lado direito de tal equação. Devido à linearidade, a fórmula de resposta exponencial pode ser aplicada desde que o lado direito tenha termos, que são somados pelo princípio de superposição . ${\ displaystyle f (t) = B_ {1} e ^ {\ gamma _ {1} t} + B_ {2} e ^ {\ gamma _ {2} t} + \ cdots + B_ {n} e ^ { \ gamma _ {n} t}}$${\ displaystyle B, \ gamma}$${\ displaystyle f (t)}$

Substituição complexa

A substituição complexa é um método de conversão de um termo de equação não homogêneo em uma função exponencial complexa, o que torna uma dada equação diferencial uma exponencial complexa.

Considere a equação diferencial . ${\ displaystyle y '' + y = \ cos (t)}$

Para fazer substituições complexas, a fórmula de Euler pode ser usada;

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ cos (t) & = \ operatorname {Re} (e ^ {it}) = \ operatorname {Re} (\ cos (t) + i \ sin (t)) \\ \ sin (t) & = \ operatorname {Im} (e ^ {it}) = \ operatorname {Im} (\ cos (t) + i \ sin (t)) \ end {alinhado}}}$

Portanto, dada a equação diferencial muda para . A solução da equação diferencial complexa pode ser encontrada como , da qual a parte real é a solução da equação original. ${\ displaystyle z '' + z = e ^ {it}}$${\ displaystyle z (t)}$

A substituição complexa é usada para resolver equações diferenciais quando o termo não homogêneo é expresso em termos de uma função senoidal ou exponencial, que pode ser convertida em uma diferenciação e integração de função exponencial complexa. Essa função exponencial complexa é mais fácil de manipular do que a função original.

Quando o termo não homogêneo é expresso como uma função exponencial, o método ERF ou o método dos coeficientes indeterminados podem ser usados ​​para encontrar uma solução particular . Se os termos não homogêneos não podem ser transformados em função exponencial complexa, então o método de Lagrange de variação de parâmetros pode ser usado para encontrar soluções.

Operador linear invariante no tempo

As equações diferenciais são importantes na simulação de fenômenos naturais. Em particular, existem numerosos fenômenos descritos como equações diferenciais lineares de alta ordem , por exemplo, a vibração da mola, circuito LRC , deflexão do feixe , processamento de sinal , teoria de controle e sistemas LTI com loops de feedback.

Matematicamente, o sistema é invariável no tempo se sempre que a entrada tem resposta , para qualquer constante "a", a entrada tem resposta . Fisicamente, a invariância de tempo significa que a resposta do sistema não depende da hora em que a entrada começa. Por exemplo, se um sistema de massa-mola está em equilíbrio , ele responderá a uma determinada força da mesma maneira, não importa quando a força foi aplicada. ${\ displaystyle f (t)}$${\ displaystyle x (t)}$${\ displaystyle f (ta)}$${\ displaystyle x (ta)}$

Quando o sistema invariante no tempo também é linear, ele é chamado de sistema invariante no tempo linear (sistema LTI). A maioria desses sistemas LTI são derivados de equações diferenciais lineares, onde o termo não homogêneo é chamado de sinal de entrada e a solução das equações não homogêneas é chamada de sinal de resposta. Se o sinal de entrada for dado exponencialmente, o sinal de resposta correspondente também muda exponencialmente.

Considerando a seguinte equação diferencial linear de ordem ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle a_ {n} {\ frac {d ^ {n} y} {dt ^ {n}}} + a_ {n-1} {\ frac {d ^ {n-1} y} {dt ^ { n-1}}} + \ cdots + a_ {1} {\ frac {dy} {dt}} + a_ {0} y = f (t) \ qquad \ qquad \ quad (1)}$

e denotando

${\ displaystyle L = a_ {n} D ^ {n} + a_ {n-1} D ^ {n-1} + \ cdots + a_ {1} D ^ {1} + a_ {0} I,}$

${\ displaystyle D ^ {k} = {\ frac {d ^ {k}} {dt ^ {k}}} (k = 1,2, \ ldots, n),}$

onde estão os coeficientes constantes, produz o operador diferencial , que é linear e invariante no tempo e conhecido como operador LTI . O operador, é obtido a partir de seu polinômio característico ; ${\ displaystyle a_ {0}, \ ldots, a_ {n}}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle L}$

${\ displaystyle P (s) = a_ {n} s ^ {n} + a_ {n-1} s ^ {n-1} + \ cdots + a_ {0}}$

substituindo formalmente os indeterminados aqui pelo operador de diferenciação ${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle L = P (D)}$

${\ displaystyle P (D) = a_ {n} D ^ {n} + a_ {n-1} D ^ {n-1} + \ cdots + a_ {0} I}$

Portanto, a equação (1) pode ser escrita como

${\ displaystyle P (D) y = f (t) \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad (2)}$

Definição de problema e método ERF

Considerando a equação diferencial LTI acima, com entrada exponencial , onde e são dados números. Então, uma solução particular é ${\ displaystyle f (t) = Be ^ {\ gamma t}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ gamma}$

fornecer apenas isso . ${\ displaystyle P (\ gamma) \ neq 0}$

Prova : Devido à linearidade do operador , a equação pode ser escrita como ${\ displaystyle P (D)}$

${\ displaystyle P (D) (y_ {p}) = P (D) \ left ({\ frac {Be ^ {\ gamma t}} {P (\ gamma)}} \ right) = {\ frac {B } {P (\ gamma)}} P (D) (e ^ {\ gamma t}) \ qquad \ qquad (3)}$

Por outro lado, desde

${\ displaystyle P (D) \ left (e ^ {\ gamma t} \ right) = P (\ gamma) e ^ {\ gamma t},}$

substituindo isso na equação (3), produz

${\ displaystyle P (D) (y_ {p}) = P (D) \ left ({\ frac {Be ^ {\ gamma t}} {P (\ gamma)}} \ right) = {\ frac {B } {P (\ gamma)}} P (D) \ left (e ^ {\ gamma t} \ right) = {\ frac {B} {P (\ gamma)}} P (\ gamma) e ^ {\ gamma t} = Be ^ {\ gamma t}.}$

Portanto, é uma solução particular para a equação diferencial não homogênea. ${\ displaystyle y_ {p}}$

Assim, a equação acima para uma resposta particular é chamada de fórmula de resposta exponencial (ERF) para a entrada exponencial fornecida. ${\ displaystyle y_ {p}}$

Em particular, no caso de , uma solução para a equação (2) é dada por ${\ displaystyle P (\ gamma) = 0}$

${\ displaystyle y_ {p} = {\ frac {Bte ^ {\ gamma t}} {P '(\ gamma)}}, \ qquad P' (\ gamma) \ neq 0}$

e é chamada de fórmula de resposta ressonante .

Exemplo

Vamos encontrar a solução particular para ODE linear não homogêneo de 2ª ordem;

${\ displaystyle 2x '' + x '+ x = 1 + 2e ^ {t} + e ^ {- t} \ cos (t).}$

O polinômio característico é . Além disso, o termo não homogêneo pode ser escrito da seguinte forma ${\ displaystyle P (s) = 2s ^ {2} + s + 1}$${\ displaystyle f (t) = 1 + 2e ^ {t} + e ^ {- t} \ cos (t)}$

${\ displaystyle f (t) = f_ {1} (t) + f_ {2} (t) + f_ {3} (t), f_ {1} (t) = 1, f_ {2} (t) = 2e ^ {t}, f_ {3} (t) = e ^ {- t} \ cos (t).}$

Então, as soluções particulares correspondentes a e , são encontradas, respectivamente. ${\ displaystyle f_ {1} (t), f_ {2} (t)}$${\ displaystyle f_ {3} (t)}$

Primeiro, considerando o termo não homogêneo ,. Neste caso, desde e . ${\ displaystyle f_ {1} (t) = 1}$${\ displaystyle f_ {1} (t) = 1 = e ^ {0 \ cdot t}, \ gamma = 0}$${\ displaystyle P (\ gamma) = P (0) = 1 \ neq 0}$

a partir do ERF, uma solução particular correspondente a pode ser encontrada. ${\ displaystyle f_ {1} (t)}$

${\ displaystyle x_ {1p} = {\ frac {f_ {1} (t)} {P (0)}} = {\ frac {1} {1}} = 1}$.

Da mesma forma, uma solução particular pode ser encontrada correspondendo a . ${\ displaystyle f_ {2} (t)}$

${\ displaystyle x_ {2p} = {\ frac {f_ {2} (t)} {P (1)}} = {\ frac {2e ^ {t}} {4}} = {\ frac {e ^ { t}} {2}}.}$

Vamos encontrar uma solução particular para DE correspondendo ao 3º termo;

${\ displaystyle 2x '' + x '+ x = e ^ {- t} \ cos (t).}$

Para fazer isso, a equação deve ser substituída por uma equação de valor complexo, da qual é a parte real:

${\ displaystyle 2z '' + z '+ z = e ^ {(- 1 + i) t}.}$

A aplicação da fórmula de resposta exponencial (ERF), produz

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} z_ {p} & = {\ frac {e ^ {(- 1 + i) t}} {P (-1 + i)}} \\ & = {\ frac {ie ^ {(- 1 + i) t}} {3}} && P (-1 + i) = 2 (-1 + i) ^ {2} + (- 1 + i) + 1 = -3i \ end {alinhado }}}$

e a parte real é

${\ displaystyle x_ {3p} = - {\ frac {1} {3}} e ^ {- t} \ sin (t).}$

Portanto, a solução particular de dada equação, é ${\ displaystyle x_ {p}}$

${\ displaystyle x_ {p} = x_ {1p} + x_ {2p} + x_ {3p} = 1 + {\ frac {e ^ {t}} {2}} - {\ frac {1} {3}} e ^ {- t} \ sin (t).}$

Comparação com o método de coeficientes indeterminados

O método dos coeficientes indeterminados é um método de selecionar apropriadamente um tipo de solução de acordo com a forma do termo não homogêneo e determinar a constante indeterminada, de modo que satisfaça a equação não homogênea. Por outro lado, o método ERF obtém uma solução especial baseada em operador diferencial. Similaridade para ambos os métodos é que soluções especiais de equações diferenciais lineares não homogêneas com coeficientes constantes são obtidas, enquanto a forma da equação em consideração é a mesma em ambos os métodos.

Por exemplo, encontrar uma solução particular com o método de coeficientes indeterminados requer a resolução da equação característica . O termo não homogêneo é então considerado e, por não ser uma raiz característica , coloca uma solução particular na forma de , onde é constante indeterminada. Substituindo na equação para determinar os rendimentos constantes provisórios ${\ displaystyle y '' + y = e ^ {t}}$${\ displaystyle \ lambda ^ {2} + 1 = 0, \ lambda = \ pm i}$${\ displaystyle f (t) = Be ^ {\ gamma t}, B = 1, \ gamma = 1}$${\ displaystyle \ gamma = 1}$${\ displaystyle y_ {p} (t) = Ae ^ {\ gamma t}}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ lambda ^ {2} Ae ^ {\ lambda t} + Ae ^ {\ lambda t} = e ^ {\ lambda t}}$

Portanto

${\ displaystyle A = {\ frac {1} {\ lambda ^ {2} +1}}.}$

A solução específica pode ser encontrada na forma:

${\ displaystyle y_ {p} (t) = Ae ^ {\ lambda t} = {\ frac {e ^ {\ lambda t}} {\ lambda ^ {2} +1}}.}$

Por outro lado, o método da fórmula de resposta exponencial requer que o polinômio característico seja encontrado, após o qual os termos não homogêneos são substituídos por complexos. A solução particular é então encontrada usando a fórmula ${\ displaystyle P (s) = s ^ {2} +1}$${\ displaystyle f (t) = Be ^ {\ gamma t}, B = 1, \ gamma = 1}$

${\ displaystyle y_ {p} (t) = {\ frac {e ^ {\ lambda t}} {P (\ lambda)}} = {\ frac {e ^ {\ lambda t}} {\ lambda ^ {2 } +1}}.}$

Fórmula de resposta exponencial generalizada

O método da fórmula de resposta exponencial foi discutido no caso de . No caso de , a fórmula de resposta ressonante também é considerada. ${\ displaystyle P (\ gamma) \ neq 0}$${\ displaystyle P (\ gamma) = 0, P '(\ gamma) \ neq 0}$

No caso de , discutiremos como o método ERF será descrito nesta seção. ${\ displaystyle P (\ gamma) = P '(\ gamma) = \ cdots = P ^ {(k-1)} (\ gamma) = 0, P ^ {k} (\ gamma) \ neq 0}$

Let Ser um polinomial operador com coeficientes constantes, e sua derivada -ésima. Então ODE ${\ displaystyle P (D)}$${\ displaystyle P ^ {(m)}}$${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle P (D) y = Be ^ {\ gamma t}}$, onde é real ou complexo.${\ displaystyle \ gamma}$

tem a solução particular a seguir.

• ${\ displaystyle P (\ gamma) \ neq 0}$. Neste caso, uma solução particular será dada por . ( Fórmula de resposta do expoente )${\ displaystyle y_ {p} (t) = {\ tfrac {Be ^ {\ gamma t}} {P (\ gamma)}}}$

• ${\ displaystyle P (\ gamma) = 0}$ mas . Neste caso, uma solução particular será dada por . ( Fórmula de resposta ressonante )${\ displaystyle P '(\ gamma) \ neq 0}$${\ displaystyle y_ {p} (t) = {\ tfrac {Bte ^ {\ gamma t}} {P '(\ gamma)}}}$

• ${\ displaystyle P (\ gamma) = P '(\ gamma) = \ cdots = P ^ {(k-1)} (\ gamma) = 0}$mas . Neste caso, uma solução particular será dada por${\ displaystyle P ^ {k} (\ gamma) \ neq 0}$

A equação acima é chamada de fórmula de resposta exponencial generalizada .

Exemplo

Para encontrar uma solução particular da seguinte ODE;

${\ displaystyle y '' '- 3y' + 2y = 6e ^ {t}.}$

o polinômio característico é . ${\ displaystyle P (s) = s ^ {3} -3s + 2}$

Calculando, obtemos o seguinte:

${\ displaystyle P (1) = 0, P '(1) = 0, P' '(1) = 6 \ neq 0.}$

A fórmula de resposta exponencial original não se aplica a este caso devido à divisão por zero. Portanto, usando a fórmula de resposta exponencial generalizada e constantes calculadas, a solução particular é

${\ displaystyle y_ {p} (t) = {\ frac {6t ^ {2} e ^ {t}} {P '' (1)}} = {\ frac {6t ^ {2} e ^ {t} } {6}} = t ^ {2} e ^ {t}.}$

Exemplos de aplicação

Movimento de objeto pendurado em uma mola

Objeto pendurado em uma mola com deslocamento . A força atuante é a gravidade, a força da mola, a resistência do ar e quaisquer outras forças externas. ${\ displaystyle d}$

Da lei de Hooke , a equação de movimento do objeto é expressa como segue;

${\ displaystyle m {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + r {\ frac {dx} {dt}} + kx = F (t),}$

onde está a força externa. ${\ displaystyle F (t)}$

Agora, assumindo que o arrasto é desprezado e , onde (a frequência da força externa coincide com a frequência natural). Portanto, o oscilador harmônico com termo de força sinusoidal é expresso da seguinte forma: ${\ displaystyle F (t) = F_ {0} \ cos (\ omega t)}$${\ displaystyle \ omega = {\ sqrt {\ tfrac {k} {m}}}}$

${\ displaystyle m {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} + kx = F (t).}$

Então, uma solução particular é

${\ displaystyle x_ {p} = {\ frac {F_ {0}} {2 {\ sqrt {km}}}} t \ sin (\ omega t).}$

Aplicando a substituição complexa e o ERF: se é uma solução para o DE complexo ${\ displaystyle z_ {p}}$

${\ displaystyle m {\ frac {d ^ {2} z} {dt ^ {2}}} + kz = F_ {0} e ^ {i \ omega t},}$

então haverá uma solução para o DE dado. ${\ displaystyle x_ {p} = \ operatorname {Re} (z_ {p})}$

O polinômio característico é , e , de modo que . No entanto, desde então . Assim, o caso ressonante do ERF dá ${\ displaystyle P (s) = ms ^ {2} + k}$${\ displaystyle \ gamma = i \ omega}$${\ displaystyle P (\ gamma) = 0}$${\ displaystyle P '(s) = 2ms}$${\ displaystyle P '(\ gamma) = P' (i \ omega) = 2m \ omega i \ neq 0}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} y_ {p} & = \ operatorname {Re} \ left ({\ frac {F_ {0} te ^ {i \ omega t}} {P '(\ gamma)}} \ direita) \\ [4pt] & = \ operatorname {Re} \ left ({\ frac {F_ {0} t (\ cos (\ omega t) + i \ sin (\ omega t))} {2mi \ omega} } \ right) \\ [4pt] & = \ operatorname {Re} \ left ({\ frac {-F_ {0} t (i \ cos (\ omega t) - \ sin (\ omega t))} {2m \ omega}} \ direita) \\ [4pt] & = {\ frac {F_ {0} t \ sin (\ omega t)} {2m \ omega}} \\ [4pt] & = {\ frac {F_ { 0}} {2 {\ sqrt {km}}}} t \ sin (\ omega t). \ End {alinhado}}}$

Circuitos elétricos

Considerando a corrente elétrica fluindo através de um circuito elétrico, consistindo de uma resistência ( ), um capacitor ( ), uma bobina de fios ( ) e uma bateria ( ), conectadas em série. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle E}$

Este sistema é descrito por uma equação diferencial integral encontrada por Kirchhoff chamada lei de tensão de Kirchhoff , relacionando o resistor , capacitor , indutor , bateria e a corrente em um circuito como segue, ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle I}$

${\ displaystyle LI '(t) + RI (t) + {\ frac {1} {C}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} I (s) \, ds = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} E (s) \, ds}$

Diferenciar os dois lados da equação acima produz a seguinte EDO.

${\ displaystyle LI '' (t) + RI '(t) + {\ frac {1} {C}} I (t) = E (t)}$

Agora, supondo , onde . ( é chamada de frequência de ressonância no circuito LRC ). Sob a suposição acima, a saída (solução particular) correspondente à entrada pode ser encontrada. Para fazer isso, uma determinada entrada pode ser convertida de forma complexa: ${\ displaystyle E (t) = E_ {0} \ sin (\ omega _ {0} t)}$${\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ sqrt {\ tfrac {1} {LC}}}}$${\ displaystyle \ omega _ {0}}$${\ displaystyle E (t)}$

${\ displaystyle E (t) = E_ {0} \ sin (\ omega _ {0} t) = \ operatorname {Im} (E_ {0} e ^ {i \ omega _ {0} t})}$

O polinômio característico é , onde . Portanto, a partir do ERF, uma solução particular pode ser obtida como segue; ${\ displaystyle P (s) = Ls ^ {2} + Rs + {\ frac {1} {s}}}$${\ displaystyle P (i \ omega _ {0}) = i \ omega _ {0} R \ neq 0}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} I_ {p} & = \ operatorname {Im} \ left ({\ frac {E_ {0} e ^ {i \ omega _ {0} t}} {P (i \ omega _ {0})}} \ right) \\ & = \ operatorname {Im} \ left ({\ frac {E_ {0} e ^ {i \ omega _ {0} t}} {i \ omega _ {0 } R}} \ right) \\ & = \ operatorname {Im} \ left ({\ frac {-E_ {0} (i \ cos (\ omega _ {0} t) - \ sin (\ omega _ {0 } t))} {\ omega _ {0} R}} \ right) \\ [4pt] & = {\ frac {-E_ {0} \ cos (\ omega _ {0} t)} {\ omega _ {0} R}} \ end {alinhado}}}$

Ganho complexo e atraso de fase

Considerando o sistema geral de LTI

${\ displaystyle P (D) x = Q (D) f (t)}$

onde é a entrada e recebem operadores polinomiais, embora pressuponha isso . Nesse caso , uma solução particular para dada equação é ${\ displaystyle f (t)}$${\ displaystyle P (D), Q (D)}$${\ displaystyle P (s) \ neq 0}$${\ displaystyle f (r) = F_ {0} \ cos (\ omega t)}$

${\ displaystyle x_ {p} (t) = \ operatorname {Re} \ left (F_ {0} {\ frac {Q (i \ omega)} {P (i \ omega)}} e ^ {i \ omega t }\direito).}$

Considerando os seguintes conceitos usados ​​em física e processamento de sinais principalmente.

• A amplitude da entrada é . Isso tem as mesmas unidades que a quantidade de entrada.${\ displaystyle F_ {0}}$
• A frequência angular da entrada é . Possui unidades de radianos / hora. Freqüentemente, será referido como frequência, embora tecnicamente a frequência deva ter unidades de ciclos / tempo.${\ displaystyle \ omega}$
• A amplitude da resposta é . Isso tem as mesmas unidades que a quantidade de resposta.${\ displaystyle A = F_ {0} | Q (i \ omega) / P (i \ omega) |}$
• O ganho é . O ganho é o fator pelo qual a amplitude de entrada é multiplicada para obter a amplitude da resposta. Ele tem as unidades necessárias para converter unidades de entrada em unidades de saída.${\ displaystyle g (\ omega) = | Q (i \ omega) / P (i \ omega) |}$
• O atraso de fase é . O atraso de fase tem unidades de radianos, ou seja, é adimensional.${\ displaystyle \ phi = - \ operatorname {Arg} (Q (i \ omega) / P (i \ omega))}$
• O intervalo de tempo é . Isso tem unidades de tempo. É o momento em que o pico da produção fica atrás do pico da entrada.${\ displaystyle \ phi / \ omega}$
• O ganho complexo é . Este é o fator pelo qual a entrada complexa é multiplicada para obter a saída complexa.${\ displaystyle Q (i \ omega) / P (i \ omega)}$

Referências

links externos

• Operadores e a fórmula de resposta exponencial
• Fórmula de resposta exponencial generalizada
• Noções básicas de operadores LTI e ERF