Índices de aumento e redução - Raising and lowering indices

Em matemática e física matemática , aumentar e diminuir os índices são operações em tensores que mudam de tipo . Índices de aumento e redução são uma forma de manipulação de índice em expressões de tensor.

Tipo tensor

Dado um campo tensorial em uma variedade M , na presença de uma forma não singular em M (como uma métrica Riemanniana ou Minkowski ), pode-se aumentar ou diminuir os índices para alterar um tensor de tipo ( a , b ) para a ( a + 1, b - 1) tensor (índice de aumento) ou a ( a - 1, b + 1) tensor (índice inferior), onde a notação ( a , b ) foi usada para denotar a ordem do tensor a + b com a índices superiores eb índices inferiores.

Isso é feito multiplicando-se pelo tensor métrico covariante ou contravariante e, em seguida , os índices de contração , o que significa que dois índices são iguais e somados sobre os índices repetidos (aplicando a notação de Einstein ). Veja os exemplos abaixo.

Vetores (tensores de ordem 1)

Multiplicar pelo tensor métrico contravariante g ^ij e contrair produz outro tensor com um índice superior:

${\ displaystyle g ^ {ij} A_ {j} = A ^ {i} \ ,,}$

O mesmo símbolo de base é normalmente usado para denotar este novo tensor, e reposicionar o índice é normalmente entendido neste contexto como se referindo a este novo tensor, e é chamado de aumentar o índice , que seria escrito

${\ displaystyle g ^ {ij} A_ {j} = A ^ {i} \,}$

Da mesma forma, multiplicar pelo tensor métrico covariante e contrair reduz um índice (com o mesmo entendimento sobre a reutilização do símbolo de base):

${\ displaystyle g_ {ij} A ^ {j} = A_ {i} \,}$

A forma g _ij não precisa ser não singular para diminuir um índice, mas para obter o inverso (e assim aumentar um índice), ela deve ser não singular.

Aumentar e, em seguida, diminuir o mesmo índice (ou inversamente) são operações inversas, que se refletem nos tensores métricos covariante e contravariante sendo inversos entre si:

${\ displaystyle g ^ {ij} g_ {jk} = g_ {kj} g ^ {ji} = {\ delta ^ {i}} _ {k} = {\ delta _ {k}} ^ {i}}$

onde δ ⁱ _k é o delta de Kronecker ou matriz identidade . Uma vez que existem diferentes escolhas de métricas com assinaturas métricas diferentes (sinais ao longo dos elementos diagonais, ou seja, componentes tensores com índices iguais), o nome e a assinatura são geralmente indicados para evitar confusão. Diferentes autores usam diferentes métricas e assinaturas por diferentes razões.

Mnemonicamente (embora incorretamente ), pode-se pensar em índices "cancelando" entre uma métrica e outro tensor, e a métrica aumentando ou diminuindo o índice. Nos exemplos acima, tais "cancelamentos" e "etapas" são como

${\ displaystyle g ^ {ij} A_ {j} = {\ cancel {g}} ^ {i {\ cancel {j}}} A _ {\ cancel {j}} = A ^ {i} \ ,,}$

Novamente, embora seja um guia útil, isso é apenas mnemônico e não uma propriedade dos tensores, uma vez que os índices não se cancelam como nas equações, é apenas um conceito da notação. Os resultados são continuados abaixo, para tensores de ordem superior (ou seja, mais índices).

Ao aumentar os índices de quantidades no espaço - tempo , ajuda a decompor somas em "componentes semelhantes ao tempo" (onde os índices são zero) e "componentes semelhantes ao espaço" (onde os índices são 1, 2, 3, representados convencionalmente por letras latinas).

Um exemplo do espaço-tempo de Minkowski

A posição covariante 4 é dada por

${\ displaystyle X _ {\ mu} = (- ct, x, y, z)}$

com componentes:

${\ displaystyle X_ {0} = - ct, \ quad X_ {1} = x, \ quad X_ {2} = y, \ quad X_ {3} = z}$

(onde x , y , z são as coordenadas cartesianas usuais ) e o tensor métrico de Minkowski com assinatura (- + + +) é definido como

${\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu} = \ eta ^ {\ mu \ nu} = {\ begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$

em componentes:

${\ displaystyle \ eta _ {00} = - 1, \ quad \ eta _ {i0} = \ eta _ {0i} = 0, \ quad \ eta _ {ij} = \ delta _ {ij} \, (i , j \ neq 0).}$

Para aumentar o índice, multiplique pelo tensor e contraia:

${\ displaystyle X ^ {\ lambda} = \ eta ^ {\ lambda \ mu} X _ {\ mu} = \ eta ^ {\ lambda 0} X_ {0} + \ eta ^ {\ lambda i} X_ {i} }$

então para λ = 0 :

${\ displaystyle X ^ {0} = \ eta ^ {00} X_ {0} + \ eta ^ {0i} X_ {i} = - X_ {0}}$

e para λ = j = 1, 2, 3 :

${\ displaystyle X ^ {j} = \ eta ^ {j0} X_ {0} + \ eta ^ {ji} X_ {i} = \ delta ^ {ji} X_ {i} = X_ {j} \ ,.}$

Portanto, a posição 4 contravariante elevada do índice é:

${\ displaystyle X ^ {\ mu} = (ct, x, y, z) \ ,.}$

Tensores (ordem superior)

Ordem 2

Para um tensor de ordem 2, multiplicar duas vezes pelo tensor métrico contravariante e contrair em índices diferentes aumenta cada índice:

${\ displaystyle A ^ {\ alpha \ beta} = g ^ {\ alpha \ gamma} g ^ {\ beta \ delta} A _ {\ gamma \ delta}}$

e multiplicar duas vezes pelo tensor métrico covariante e contrair em índices diferentes diminui cada índice:

${\ displaystyle A _ {\ alpha \ beta} = g _ {\ alpha \ gamma} g _ {\ beta \ delta} A ^ {\ gamma \ delta}}$

Um exemplo do eletromagnetismo clássico e da relatividade especial

O tensor eletromagnético contravariante na assinatura (+ - - -) é dado por

${\ displaystyle F ^ {\ alpha \ beta} = {\ begin {pmatrix} 0 & - {\ frac {E_ {x}} {c}} & - {\ frac {E_ {y}} {c}} & - {\ frac {E_ {z}} {c}} \\ {\ frac {E_ {x}} {c}} & 0 & -B_ {z} & B_ {y} \\ {\ frac {E_ {y}} { c}} & B_ {z} & 0 & -B_ {x} \\ {\ frac {E_ {z}} {c}} & - B_ {y} & B_ {x} & 0 \ end {pmatriz}}}$

em componentes:

${\ displaystyle F ^ {0i} = - F ^ {i0} = - {\ frac {E ^ {i}} {c}}, \ quad F ^ {ij} = - \ varepsilon ^ {ijk} B_ {k }}$

Para obter o tensor covariante F _αβ , multiplique pelo tensor métrico e contraia:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} F _ {\ alpha \ beta} & = \ eta _ {\ alpha \ gamma} \ eta _ {\ beta \ delta} F ^ {\ gamma \ delta} \\ & = \ eta _ {\ alpha 0} \ eta _ {\ beta 0} F ^ {00} + \ eta _ {\ alpha i} \ eta _ {\ beta 0} F ^ {i0} + \ eta _ {\ alpha 0} \ eta _ {\ beta i} F ^ {0i} + \ eta _ {\ alpha i} \ eta _ {\ beta j} F ^ {ij} \ end {alinhado}}}$

e uma vez que F ⁰⁰ = 0 e F ^{0 i} = - F ^{i 0} , isso se reduz a

${\ displaystyle F _ {\ alpha \ beta} = \ left (\ eta _ {\ alpha i} \ eta _ {\ beta 0} - \ eta _ {\ alpha 0} \ eta _ {\ beta i} \ right) F ^ {i0} + \ eta _ {\ alpha i} \ eta _ {\ beta j} F ^ {ij}}$

Agora, para α = 0 , β = k = 1, 2, 3 :

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} F_ {0k} & = \ left (\ eta _ {0i} \ eta _ {k0} - \ eta _ {00} \ eta _ {ki} \ right) F ^ {i0 } + \ eta _ {0i} \ eta _ {kj} F ^ {ij} \\ & = {\ bigl (} 0 - (- \ delta _ {ki}) {\ bigr)} F ^ {i0} + 0 \\ & = F ^ {k0} = - F ^ {0k} \\\ fim {alinhado}}}$

e por antissimetria, para α = k = 1, 2, 3 , β = 0 :

${\ displaystyle F_ {k0} = - F ^ {k0}}$

então, finalmente, para α = k = 1, 2, 3 , β = l = 1, 2, 3 ;

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} F_ {kl} & = \ left (\ eta _ {ki} \ eta _ {l0} - \ eta _ {k0} \ eta _ {li} \ right) F ^ {i0 } + \ eta _ {ki} \ eta _ {lj} F ^ {ij} \\ & = 0+ \ delta _ {ki} \ delta _ {lj} F ^ {ij} \\ & = F ^ {kl } \\\ end {alinhado}}}$

O tensor indexado inferior (covariante) é então:

${\ displaystyle F _ {\ alpha \ beta} = {\ begin {pmatrix} 0 & {\ frac {E_ {x}} {c}} & {\ frac {E_ {y}} {c}} & {\ frac { E_ {z}} {c}} \\ - {\ frac {E_ {x}} {c}} & 0 & -B_ {z} & B_ {y} \\ - {\ frac {E_ {y}} {c} } & B_ {z} & 0 & -B_ {x} \\ - {\ frac {E_ {z}} {c}} & - B_ {y} & B_ {x} & 0 \ end {pmatriz}}}$

Ordem n

Quando um espaço vetorial é equipado com um produto interno (ou métrica, como costuma ser chamada neste contexto), existem operações que convertem um índice contravariante (superior) em um índice covariante (inferior) e vice-versa. Uma métrica em si é um (simétrico) (0,2) -tensor, portanto, é possível contrair um índice superior de um tensor com um dos índices inferiores da métrica. Isso produz um novo tensor com a mesma estrutura de índice do anterior, mas com índice inferior na posição do índice superior contraído. Esta operação é conhecida graficamente como redução de um índice. Por outro lado, uma métrica tem um inverso que é um (2,0) -tensor. Essa métrica inversa pode ser contraída com um índice inferior para produzir um índice superior. Essa operação é chamada de levantamento de um índice.

Para um tensor de ordem n , os índices são elevados por (compatível com acima):

${\ displaystyle g ^ {j_ {1} i_ {1}} g ^ {j_ {2} i_ {2}} \ cdots g ^ {j_ {n} i_ {n}} A_ {i_ {1} i_ {2 } \ cdots i_ {n}} = A ^ {j_ {1} j_ {2} \ cdots j_ {n}}}$

e abaixado por:

${\ displaystyle g_ {j_ {1} i_ {1}} g_ {j_ {2} i_ {2}} \ cdots g_ {j_ {n} i_ {n}} A ^ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {n}} = A_ {j_ {1} j_ {2} \ cdots j_ {n}}}$

e para um tensor misto:

${\ displaystyle g_ {p_ {1} i_ {1}} g_ {p_ {2} i_ {2}} \ cdots g_ {p_ {n} i_ {n}} g ^ {q_ {1} j_ {1}} g ^ {q_ {2} j_ {2}} \ cdots g ^ {q_ {m} j_ {m}} {A ^ {i_ {1} i_ {2} \ cdots i_ {n}}} _ {j_ { 1} j_ {2} \ cdots j_ {m}} = {A_ {p_ {1} p_ {2} \ cdots p_ {n}}} ^ {q_ {1} q_ {2} \ cdots q_ {m}} }$

Veja também

• Cálculo de Ricci
• Notação de Einstein
• Tensor métrico
• Isomorfismo musical
• Espaço duplo § Produtos bilineares e espaços duplos

Referências