Functor - Functor
Em matemática , especificamente na teoria das categorias , um functor é um mapeamento entre categorias . Os funções foram considerados pela primeira vez na topologia algébrica , onde objetos algébricos (como o grupo fundamental ) são associados a espaços topológicos , e mapas entre esses objetos algébricos são associados a mapas contínuos entre espaços. Hoje em dia, os functores são usados em toda a matemática moderna para relacionar várias categorias. Assim, os functores são importantes em todas as áreas da matemática às quais a teoria das categorias é aplicada.
As palavras categoria e functor foram emprestadas pelos matemáticos dos filósofos Aristóteles e Rudolf Carnap , respectivamente. O último usado functor em um contexto linguístico ; veja a palavra de função .
Definição
Vamos C e D ser categorias . Um functor F de C para D é um mapeamento que
- associa cada objeto em C a um objeto em D ,
- associa cada morfismo em C a um morfismo em D de modo que as duas condições a seguir sejam válidas:
- para cada objeto em
- para todos os morphisms e em C .
Ou seja, os functores devem preservar os morfismos de identidade e a composição dos morfismos.
Covariância e contravariância
Existem muitas construções em matemática que seriam functores, não fosse pelo fato de "inverterem os morfismos" e "reverterem a composição". Em seguida, definimos um functor contravariante F de C para D como um mapeamento que
- associa a cada objeto em C com um objeto em D ,
- associa a cada morfismo em C com um morfismo em D, de modo que as duas condições a seguir se mantêm:
- para cada objeto em
- para todos os morphisms e em C .
Observe que os functores contravariantes invertem a direção da composição.
Os functores ordinários também são chamados de functores covariantes para distingui-los dos contravariantes. Observe que também se pode definir um functor contravariante como um functor covariante na categoria oposta . Alguns autores preferem escrever todas as expressões covariante. Ou seja, em vez de dizer que é um functor contravariante, eles simplesmente escrevem (ou às vezes ) e o chamam de functor.
Os functores contravariantes também são ocasionalmente chamados de co-funções .
Há uma convenção que se refere a "vetores" - isto é, campos de vetores , elementos do espaço de seções de um feixe tangente - como "contravariante" e "covetores" - isto é, formas 1 , elementos do espaço de seções de um pacote cotangente - como "covariante". Essa terminologia tem origem na física, e sua lógica tem a ver com a posição dos índices ("em cima" e "embaixo") em expressões como para ou para Nesse formalismo observa-se que o símbolo de transformação de coordenadas (representando a matriz ) age sobre os vetores de base "da mesma maneira" como nas "coordenadas covector": -whereas atua "no caminho oposto" sobre as "coordenadas vetor" (mas "da mesma maneira", como nas covectors base: ) . Essa terminologia é contrária à usada na teoria das categorias porque são os covetores que apresentam retrocessos em geral e, portanto , são contravariantes , enquanto os vetores em geral são covariantes, uma vez que podem ser empurrados para frente . Veja também Covariância e contravariância de vetores .
Functor oposto
Cada functor induz o functor oposto , onde e são as categorias opostas para e . Por definição, mapeia objetos e morfismos de forma idêntica a . Uma vez que não coincide com como uma categoria, e da mesma forma para , é distinto de . Por exemplo, ao compor com , deve-se usar ou . Note-se que, seguindo a propriedade de categoria oposta , .
Bifuncionais e multifuncionais
Um bifunctor (também conhecido como functor binário ) é um functor cujo domínio é uma categoria de produto . Por exemplo, o functor Hom é do tipo C op × C → Set . Ele pode ser visto como um functor em dois argumentos. O functor Hom é um exemplo natural; é contravariante em um argumento, covariante no outro.
Um multifunctor é uma generalização do conceito de functor para n variáveis. Portanto, por exemplo, um bifunctor é um multifunctor com n = 2 .
Exemplos
Diagrama : para as categorias C e J , um diagrama do tipo J em C é um functor covariante.
(Categoria teórica) presheaf : Para as categorias C e J , um J -presheaf em C é um functor contravariante.
Pré-moldes: Se X for um espaço topológico , então os conjuntos abertos em X formam um conjunto parcialmente ordenado Aberto ( X ) sob inclusão. Como todo conjunto parcialmente ordenado, Open ( X ) forma uma pequena categoria ao adicionar uma única seta U → V se e somente se . Functors contravariantes em Open ( X ) são chamados presheaves em X . Por exemplo, atribuindo a cada conjunto aberto U da álgebra associativa de funções reais contínuas em U , obtém-se uma presheaf de álgebras sobre X .
Functor constante: O functor C → D que mapeia cada objecto de C a um objecto fixo X em D e cada morfismo em C para o morfismo identidade em X . Esse functor é chamado de constante ou functor de seleção .
Endofunctor : um functor que mapeia uma categoria para essa mesma categoria; por exemplo, functor polinomial .
Funtor de identidade : na categoria C , escrito 1 C ou id C , mapeia um objeto para si mesmo e um morfismo para si mesmo. O functor de identidade é um endofunctor.
Functor diagonal : O functor diagonal é definido como o functor de D para a categoria de functor D C que envia cada objeto em D para o functor constante naquele objeto.
Funtor de limite : Para uma categoria de índice fixo J , se todo functor J → C tem um limite (por exemplo, se C for completo), então o functor de limite C J → C atribui a cada functor seu limite. A existência desse functor pode ser provada percebendo que ele é o adjunto à direita do functor diagonal e invocando o teorema do functor adjunto de Freyd . Isso requer uma versão adequada do axioma de escolha . Observações semelhantes se aplicam ao functor colimit (que atribui a cada functor seu colimit e é covariante).
Power sets functor: O power set functor P : Set → Set mapeia cada conjunto para seu conjunto de potência e cada função para o mapa que envia para sua imagem . Pode-se também considerar o functor de conjunto de potência contravariante que envia para o mapa que envia para sua imagem inversa
Por exemplo, se então . Suponha e . Então é a função que envia qualquer subconjunto de para sua imagem , que neste caso significa , onde denota o mapeamento sob , então este também poderia ser escrito como . Para os outros valores, observe que consequentemente gera a topologia trivial em . Observe também que, embora a função neste exemplo esteja mapeada para o conjunto de potência de , esse não precisa ser o caso em geral.
Espaço vetorial dual :o mapa que atribui a todoespaço vetorialseuespaçoduale a todomapa linearseu duplo ou transposto é um functor contravariante da categoria de todos os espaços vetoriais sobre umcampofixopara si mesmo.
Grupo fundamental: Considere a categoria de espaços topológicos pontiagudos , ou seja, espaços topológicos com pontos distintos. Os objectos são pares ( X , x 0 ) , onde X é um espaço topológico e x 0 é um ponto em X . Um morfismo de ( X , x 0 ) ao ( Y , y 0 ) é dado por uma contínua mapa f : X → Y com f ( x 0 ) = y 0 .
Para todo espaço topológico X com ponto distinto x 0 , pode-se definir o grupo fundamental baseado em x 0 , denotado π 1 ( X , x 0 ) . Este é o grupo de classes de homotopia de loops baseado em x 0 , com a operação de grupo de concatenação. Se f : X → Y é um morfismo de espaços pontiagudos , então todo loop em X com ponto base x 0 pode ser composto com f para produzir um loop em Y com ponto base y 0 . Esta operação é compatível com a relação de equivalência de homotopia e a composição de loops, e obtemos um homomorfismo de grupo de π ( X , x 0 ) a π ( Y , y 0 ) . Assim, obtemos um functor da categoria de espaços topológicos pontiagudos para a categoria de grupos .
Na categoria de espaços topológicos (sem ponto distinto), considera-se classes de homotopia de curvas genéricas, mas elas não podem ser compostas a menos que compartilhem um ponto final. Assim, temos o grupóide fundamental em vez do grupo fundamental, e essa construção é funcional.
Álgebra de funções contínuas: um functor contravariante da categoria de espaços topológicos (com mapas contínuos como morfismos) para a categoria de álgebras associativas reais é dado atribuindo a cada espaço topológico X a álgebra C ( X ) de todas as funções contínuas de valor real naquele espaço. Toda aplicação contínua f : X → Y induz um homomorfismo álgebra C ( f ): C ( Y ) → C ( X ) pela regra C ( f ) ( φ ) = φ ∘ f para todo φ em C ( Y ).
Pacotes tangentes e cotangentes: O mapa que envia cada variedade diferenciável para seu pacote tangente e cada mapa suave para sua derivada é um functor covariante da categoria de variedades diferenciáveis para a categoria de pacotes vetoriais .
Fazer essas construções pontualmente fornece o espaço tangente , um functor covariante da categoria de variedades diferenciáveis pontuais para a categoria de espaços vetoriais reais. Da mesma forma, o espaço cotangente é um functor contravariante, essencialmente a composição do espaço tangente com o espaço dual acima.
Ações / representações do grupo: Cada grupo G pode ser considerado como uma categoria com um único objeto cuja morphisms são os elementos de G . Um functor de G para Set nada mais é do que uma ação de grupo de G em um conjunto particular, ou seja, um G -set. Da mesma forma, um functor de L para a categoria de espaço vectorial , vect K , é uma representação linear de L . Em geral, um functor L → C pode ser considerado como uma "acção" de G em um objeto na categoria C . Se C for um grupo, essa ação é um homomorfismo de grupo.
Álgebras de Lie: atribuindo a cada grupo de Lie real (complexo) sua álgebra de Lie real (complexa) define um functor.
Produtos tensoriais: Se C denota a categoria de espaços vetoriais sobre um campo fixo, com mapas lineares como morfismos, então o produto tensorial define um functor C × C → C que é covariante em ambos os argumentos.
Functores esquecidos: O functor U : Grp → Set que mapeia um grupo para seu conjunto subjacente e um homomorfismo de grupo para sua função subjacente de conjuntos é um functor. Funções como essas, que "esquecem" alguma estrutura, são chamadas de functores esquecidas . Outro exemplo é o functor Rng → Ab que mapeia um anel para seu grupo abeliano aditivo subjacente . Morfismos em Rng ( homomorfismos em anel ) tornam-se morfismos em Ab (homomorfismos de grupo abeliano).
Functores livres: indo na direção oposta dos functores esquecidos, são functores livres. O functor livre F : Set → Grp envia cada conjunto X ao grupo livre gerado por X . As funções são mapeadas para homomorfismos de grupo entre grupos livres. Existem construções livres para muitas categorias baseadas em conjuntos estruturados. Veja objeto livre .
Grupos Homomorfismo: Para cada par A , B dos grupos abelianos se pode atribuir o grupo abeliano Hom ( A , B ) que consiste de todas as homomorphisms grupo de A para B . Este é um functor que é contravariante no primeiro e covariante no segundo argumento, isto é, é um functor Ab op × Ab → Ab (onde Ab denota a categoria de grupos abelianos com homomorfismos de grupo). Se f : A 1 → A 2 e g : B 1 → B 2 são morfismos em Ab , então o homomorfismo de grupo Hom ( f , g ) : Hom ( A 2 , B 1 ) → Hom ( A 1 , B 2 ) é dado por φ ↦ g ∘ φ ∘ f . Veja Hom functor .
Functors representável: Podemos generalizar o exemplo anterior a qualquer categoria C . Para cada par X , Y de objectos em C pode-se atribuir o conjunto Hom ( X , Y ) de morphisms de X para Y . Isso define um functor para Set que é contravariante no primeiro argumento e covariante no segundo, ou seja, é um functor C op × C → Set . Se f : X 1 → X 2 e g : Y 1 → Y 2 são morfismos em C , então o mapa Hom ( f , g ): Hom ( X 2 , Y 1 ) → Hom ( X 1 , Y 2 ) é dado por φ ↦ g ∘ φ ∘ f .
Funções como essas são chamadas de functores representáveis . Um objetivo importante em muitas configurações é determinar se um determinado functor é representável.
Propriedades
Duas consequências importantes dos axiomas do functor são:
- F transforma cada diagrama comutativo em C em um diagrama comutativo em D ;
- Se f é um isomorfismo em C , em seguida, F ( f ) é um isomorfismo em D .
Pode-se compor functors, ou seja, se M é um functor de um para B e L é um functor de B para C , em seguida, pode-se formar o composto functor L ∘ F a partir de um a C . A composição dos functores é associativa quando definida. Identidade de composição de functores é o functor de identidade. Isso mostra que os functores podem ser considerados como morfismos em categorias de categorias, por exemplo, na categoria de pequenas categorias .
Uma pequena categoria com um único objeto é a mesma coisa que um monóide : os morfismos de uma categoria de um objeto podem ser pensados como elementos do monóide, e a composição na categoria é considerada a operação monóide. Os funções entre as categorias de um objeto correspondem a homomorfismos monoidais . Portanto, em certo sentido, os functores entre categorias arbitrárias são um tipo de generalização de homomorfismos monóides para categorias com mais de um objeto.
Relação com outros conceitos categóricos
Sejam C e D categorias. A coleção de todos os functores de C a D forma os objetos de uma categoria: a categoria de functor . Morfismos nesta categoria são transformações naturais entre functores.
As funções geralmente são definidas por propriedades universais ; exemplos são o produto tensorial , a soma direta e o produto direto de grupos ou espaços vetoriais, construção de grupos e módulos livres, limites diretos e inversos . Os conceitos de limite e colimit generalizam vários dos anteriores.
As construções universais freqüentemente dão origem a pares de functores adjuntos .
Implementações de computador
Às vezes, os funções aparecem na programação funcional . Por exemplo, a linguagem de programação Haskell tem uma classe Functor
onde fmap
é uma função politípica usada para mapear funções ( morfismos em Hask , a categoria de tipos de Haskell) entre tipos existentes para funções entre alguns novos tipos.
Veja também
Notas
Referências
- Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra , 2 (2ª ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7.
links externos
- "Functor" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
- veja o functor no nLab e as variações discutidas e vinculadas a ele.
- André Joyal , CatLab , um projeto wiki dedicado à exposição da matemática categórica
-
Hillman, Chris. "A Categorical Primer". CiteSeerX 10.1.1.24.3264 :
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Introdução formal ausente ou vazia ( ajuda ) à teoria das categorias. - J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, Abstract and Concrete Categories-The Joy of Cats
- Stanford Encyclopedia of Philosophy : " Category Theory " - por Jean-Pierre Marquis. Bibliografia extensa.
- Lista de conferências acadêmicas sobre teoria das categorias
- Baez, John, 1996, “ The Tale of n -categories. ” Uma introdução informal às categorias de ordem superior.
- WildCats é um pacote de teoria de categoria para o Mathematica . Manipulação e visualização de objetos, morfismos , categorias, functores, transformações naturais , propriedades universais .
- The catsters , um canal do YouTube sobre teoria das categorias.
- Arquivo de vídeo de palestras gravadas relevantes para categorias, lógica e os fundamentos da física.
- Página da Web interativa que gera exemplos de construções categóricas na categoria de conjuntos finitos.