Felix Hausdorff - Felix Hausdorff


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Felix Hausdorff
Hausdorff 1913-1921.jpg
Nascermos ( 1868/11/08 )8 de novembro de 1868
Morreu 26 jan 1942 (1942/01/26)(com idade 73)
Nacionalidade alemão
alma mater Universidade de Leipzig
Conhecido por
carreira científica
Campos Matemática
instituições Universidade de Bonn , Universidade de Greifswald , Universidade de Leipzig
Tese Zur Theorie der astronomischen Strahlenbrechung  (1891)
conselheiro doutoral

Felix Hausdorff (08 novembro de 1868 - 26 de janeiro de 1942) foi um alemão matemático que é considerado um dos fundadores da moderna topologia e que contribuíram significativamente para a teoria dos conjuntos , teoria descritiva de conjuntos , teoria da medida , teoria da função , e análise funcional .

A vida tornou-se difícil para Hausdorff e sua família após a Kristallnacht em 1938. No ano seguinte, ele iniciou esforços para emigrar para os Estados Unidos, mas foi incapaz de tomar as providências para receber uma bolsa de pesquisa. Em 26 de janeiro de 1942, Felix Hausdorff, juntamente com sua esposa e sua irmã-de-lei, cometeu suicídio tomando uma overdose de Veronal , em vez de cumprir as ordens alemãs para passar para o campo de Endenich, e não sofrer as prováveis implicações, sobre que não detinha quaisquer ilusões.

Vida

Infância e juventude

O pai de Hausdorff, o judeu comerciante Louis Hausdorff (1843-1896), mudou-se no Outono de 1870 com sua jovem família para Leipzig e trabalhou ao longo do tempo em várias empresas, incluindo uma fábrica de produtos de algodão linho-e. Ele era um homem educado e tinha se tornado um Morenu com a idade de 14. Há vários tratados de sua pena, incluindo um longo trabalho nas traduções aramaico da Bíblia a partir da perspectiva de talmúdica lei.

A mãe de Hausdorff, Hedwig (1848-1902), que também é referido em vários documentos como Johanna, veio da família judaica Tietz. De outro ramo desta família veio Hermann Tietz , fundador da primeira loja de departamentos, e co-proprietário posterior da cadeia de lojas de departamento chamado "Hermann Tietz". Durante o período da ditadura nazista o nome era "Aryanised" para Hertie .

De 1878 a 1887 Felix Hausdorff frequentou a Escola Nicolai em Leipzig, uma facilidade que tinha uma reputação como um viveiro de educação humanista. Ele era um excelente aluno, líder de classe por muitos anos e muitas vezes recitado poemas latinos ou alemães auto-escrito em festas escolares. Em sua graduação em 1887 (com dois Oberprimen), ele foi o único a atingir o mais alto grau.

A escolha do tema não foi fácil para Hausdorff. Magda Dierkesmann, que muitas vezes era um convidado na casa de Hausdorff como um estudante em Bonn nos anos 1926-1932, relatou em 1967 que:

Seu talento musical versátil era tão grande que só a insistência de seu pai o fez desistir de seu plano para estudar música e se tornar um compositor.

A decisão foi tomada para estudar as ciências na escola.

Grau, doutorado e habilitação

Do termo de verão 1887 para semestre de verão 1891 Hausdorff estudou matemática e astronomia , principalmente em sua cidade natal, Leipzig, interrompido por um semestre em Freiburg (semestre de verão 1888) e Berlim (semestre de inverno 1888/1889). O testemunho sobrevivente de outros estudantes mostram-no como jovem extremamente versátil interessados, que, além das palestras matemáticos e astronômicos, assistiram a palestras de física, química e geografia, e também dá palestras sobre filosofia e história da filosofia, bem como sobre questões de língua, literatura e ciências sociais. Em Leipzig, ouviu palestras sobre a história da música do musicólogo Paulo. Seu amor precoce de música durou uma vida inteira; na casa de Hausdorff havia noites musicais impressionantes com o proprietário ao piano, de acordo com testemunhar declarações feitas por vários participantes. Mesmo como estudante em Leipzig, ele era um admirador e conhecedor da música de Richard Wagner.

Em semestres posteriores de seus estudos, Hausdorff estava perto de Heinrich Bruns (1848-1919). Bruns foi professor de astronomia e diretor do observatório da Universidade de Leipzig. Sob ele, Hausdorff formou-se em 1891, com um trabalho sobre a teoria da refração astronômica da luz na atmosfera. Duas publicações sobre o mesmo assunto seguida, e em 1895 a sua habilitação também seguido com uma tese na absorvcia de luz na atmosfera. Estes primeiros trabalhos astronômicos de Hausdorff tem-apesar de seu excelente trabalho matemático através, não ganhou importância. Em primeiro lugar, a idéia subjacente de Bruns não provou viável (havia necessidade de observações de refração perto do horizonte astronômico, que, como Julius Bauschinger poderia mostrar um pouco mais tarde, em princípio, não pode ser obtida com a precisão requerida). Por outro lado, o progresso na medição direta de dados atmosféricos ( balão meteorológico subidas) desde então tem feito a precisão meticulosa destes dados a partir de observações de refração desnecessários. No tempo entre PhD e habilitação Hausdorff concluída a necessidade militar de um ano por voluntários e trabalhou por dois anos como um computador humano no observatório em Leipzig.

Docente em Leipzig

Com sua habilitação, Hausdorff tornou-se professor na Universidade de Leipzig e começou uma extensa ensino em uma variedade de áreas matemáticas. Além de ensino e pesquisa em matemática, ele foi com suas inclinações literárias e filosóficas. Um homem de interesses variados, educado, altamente sensível e sofisticado em pensar, sentir e experimentar, ele freqüentava em seu período de Leipzig com um número de escritores famosos, artistas e editoras como Hermann Conradi , Richard Dehmel , Otto Erich Hartleben , Gustav Kirstein , Max Klinger , Max Reger e Frank Wedekind . Os anos 1897 para cerca de 1904 marca o ponto alto de sua criatividade literária e filosófica, período em que 18 de suas 22 obras sob pseudónimo foram publicados, incluindo um livro de poesia, uma peça de teatro, um livro epistemológico e um volume de aforismos.

Hausdorff casado Charlotte Goldschmidt em 1899, filha de médico judeu Siegismund Goldschmidt. Sua madrasta era a famosa sufragista e professor pré-escolar Henriette Goldschmidt. Em 1900, a filha única de Hausdorff, filha Lenore (Nora), nasceu, que sobreviveu à era do nacional-socialismo e morreu muito velho em 1991, em Bonn.

primeira cátedra

Em dezembro 1901 Hausdorff foi apontado como professor adjunto na Universidade de Leipzig. A afirmação frequentemente repetida de que Hausdorff recebi um telefonema de Göttingen e rejeitado não pode ser verificada e provavelmente está errado. Ao aplicar em Leipzig, Dean Kirchner tinha sido levado a votação muito positivo de seus colegas, escrito por Heinrich Bruns, ainda acompanhados pelas seguintes palavras:

A faculdade, no entanto, considera-se obrigados a comunicar ao Ministério Real, que a aplicação acima no segundo novembro deste encontro docentes Ano tinha ocorrido não foi aceito por todos, mas com 22 votos a 7. A minoria era contra, porque Dr. Hausdorff é da fé mosaica.

Esta citação enfatiza a indisfarçável anti-semitismo atual, o que especialmente levou uma forte recuperação após o Gründerkrach em 1873 em todo o Reich alemão. Leipzig era um centro do movimento anti-semita, especialmente entre o corpo discente. Isso pode muito bem ser a razão que Hausdorff não se sentir à vontade em Leipzig. Outra razão foi talvez as tensões devido à postura hierárquica dos professores Leipzig.

Após sua habilitação, Hausdorff escreveu outra obra sobre óptica, sobre a geometria não-euclidiana, e em sistemas numéricos hypercomplex, bem como dois artigos sobre a teoria da probabilidade. No entanto, a sua principal área de trabalho logo se tornou a teoria dos conjuntos, especialmente a teoria dos conjuntos ordenados. Foi inicialmente um interesse filosófico, que o levou por volta de 1897 para estudar Georg Cantor trabalho 's. Já no semestre de verão de 1901, Hausdorff deu uma palestra sobre a teoria dos conjuntos. Esta foi uma das primeiras palestras sobre teoria dos conjuntos em todos os; Ernst Zermelo 's palestras em Göttingen faculdade durante o semestre de inverno de 1900/1901 foi um pouco mais cedo. Naquele ano, ele publicou seu primeiro artigo sobre os tipos de ordem em que ele examinou uma generalização de bem-ordenações chamados tipos de ordens graduadas , onde uma ordem linear é graduadas se não houver dois de seus segmentos compartilham o mesmo tipo de pedido . Ele generalizada o teorema Cantor-Bernstein que disse a recolha de tipos de ordens contáveis tem a cardinalidade do contínuo e mostrou que a recolha de todos os tipos graduais de um idempotente cardinalidade m tem um cardinalidade de 2 m .

Para o semestre de verão 1910 Hausdorff foi nomeado professor da Universidade de Bonn. Em Bonn, ele começou uma palestra sobre a teoria dos conjuntos, que ele repetiu no semestre de verão de 1912, substancialmente revista e ampliada.

No verão de 1912, ele também começou a trabalhar em seu opus magnum, o livro Fundamentos da teoria dos conjuntos . Foi concluída em Greifswald, onde Hausdorff tinha sido nomeado para o semestre de verão como professor titular em 1913, e foi lançado em abril 1914.

A Universidade de Greifswald foi a menor das universidades prussianas. Além disso, o instituto de matemática era pequeno; no verão semestre 1916 e inverno semestre 1916-1917 Hausdorff foi o único matemático em Greifswald. Isso trouxe com ele que ele estava quase totalmente ocupado em ensinar os cursos básicos. Foi uma melhoria substancial da sua situação acadêmica quando Hausdorff foi nomeado em 1921 para Bonn. Aqui ele poderia desenvolver um ensino tematicamente wide-estendidos e sempre palestra sobre as últimas pesquisas. Ele deu uma palestra particularmente notável na teoria da probabilidade (NL Hausdorff: Cápsula 21: Fasz 64) no semestre de verão de 1923, em que ele aterrado esta teoria em teoria axiomática medida teórica, e isso ocorreu dez anos antes AN Kolmogorov 's "Basic conceitos da teoria da probabilidade"(reproduzida na íntegra nas obras completas, Volume V). Em Bonn, Hausdorff tinha Estudo Eduard , e mais tarde com Otto Toeplitz , matemáticos pendentes, bem como colegas e amigos.

Hausdorff sob a ditadura nazista

O Nacional-Socialista doutrina de Estado do partido estabeleceu o anti-semitismo e da tomada do poder. Hausdorff não foi inicialmente preocupado com a " Lei para a Restauração do Serviço Civil Profissional ", adotada em 1933, porque ele tinha sido um oficial alemão desde antes de 1914. No entanto, ele não foi completamente poupada, como uma de suas palestras foi interrompida por estudantes nazista. Ele parou seu 1934/1935 de inverno semestre Cálculo curso III de 20 de Novembro diante. Durante esse tempo, houve uma sessão de trabalho da União Nacional Socialista alemão Student (NSDStB) na Universidade de Bonn, que escolheu "Raça e Etnia" como tema para o semestre. A suposição é que este evento está relacionado com o cancelamento da aula de Hausdorff, porque senão ele nunca, em sua longa carreira como professor universitário, parou uma classe.

Em 31 março de 1935, depois de algumas idas e vindas, Hausdorff foi finalmente dada a condição de eméritos. Não há palavras de agradecimento foram dadas por 40 anos de trabalho bem sucedido no sistema de ensino superior alemão. Ele trabalhou incansavelmente e publicado, além da edição ampliada de seu trabalho sobre teoria dos conjuntos, sete trabalhos sobre topologia e teoria dos conjuntos descritiva, todos publicados em revistas polacas: um em Studia Mathematica , os outros em Fundamenta Mathematicae .

Sua Nachlass mostra que Hausdorff ainda estava trabalhando matematicamente nestes tempos cada vez mais difíceis e seguir os desenvolvimentos actuais de interesse. Ele foi abnegadamente suportado neste momento por Erich Bessel-Hagen , um amigo leal à família Hausdorff que obteve livros e revistas da Biblioteca do Instituto, que Hausdorff não foi autorizado a entrar como um judeu.

Sobre as humilhações a que Hausdorff e sua família, especialmente foram expostos a após a Kristallnacht em 1938, se sabe muito e de muitas fontes diferentes, tais como a partir das letras de Bessel-Hagen.

Em vão, Hausdorff perguntou o matemático Richard Courant em 1939 para uma bolsa de pesquisa para ser capaz de emigrar para os EUA.

A primeira página da sua carta de despedida para Hans Wollstein

Em meados de 1941, os judeus Bona começaram a ser deportados para o Mosteiro "Para Adoração Perpétua" em Endenich , a partir do qual as freiras tinham sido expulsos. Os transportes para os campos de extermínio no leste ocorreu mais tarde. Depois Felix Hausdorff, sua esposa e irmã de sua esposa, Edith Pappenheim (que estava morando com eles) foram ordenados em janeiro de 1942 para passar para o campo de Endenich, que cometeu suicídio em 26 de janeiro 1942 por tomar uma overdose de Veronal . O seu lugar de descanso final está localizado no cemitério Poppelsdorfer em Bonn. Entre a sua colocação em acampamentos temporários e seu suicídio, ele deu a sua manuscrita Nachlass ao egiptólogo e presbítero Hans Bonnet , que salvou o máximo possível deles, apesar da destruição de sua casa por uma bomba.

Alguns de seus companheiros judeus pode ter tido ilusões sobre a Endenich acampamento, mas não Hausdorff. E. Neuenschwander descoberto no estado de Bessel-Hagen a carta de despedida que Hausdorff escreveu a seu advogado judeu Hans Wollstein. Aqui é o começo eo fim da carta:

lápide de Hausdorff em Bona-Poppelsdorf

Caro amigo Wollstein!

Se você receber essas linhas, nós (três) ter resolvido o problema de uma maneira diferente - da maneira que você sempre tentou nos dissuadir. A sensação de segurança que você ter previsto para nós, uma vez que iria superar as dificuldades de movimento, ainda está nos iludir; pelo contrário, Endenich não pode mesmo ser o fim!

O que aconteceu nos últimos meses contra os judeus evoca medo justificado de que eles não vão deixar-nos viver para ver uma situação mais suportável.

Depois de agradecer os amigos e, em grande compostura, expressando seus últimos desejos em relação ao seu funeral e sua vontade, Hausdorff escreve:

Lamento que causar-lhe ainda mais esforço para além da morte, e estou convencido de que você está fazendo o que você pode fazer (o que talvez não é muito). Perdoa-nos a nossa deserção! Desejamos a você e todos os nossos amigos para experimentar tempos melhores.

Seu verdadeiramente dedicado

Felix Hausdorff

Infelizmente, esse desejo não se cumpriu. O advogado de Hausdorff Wollstein foi assassinada em Auschwitz .

Hausdorffstraße (Bonn)

Biblioteca de Hausdorff foi vendido por seu filho-de-lei e único herdeiro, Arthur König. O manuscrito Nachlass foi adotado por um amigo da família, o Bonn egiptólogo Hans Bonnet, para armazenamento. Ele está agora na Universidade e State Library of Bonn. O Nachlass é catalogado.

Trabalho e recepção

Hausdorff como filósofo e escritor (Paul Mongré)

Seu volume de aforismos, em 1897 foi a primeira obra publicada de Hausdorff sob o pseudônimo de Paul Mongré. Ele tem o direito Sant' Ilario. Pensamentos da paisagem de Zaratustra . O subtítulo do Sant 'Ilario 'Pensamentos da paisagem Zaratustra' joga primeiro no fato de que Hausdorff tinha completado seu livro durante uma estadia de recuperação na costa da Ligúria para Génova e que Friedrich Nietzsche nesta mesma área escreveu as duas primeiras partes de Assim Falou Zaratustra: ele também faz alusão à proximidade espiritual a Nietzsche. Em um artigo sobre Sant 'Ilario no jornal semanal Die Zukunft , Hausdorff reconheceu expressis verbis a Nietzsche.

Hausdorff não estava tentando copiar ou mesmo exceder Nietzsche. "É Nietzsche imitação nenhum vestígio", diz um comentário contemporânea. Ele segue Nietzsche em uma tentativa de libertar o pensamento individual, de tomar a liberdade de questionar normas ultrapassadas. Hausdorff mantido distância crítica das obras tardias de Nietzsche. Em seu ensaio sobre o livro The Will to Power compilado a partir de notas deixadas na Nietzsche Archive ele diz:

Em Nietzsche brilha um fanático. Sua moralidade da reprodução, erguido sobre nossas atuais fundamentos biológicos e fisiológicos do conhecimento: que poderia ser um escândalo histórico mundial contra o qual as Inquisição e julgamentos de bruxas desaparecer aberrações inofensivas.

Seu padrão crítico tirou do próprio Nietzsche,

Do tipo, modesto, entendendo Nietzsche e do espírito livre do legal, livre de dogma, assistemático Nietzsche cético ...

Em 1898 apareceu-também sob o pseudônimo de experiência epistemológica de Paul Mongré-Hausdorff Caos na seleção cósmica . A crítica da metafísica apresentadas neste livro teve seu ponto de partida no confronto de Hausdorff com a idéia de Nietzsche do eterno retorno. Em última análise, começa a destruir qualquer tipo de metafísica. Do próprio mundo, do mundo transcendente core-como Hausdorff expressa-nada sabemos e não sabemos nada. Devemos assumir "o próprio mundo", como indeterminado e indeterminável, como um mero caos. O mundo da nossa experiência, nosso cosmos é o resultado da seleção, a seleção que sempre instintivamente feita de acordo com as nossas possibilidades de compreender e fazer mais. A partir desse caos também seria visto outras ordens, outro Kosmoi, concebivelmente. De qualquer forma, a partir do mundo dos nossos cosmos você não pode concluir a existência de um mundo transcendente.

Em 1904, na revista The New Rundschau, de Hausdorff jogo apareceu, o one-act jogar O médico em sua honra . É uma sátira bruto sobre o duelo e os tradicionais conceitos de honra e nobreza do corpo de oficiais da Prússia, que na sociedade burguesa desenvolvimento estavam cada vez mais anacrônico. O médico em sua honra era maior sucesso literário de Hausdorff. Em 1914-1918 houve inúmeras apresentações em mais de trinta cidades. Hausdorff mais tarde escreveu um epílogo para o jogo, mas não foi realizada naquele momento. Só em 2006 é que este epílogo tem sua estreia na reunião anual da Sociedade Matemática Alemã em Bonn.

Além das obras acima indicado Hausdorff escreveu inúmeros ensaios que apareceram em algumas das principais revistas literárias da época, bem como um livro de poemas, Ecstasy (1900). Alguns dos seus poemas foram musicados pelo compositor austríaco Joseph Marx .

Teoria dos conjuntos ordenados

A entrada de Hausdorff em um estudo aprofundado dos conjuntos ordenados foi motivada em parte pelo problema contínuo de Cantor: que lugar é que o número cardinal tomar na série . Em uma carta a Hilbert em 29 de setembro de 1904, ele fala deste problema "que tem atormentado quase como uma monomania". Ele viu no conjunto de uma nova estratégia para atacar o problema. Cantor tinha suspeitado , mas só tinha mostrado . é o "número" de possíveis bem-ordenações de um conjunto contável  ; tinha agora emergiu como o "número" de todas as ordens possíveis de tal quantidade. Era natural, portanto, para estudar sistemas que são mais especial do que ordens gerais, mas mais geral do que bem-ordenações. Hausdorff fez exatamente isso em seu primeiro volume de 1901 com a publicação de estudos teóricos de "conjuntos classificados". Sabemos a partir dos resultados de Kurt Gödel e Paul Cohen , que esta estratégia para resolver o problema contínuo é tão ineficaz como estratégia de Cantor, que visava a generalização do princípio Cantor-Bendixson para conjuntos fechados para conjuntos incontáveis gerais.

Em 1904 Hausdorff publicou a recursão nomeado após ele:

Para cada ordinal não-limite que temos

Esta fórmula foi, em conjunto com a noção depois de cofinalidade introduzido por Hausdorff, a base para todos os outros resultados para Aleph exponenciação . Hausdorff 'excelente conhecimento dos problemas deste tipo de sequência também foi autorizado por seus esforços para descobrir o erro no Julius König ' palestra s no Congresso Internacional de Matemáticos, em 1904, em Heidelberg. Há König tinha argumentado que o contínuo não pode ser bem ordenada, pelo que a sua cardinalidade há Aleph, e, portanto, causou grande celeuma. A afirmação de que era Hausdorff que esclareceu o erro tem um peso especial porque uma falsa imagem foi tirada na literatura histórica para mais de 50 anos dos eventos em Heidelberg.

Nos anos 1906-1909 Hausdorff fez o seu trabalho fundamental sobre conjuntos ordenados. Apenas alguns pontos pode ser tocado brevemente. De fundamental importância para toda a teoria é o conceito de cofinalidade que Hausdorff introduzido. Um ordinal é chamado regular, se é Cofiñal com qualquer ordinal menor; caso contrário, é singular. A pergunta de Hausdorff se existem números regulares com o índice de um ordinal limite, foi o ponto de partida para a teoria de cardeais inacessíveis. Hausdorff já tinha notado que esses números, se existirem, devem ser de "tamanho exorbitante".

De importância fundamental é o seguinte teorema de Hausdorff: para cada ilimitada ordenou conjunto denso há dois números iniciais regulares exclusivamente determinados de modo que é Cofiñal com e coinitial com (* Indica a ordem inversa). Este teorema fornece, por exemplo, uma técnica para caracterizar elementos e lacunas em conjuntos ordenados. Assim Hausdorff utilizados os caracteres de hiato e caracteres elemento introduzido por ele.

Se é um conjunto predeterminado de caracteres (elemento e gap caracteres), a questão de saber se existem conjuntos ordenados cujo conjunto de caracteres é exatamente . Pode-se facilmente encontrar uma condição necessária para . Hausdorff foi capaz de mostrar que esta condição também é suficiente. Para isso é necessário um rico reservatório de conjuntos ordenados; Hausdorff tinha criado este com a sua teoria de produtos e poderes gerais. Neste reservatório de tais estruturas interessantes são encontrados como os Hausdorff -tipos normais, em relação com o qual formulada Hausdorff primeiro a hipótese do contínuo generalizada . De Hausdorff -sets formado o ponto de partida para o estudo da teoria importante modelo de estrutura saturado .

Produtos e poderes de cardinalidades gerais de Hausdorff o levou ao conceito de jogo parcialmente requisitado. A questão de saber se qualquer subconjunto de um conjunto ordenado parcialmente ordenada está contida em um subconjunto ordenada máxima foi respondido na positivo por Hausdorff usando o teorema de bem-ordenação. Este é o princípio máximo Hausdorff . Segue-se não só a partir do teorema de boa ordenação (ou do (equivalente a isso) axioma da escolha), mas é, como se viu, até mesmo para o axioma da escolha são equivalentes.

Já, em 1908, Arthur Moritz Schoenflies encontrada na segunda parte do seu relatório sobre a teoria dos conjuntos, que a teoria mais recente de conjuntos ordenados (ou seja, o que ocorreu após as extensões de Cantor dela) era quase exclusivamente devido à Hausdorff.

Os "Magnum Opus": "Princípios da teoria dos conjuntos"

De acordo com o ex-noções, teoria dos conjuntos incluía não só a teoria geral set e a teoria dos conjuntos de pontos, mas também dimensionar e medir teoria. O trabalho de Hausdorff foi o primeiro livro que apresentou todas teoria dos conjuntos nesse sentido amplo, de forma sistemática e com provas completas. Hausdorff estava ciente de quão facilmente a mente humana pode errar ao mesmo tempo, em busca de rigor e de verdade. Então ele propôs no prefácio da obra:

Do privilégio humano de erro para fazer um uso mais econômica possível.

Este livro foi muito além de seu retrato magistral do conhecido. Ele também continha uma série de importantes contribuições originais do autor que só pode ser sugerido no seguinte.

Os seis primeiros capítulos lidar com os conceitos básicos da teoria conjunto geral. No início Hausdorff estabelece uma álgebra conjunto detalhado com alguns novos conceitos pioneiros (cadeias diferenças, anéis fixos e os campos definidos, - e -Systems). Estes parágrafos introdutórios sobre conjuntos e suas conexões incluídos, por exemplo, a moderna noção de conjunto da teoria de funções. Próximo seguido nos Capítulos 3 a 5 a teoria clássica de números cardinais, tipos de ordens e ordinais. No capítulo sexto "As relações entre conjuntos ordenados e bem ordenadas" Hausdorff apresenta, entre outras coisas, os resultados mais importantes de sua própria investigação sobre conjuntos ordenados.

Nos capítulos sobre "conjuntos de pontos" -o topológicas capítulos-Hausdorff desenvolvido pela primeira vez, com base nos axiomas bairro conhecido, uma teoria sistemática de espaços topológicos, onde além, acrescentou o axioma separação mais tarde nomeado após ele. Esta teoria emerge de uma síntese abrangente de abordagens anteriores de outros matemáticos e próprias reflexões de Hausdorff sobre o problema de espaço. Os conceitos e teoremas da teoria do ponto conjunto clássico são-na medida do possível, transferido para o caso geral e, assim, tornar-se parte da topologia geral ou set-teórico recém-criado. Mas Hausdorff não só realizou esse "trabalho de tradução", mas ele também desenvolveu método de construção básico da topologia como nucleação (interior, densa em si core) e formação de shell (fechamento), e ele trabalha a importância fundamental do conceito de aberto set (chamada de "área" por ele) e da compacidade introduzido por Fréchet. Ele também fundou e desenvolveu a teoria do conjunto conectado, nomeadamente através da introdução dos termos "componente" e "quasi-componente".

Pelo primeiro e, eventualmente, a segunda countability Hausdorff axiomas os espaços considerados foram gradualmente mais especializada. A grande classe de espaços que satisfaçam o primeiro axioma contáveis são espaços métricos . Eles foram introduzidos em 1906 por Fréchet sob as "classes (E)" nome. O termo "espaço métrico" vem de Hausdorff. Em Princípios , ele desenvolveu a teoria de espaços métricos e enriqueceu-lo sistematicamente através de uma série de novos conceitos: Hausdorff métrica , completa , boundedness totais , -connectivity, conjuntos redutíveis. O trabalho de Fréchet tinha sido pouco notada; apenas através de Hausdorff Princípios fez espaços métricos tornam-se propriedade comum do matemático.

O capítulo sobre ilustrações e o capítulo final de Princípios sobre medida e teoria da integração são enriquecidos pela generalidade do material e a originalidade da apresentação. Menção da importância da teoria da medida para de Hausdorff probabilidade teve grande efeito histórico, apesar de sua brevidade lacônica. Encontra-se neste capítulo a primeira prova correta do forte lei dos grandes números de Émile Borel . Finalmente, o apêndice contém o único resultado mais espectacular de todo o livro, ou seja, o teorema de Hausdorff que não se pode definir um volume para todos os subconjuntos limitados de para . A prova é baseada em decomposição bola paradoxal de Hausdorff, cuja produção requer o axioma da escolha.

Durante o século 20, tornou-se o padrão para construir teorias matemáticas na teoria dos conjuntos axiomática. A criação de teorias generalizadas axiomaticamente fundadas, como a topologia geral, servido entre outras coisas, de destacar o núcleo estrutural comum para vários casos ou regiões específicas e em seguida, criar uma teoria abstrata, que continha todas estas peças como casos especiais. Isto trouxe um grande sucesso na forma de simplificação e harmonização e, finalmente, trouxe para a economia do pensamento consigo mesmo. -Se Hausdorff destacou este aspecto nos Princípios . O capítulo topológica os conceitos básicos são metodologicamente um esforço pioneiro, e eles mostraram o caminho para o desenvolvimento da matemática moderna.

Princípios da teoria dos conjuntos apareceu em um tempo já tensa na véspera da Primeira Guerra Mundial. Em agosto de 1914, a guerra, o que também afetou drasticamente a vida científica na Europa. Nestas circunstâncias, não poderia ser livro eficaz de Hausdorff nos primeiros cinco a seis anos após a sua aparência. Depois da guerra, uma nova geração de jovens investigadores estabelecidos para expandir as sugestões que foram incluídos neste trabalho em tal abundância, e sem dúvida, a topologia foi o foco de atenção. A revista Fundamenta Mathematicae desempenhou um papel especial na recepção de idéias Hausdorff, fundada na Polônia em 1920. Foi um dos primeiros jornais matemáticos com especial ênfase na teoria dos conjuntos, topologia, teoria de funções, teoria da medida e integração, análise funcional verdadeira , a lógica e fundamentos da matemática. Neste espectro, um foco especial foi a topologia geral. De Hausdorff Princípios estavam presentes em Fundamenta Mathematicae do primeiro volume em uma frequência notável. Dos 558 obras (próprias três obras de Hausdorff não calculados), que apareceu nos primeiros vinte volumes 1920-1933, 88 citar Princípios . Um tem ainda que ter em conta que, como as concepções de Hausdorff cada vez mais se tornou banal, para que eles também foram utilizados em uma série de obras que não mencioná-los explicitamente.

A escola topológica russo, fundado por Paul Alexandroff e Urysohn Paul , foi fortemente baseada em de Hausdorff Princípios . Isso é mostrado pela correspondência sobreviver de Hausdorff Nachlass com Urysohn, e especialmente Alexandroff e Urysohn de Mémoire sur les multiplicités Cantoriennes , uma obra do tamanho de um livro, no qual Urysohn desenvolveu a teoria dimensão e Princípios não é citado menos de 60 vezes.

Muito tempo depois da Segunda Guerra Mundial, houve uma forte demanda para o livro de Hausdorff, e havia três reimpressões no Chelsea de 1949, 1965 e 1978.

teoria descritiva de conjuntos, teoria da medida e análise

Em 1916, Alexandroff e Hausdorff resolvido de forma independente o problema contínuo para conjuntos de Borel: Cada conjunto de Borel em um espaço métrico separável completa ou é contável ou tem a cardinalidade do continuum. Este resultado generaliza o teorema de Cantor-Bendixson que tal afirmação é válida para os conjuntos fechados de . Para linear define William Henry jovem tinha provado o resultado em 1903, para conjuntos de Hausdorff obtido um resultado correspondente em 1914 nos Princípios . O teorema de Alexandroff e Hausdorff foi um forte impulso para o desenvolvimento da teoria dos conjuntos descritiva.

Entre as publicações de Hausdorff em seu tempo em tempo de Greifswald a obra Dimension e medida externa de 1919 é particularmente notável. Manteve-se de grande actualidade e, anos mais tarde foi provavelmente o mais citado trabalho original matemática a partir da década de 1910 a 1920. Neste trabalho, os conceitos foram introduzidas, que agora são conhecidos como medida de Hausdorff e dimensão de Hausdorff .

Hausdorff prazo dimensão é um instrumento fino para a caracterização e comparação de "quantidades altamente robustos". Os conceitos de dimensão e medida externa experimentaram aplicações e novos desenvolvimentos em muitas áreas, tais como na teoria de sistemas dinâmicos, teoria da medida geométrica, a teoria dos conjuntos auto-similares e fractais, a teoria de processos estocásticos, análise harmônica, teoria do potencial e teoria dos números.

Trabalho analítico significativo de Hausdorff ocorreu em sua segunda vez no Bonn. Em métodos de soma e seqüências momento em que , em 1921, ele desenvolveu toda uma classe de métodos de somatórios para séries divergentes, que hoje são chamados de métodos de Hausdorff . Em Hardy clássico 's séries divergentes , um capítulo inteiro é dedicado ao método de Hausdorff. Os métodos clássicos de Hölder e Cesàro provou ser método especial Hausdorff. Cada método de Hausdorff é determinado por uma sequência de momento; neste contexto Hausdorff deu uma solução elegante o problema de momento para um intervalo finito, ignorando a teoria de fracções contínuas. Em problemas de momento para um intervalo finito de 1923, ele tratou mais problemas momento especial, como aqueles com certas restrições para a geração de densidade , por exemplo . Critérios para a resolubilidade e determinação de problemas do momento ocupada Hausdorff por muitos anos como centenas de páginas de estudos em sua Nachlass atestar.

Uma contribuição significativa para a análise funcional emergente nos anos vinte estava extensão de Hausdorff do teorema de Riesz-Fischer para espaços em seu 1923 trabalho Uma extensão do teorema de Parseval em série de Fourier . Ele provou as desigualdades agora nomeado após ele e WH Jovem . As desigualdades Hausdorff-Young se tornou o ponto de novos desenvolvimentos importantes começando.

O livro de Hausdorff Set Theory apareceu em 1927. Esta foi declarada como uma segunda edição de Princípios , mas foi realmente um completamente novo livro. Como a escala foi significativamente reduzida devido à sua aparência na biblioteca ensino de Goschen, grandes partes da teoria dos conjuntos e medidas ordenadas e teoria da integração foram removidos. "Mais do que estas exclusões, o leitor talvez se arrepender" (disse Hausdorff no prefácio), "que eu, para economizar ainda mais espaço na teoria set point, abandonaram o ponto de vista topológico, através do qual a primeira edição, aparentemente, adquiriu muitos amigos me limitei a teoria mais fácil de espaços métricos".

Na verdade, este foi um pesar explícita de alguns revisores do trabalho. Como uma espécie de compensação Hausdorff mostrou pela primeira vez o estado, então atual da teoria descritiva de conjuntos. Este facto assegurado o livro quase tão intensa uma recepção como Princípios , especialmente em Fundamenta Mathematicae. Como um livro, era muito popular. Em 1935 houve uma edição ampliada publicada, e este foi reeditado pela Dover em 1944. Uma tradução para o Inglês apareceu em 1957, com reimpressões em 1962 e 1967.

Houve também uma edição russa (1937), que embora tenha sido apenas parcialmente uma tradução fiel, e em parte uma reformulação por Alexandroff e Kolmogorov . Nesta tradução do ponto de vista topológico mudou-se novamente para a frente. Em 1928, uma revisão de Set Theory apareceu da pena de Hans Hahn. Talvez Hahn teve o perigo de anti-semitismo alemão em sua mente enquanto ele fechava esta discussão com a seguinte frase:

Uma descrição exemplar em todos os aspectos de uma área difícil e espinhoso, um trabalho em pé de igualdade com aqueles que levaram a fama da ciência alemã sobre o mundo e de tal forma que todos os matemáticos alemães podem estar orgulhosos com.

As últimas obras

Em sua última obra Erweiterung einer stetigen Abbildung , Hausdorff mostrou em 1938 que uma função contínua a partir de um subconjunto fechado de um espaço métrico pode ser estendido a todos (embora a imagem pode precisar ser estendido). Como um caso especial, cada homeomorphism de pode ser estendido para um homeomorfismo de . Este trabalho estabelecido resultados de anos anteriores. Em 1919, em Über halbstetige Funktionen und Deren Verallgemeinerung , Hausdorff teve, entre outras coisas, deu mais uma prova da extensão teorema Tietze . Em 1930, em Erweiterung einer Homöomorphie (Estendendo um homeomorfismo), ele mostrou o seguinte: Deixe um espaço métrico, um subconjunto fechado. Se é dada uma nova métrica, sem alterar a topologia, essa métrica pode ser estendido para todo o espaço sem alterar a topologia. O trabalho Gestufte Räume apareceu em 1935. Aqui Hausdorff discutido espaços que cumpriram o fechamento Kuratowski axiomas até apenas o axioma da idempotência. Ele nomeou-os espaços graduadas (muitas vezes também chamado espaços de fechamento) e os usou no estudo das relações entre os Fréchet espaços limite e espaços topológicos .

Hausdorff como nome-doador

O nome Hausdorff é encontrado em toda a matemática. Entre outros, estes conceitos foram nomeados depois dele:

Nas universidades de Bonn e Greifswald, essas coisas foram nomeados em sua homenagem:

  • o Centro de Hausdorff de Matemática em Bonn,
  • o Instituto de Pesquisa Hausdorff de Matemática em Bonn, e
  • o Felix Hausdorff Internationale Begegnungszentrum em Greifswald.

Além destes, em Bonn, há a Hausdorffstraße (Hausdorff Street), onde pela primeira vez viveu. (Haus-Nr. 61). Em Greifswald há uma Felix-Hausdorff-Straße, onde os Institutos de Bioquímica e Física estão localizados, entre outros. Desde 2011, há uma "Hausdorffweg" (Hausdorff-Way) no meio da Leipziger Ortsteil Gohlis .

O asteróide 24947 Hausdorff foi nomeado após ele.

escritos

Como Paul Mongré

Apenas uma seleção dos ensaios que apareceram no texto são mostrados aqui.

  • Sant'Ilario. Gedanken der aus Landschaft Zarathustras. Verlag CG Naumann, Leipzig 1897.
  • Das Caos no Auslese kosmischer - Ein erkenntniskritischer Versuch. Verlag CG Naumann, Leipzig 1898; Reproduzido com prefácio de Max Bense: Baden-Baden: Agis-Verlag 1976, ISBN  3-87007-013-7
  • Massenglück und Einzelglück. Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 9 (1), (1898), S. 64-75.
  • Das unreinliche Jahrhundert. Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 9 (5), (1898), S. 443-452.
  • Ekstasen. Volume de poesia. Verlag H. Seemann Nachf., Leipzig 1900.
  • Der Wille zur Macht. Em: Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 13 (12) (1902), S. 1334-1338.
  • Max Klingers Beethoven. Zeitschrift für bildende Kunst, Neue Folge 13 (1902), S. 183-189.
  • Sprachkritik Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 14 (12), (1903), S. 1233-1258.
  • Der Arzt seiner Ehre, Groteske. Em: Die neue Rundschau (Freie Bühne) 15 (8), (1904), S. 989-1013. Nova edição como: Der Arzt seiner Ehre. Komödie in einem Akt mit einem Epilog. Com 7 retratos e xilogravuras por Hans Alexander Müller após desenhos de Walter Tiemann, 10 Bl, 71 S. Fifth impressão por Leipziger Bibliophilen-Abends, Leipzig 1910. Nova edição:. S. Fischer, Berlim 1912, 88 S.

Como Felix Hausdorff

Hausdorff em conjuntos ordenados . Trans. e Ed .: Jacob M. Plotkin, American Mathematical Society 2005.

Collected Works

O "Hausdorff-Edition", editado por E. Brieskorn, F. Hirzebruch, W. Purkert (todos Bona), R. Remmert (Munster) e E. Scholz (Wuppertal) com a colaboração de mais de vinte matemáticos, historiadores, filósofos e estudiosos, é um projecto em curso da Academia Norte da Renânia-Vestefália de Ciências, Humanidades e Artes para apresentar as obras de Hausdorff, com comentários e muito material adicional. Os planejadas nove volumes estão sendo publicados pela Springer-Verlag , Heidelberg. A partir de 2008, cinco tinham aparecido. Veja a página inicial do Hausdorff Projeto Homepage do Hausdorff Edition (Alemão) para o seu estado actual e mais informações. Os volumes previstos são:

Referências

  • Alexandroff, P. ; Hopf, H. : Topologie. Springer-Verlag , Berlin 1935.
  • Brieskorn, E. (Hrsg.): Felix Hausdorff zum Gedächtnis. Aspekte cerco Werkes. Vieweg , Braunschweig / Wiesbaden 1996.
  • Joachim Buhrow: Ein großer Mathematiker, vom NS-Regime 1942 em den Tod getrieben . Em Wolfgang Wilhelmus: Der faschistische Pogrom vom 9./10. Nov 1938 - zur Geschichte der Juden em Pommern. Zusammen mit Julia Männchen. Kolloquium der Sektionen Geschichtswissenschaft und Theologie der Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald sou 2. Novembro de 1988. Wissenschaftliche Beiträge der Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald de 1989.
  • Eichhorn, E .; Thiele, E. J .:- Vorlesungen zum Gedenken um Felix Hausdorff , Heldermann Verlag , Berlim 1994, ISBN  3-88538-105-2 .
  • Koepke, P., Kanovei V., Deskriptive Mengenlehre em Hausdorffs Grundzügen der Mengenlehre de 2001, uni-bonn.de (pdf)
  • Lorentz, GG: Das Mathematische Werk von Felix Hausdorff. Jahresbericht der DMV 69 (1967), 54 (130) -62 (138).
  • Stegmaier, W. : Ein Mathematiker in der Landschaft Zarathustras. Als Felix Hausdorff Philosoph. Nietzsche-Studien 31 (2002), 195-240.
  • Vollhardt, F .: Von der Sozialgeschichte zur Kulturwissenschaft? Die literarisch-essayistischen Schriften des Mathematikers Felix Hausdorff (1868-1942): Vorläufige Bemerkungen em Absicht systematischer. Em: Huber, M .; Lauer, G. (Hrsg.): Nach der Sozialgeschichte - Konzepte für eine Literaturwissenschaft zwischen Historischer Anthropologie, Kulturgeschichte und Medientheorie. Max Niemeier Verlag, Tubingen 2000, S. 551-573.
  • Wagon, S .: A Banach-Tarski Paradox. Cambridge Univ. Press, Cambridge 1993.
  • Lexikon Deutsch-jüdischer Autoren , faixa 10, Saur, Munique 2002, S. 262-268

Veja também

Referências

links externos