Identidade de polarização - Polarization identity

Vetores envolvidos na identidade de polarização.

Na álgebra linear , um ramo da matemática , a identidade de polarização é qualquer uma de uma família de fórmulas que expressam o produto interno de dois vetores em termos da norma de um espaço vetorial normatizado . De forma equivalente, a identidade de polarização descreve quando uma norma pode ser assumida como originada de um produto interno. Nessa terminologia:

A norma associada a qualquer espaço de produto interno satisfaz a lei do paralelogramo. Na verdade, a lei do paralelogramo caracteriza aqueles espaços normados que surgem de espaços de produto internos. Explicitamente, isso significa que um espaço normado que a lei do paralelogramo mantém se e somente se existe um produto interno em tal que para todos ${\ displaystyle (H, \ | \, \ cdot \, \ |),}$ ${\ displaystyle \ langle \, \ cdot \ ,, \, \ cdot \, \ rangle}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle \ | x \ | ^ {2} = \ langle x, \ x \ rangle}$ ${\ displaystyle x \ in H.}$

Fórmulas

Qualquer produto interno em um espaço vetorial induz uma norma pela equação

{\ displaystyle \ | x \ | = {\ sqrt {\ langle x, x \ rangle}}.}

As identidades de polarização invertem essa relação, recuperando o produto interno da norma.

Espaços vetoriais reais

Se o espaço vetorial está sobre os números reais , a expansão dos quadrados dos binômios revela

{\ displaystyle {\ begin {alignat} {4} \ langle x, y \ rangle & = {\ frac {1} {2}} \ left (\ | x + y \ | ^ {2} - \ | x \ | ^ {2} - \ | y \ | ^ {2} \ right) \\ [3pt] & = {\ frac {1} {2}} \ left (\ | x \ | ^ {2} + \ | y \ | ^ {2} - \ | xy \ | ^ {2} \ right) \\ [3pt] & = {\ frac {1} {4}} \ left (\ | x + y \ | ^ {2 } - \ | xy \ | ^ {2} \ right). \ end {alignat}}}

Essas várias formas são todas equivalentes pela lei do paralelogramo :

{\ displaystyle 2 \ | x \ | ^ {2} +2 \ | y \ | ^ {2} = \ | x + y \ | ^ {2} + \ | xy \ | ^ {2}.}

Espaços vetoriais complexos

Para espaços vetoriais sobre os números complexos , as fórmulas acima não são totalmente corretas porque não descrevem a parte imaginária do produto interno (complexo). No entanto, uma expressão análoga garante que as partes reais e imaginárias sejam retidas. A parte complexa do produto interno depende se ele é antilinear no primeiro ou no segundo argumento. A notação comumente usada em física será assumida como antilinear no primeiro argumento, enquanto a que é comumente usada em matemática, será considerada antilinear no segundo argumento. Eles estão relacionados pela fórmula: ${\ displaystyle \ langle x | y \ rangle,}$ ${\ displaystyle \ langle x, \, y \ rangle,}$

{\ displaystyle \ langle x, \, y \ rangle = \ langle y \, | \, x \ rangle \ quad {\ text {para todos}} x, y \ em H.}

A parte real de qualquer produto interno (não importa qual argumento é antilinear e não importa se é real ou complexo) é um mapa bilinear simétrico que é sempre igual a:

{\ displaystyle {\ begin {alignat} {4} R (x, y): & = \ operatorname {Re} \ langle x \ mid y \ rangle = \ operatorname {Re} \ langle x, y \ rangle \\ & = {\ frac {1} {4}} \ left (\ | x + y \ | ^ {2} - \ | xy \ | ^ {2} \ right) \\ & = {\ frac {1} {2 }} \ left (\ | x + y \ | ^ {2} - \ | x \ | ^ {2} - \ | y \ | ^ {2} \ right) \\ [3pt] & = {\ frac { 1} {2}} \ left (\ | x \ | ^ {2} + \ | y \ | ^ {2} - \ | xy \ | ^ {2} \ right) \\ [3pt] \ end {alinhados }}}

As igualdades e valem para todos os vetores ${\ displaystyle R (x, y) = R (y, x)}$ ${\ displaystyle R (y, ix) = - R (x, iy)}$ ${\ displaystyle x, y \ in H.}$

Antilinear no primeiro argumento

Para o produto interno que é antilinear no primeiro argumento, para qualquer ${\ displaystyle \ langle x \, | \, y \ rangle,}$ ${\ displaystyle x, y \ in H,}$

{\ displaystyle {\ begin {alignat} {4} \ langle x \, | \, y \ rangle & = {\ frac {1} {4}} \ left (\ | x + y \ | ^ {2} - \ | xy \ | ^ {2} -i \ | x + iy \ | ^ {2} + i \ | x-iy \ | ^ {2} \ right) \\ & = R (x, y) -iR (x, iy) \\ & = R (x, y) + iR (ix, y). \\\ end {alinhado}}}

A penúltima igualdade é semelhante à fórmula que expressa um funcional linear em termos de sua parte real: ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle \ varphi (y) = \ operatorname {Re} \ varphi (y) -i (\ operatorname {Re} \ varphi) (iy).}$

Antilinear no segundo argumento

A fórmula para o produto interno que é antilinear no segundo argumento, segue daquela de pela relação: Então, para qualquer ${\ displaystyle \ langle x, \ y \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle x \, | \, y \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle x, \ y \ rangle: = \ langle y \, | \, x \ rangle = {\ overline {\ langle x \, | \, y \ rangle}}.}$ ${\ displaystyle x, y \ in H,}$

{\ displaystyle {\ begin {alignat} {4} \ langle x, \, y \ rangle & = {\ frac {1} {4}} \ left (\ | x + y \ | ^ {2} - \ | xy \ | ^ {2} + i \ | x + iy \ | ^ {2} -i \ | x-iy \ | ^ {2} \ direita) \\ & = R (x, y) + iR (x , iy) \\ & = R (x, y) -iR (ix, y). \\\ end {alinhado}}}

Esta expressão pode ser formulada simetricamente como:

{\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = {\ frac {1} {4}} \ sum _ {k = 0} ^ {3} i ^ {k} \ left \ | x + i ^ {k} y \ right \ | ^ {2}.}

Reconstruindo o produto interno

Em um espaço normalizado, se a lei do paralelogramo ${\ displaystyle (H, \ | \, \ cdot \, \ |),}$

{\ displaystyle \ | x + y \ | ^ {2} + \ | xy \ | ^ {2} = 2 \ | x \ | ^ {2} +2 \ | y \ | ^ {2}}

segura, então há um produto interno de tal forma que para todos

{\ displaystyle H}

{\ displaystyle \ | x \ | ^ {2} = \ langle x, \ x \ rangle}

{\ displaystyle x \ in H.}

Prova

Daremos apenas o caso real aqui; a prova para espaços vetoriais complexos é análoga.

Pelas fórmulas acima, se a norma é descrita por um produto interno (como esperamos), então ela deve satisfazer

{\ displaystyle \ langle x, \ y \ rangle = {\ frac {1} {4}} \ left (\ | x + y \ | ^ {2} - \ | xy \ | ^ {2} \ right) \ quad {\ text {para todos}} x, y \ em H.}

Precisamos provar que esta fórmula define um produto interno que induz a norma. Ou seja, devemos mostrar: ${\ displaystyle \ | \, \ cdot \, \ |.}$

${\ displaystyle \ langle x, x \ rangle = \ | x \ | ^ {2}, \ quad x \ in H}$
${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle = \ langle y, x \ rangle, \ quad x, y \ in H}$
${\ displaystyle \ langle x + z, y \ rangle = \ langle x, y \ rangle + \ langle z, y \ rangle \ quad {\ text {for all}} x, y, z \ in H,}$
${\ displaystyle \ langle \ alpha x, y \ rangle = \ alpha \ langle x, y \ rangle \ quad {\ text {for all}} x, y \ in H {\ text {and all}} \ alpha \ in \ mathbb {R}}$

(Essa axiomatização omite a positividade , que está implícita em (1) e o fato de que é uma norma.) ${\ displaystyle \ | \, \ cdot \, \ |}$

Para as propriedades (1) e (2), substitua: e ${\ textstyle \ langle x, x \ rangle = {\ frac {1} {4}} \ left (\ | x + x \ | ^ {2} - \ | xx \ | ^ {2} \ right) = \ | x \ | ^ {2},}$ ${\ displaystyle \ | xy \ | ^ {2} = \ | yx \ | ^ {2}.}$

Para a propriedade (3), é conveniente trabalhar ao contrário. Resta mostrar que

{\ displaystyle \ | x + z + y \ | ^ {2} - \ | x + zy \ | ^ {2} {\ overset {?} {=}} \ | x + y \ | ^ {2} - \ | xy \ | ^ {2} + \ | z + y \ | ^ {2} - \ | zy \ | ^ {2}}

ou equivalente,

{\ displaystyle 2 (\ | x + z + y \ | ^ {2} + \ | xy \ | ^ {2}) - 2 (\ | x + zy \ | ^ {2} + \ | x + y \ | ^ {2}) {\ overset {?} {=}} 2 \ | z + y \ | ^ {2} -2 \ | zy \ | ^ {2}.}

Agora aplique a identidade do paralelogramo:

{\ displaystyle 2 \ | x + z + y \ | ^ {2} +2 \ | xy \ | ^ {2} = \ | 2x + z \ | ^ {2} + \ | 2y + z \ | ^ { 2}}

{\ displaystyle 2 \ | x + zy \ | ^ {2} +2 \ | x + y \ | ^ {2} = \ | 2x + z \ | ^ {2} + \ | z-2y \ | ^ { 2}}

Assim, resta verificar:

{\ displaystyle {\ cancel {\ | 2x + z \ | ^ {2}}} + \ | 2y + z \ | ^ {2} - ({\ cancel {\ | 2x + z \ | ^ {2}} } + \ | z-2y \ | ^ {2}) {\ overset {?} {{} = {}}} 2 \ | z + y \ | ^ {2} -2 \ | zy \ | ^ {2 }}

{\ displaystyle \ | 2y + z \ | ^ {2} - \ | z-2y \ | ^ {2} {\ overset {?} {=}} 2 \ | z + y \ | ^ {2} -2 \ | zy \ | ^ {2}}

Mas a última afirmação pode ser verificada subtraindo as seguintes duas aplicações adicionais da identidade do paralelogramo:

{\ displaystyle \ | 2y + z \ | ^ {2} + \ | z \ | ^ {2} = 2 \ | z + y \ | ^ {2} +2 \ | y \ | ^ {2}}

{\ displaystyle \ | z-2y \ | ^ {2} + \ | z \ | ^ {2} = 2 \ | zy \ | ^ {2} +2 \ | y \ | ^ {2}}

Assim, (3) é válido.

Pode-se verificar por indução que (3) implica (4), desde que Mas "(4) quando " implica "(4) quando ". E qualquer, definida positiva de valor real , -bilinear satisfaz formar a desigualdade de Cauchy-Schwarz , de modo que é contínuo. Portanto, deve ser linear também. ${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {Z}.}$ ${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Aplicações e consequências

Se é um espaço de Hilbert complexo, então é real se e somente se sua parte complexa é o que acontece se e somente se Da mesma forma, é (puramente) imaginário se e somente se Por exemplo, a partir dele pode ser concluído que é real e que é puramente imaginário . ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle \ langle x \ mid y \ rangle}$ ${\ displaystyle 0 = R (x, iy) = {\ frac {1} {4}} \ left (\ | x + iy \ | ^ {2} - \ | x-iy \ | ^ {2} \ right ),}$ ${\ displaystyle \ | x + iy \ | = \ | x-iy \ |.}$ ${\ displaystyle \ langle x \ mid y \ rangle}$ ${\ displaystyle \ | x + y \ | = \ | xy \ |.}$ ${\ displaystyle \ | x + ix \ | = | 1 + i | \ | x \ | = {\ sqrt {2}} \ | x \ | = | 1-i | \ | x \ | = \ | x- ix \ |}$ ${\ displaystyle \ langle x | x \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle x | ix \ rangle}$

Isometrias

Se for uma isometria linear entre dois espaços de Hilbert (então para todos ), então ${\ displaystyle A: H \ a Z}$ ${\ displaystyle \ | Ah \ | = \ | h \ |}$ ${\ displaystyle h \ in H}$

{\ displaystyle \ left \ langle Ah, Ak \ right \ rangle _ {Z} = \ left \ langle h, k \ right \ rangle _ {H} \ quad {\ text {for all}} h, k \ in H ;}

isto é, isometrias lineares preservam produtos internos.

Se, em vez disso, for uma isometria antilinear, então ${\ displaystyle A: H \ a Z}$

{\ displaystyle \ left \ langle Ah, Ak \ right \ rangle _ {Z} = {\ overline {\ left \ langle h, k \ right \ rangle _ {H}}} = \ left \ langle k, h \ right \ rangle _ {H} \ quad {\ text {para todos}} h, k \ em H.}

Relação com a lei dos cossenos

A segunda forma da identidade de polarização pode ser escrita como

{\ displaystyle \ | {\ textbf {u}} - {\ textbf {v}} \ | ^ {2} = \ | {\ textbf {u}} \ | ^ {2} + \ | {\ textbf {v }} \ | ^ {2} -2 ({\ textbf {u}} \ cdot {\ textbf {v}}).}

Esta é essencialmente uma forma vetorial da lei dos cossenos para o triângulo formado pelos vetores e, em particular, ${\ displaystyle {\ textbf {u}}, {\ textbf {v}},}$ ${\ displaystyle {\ textbf {u}} - {\ textbf {v}}.}$

{\ displaystyle {\ textbf {u}} \ cdot {\ textbf {v}} = \ | {\ textbf {u}} \ | \, \ | {\ textbf {v}} \ | \ cos \ theta,}

onde é o ângulo entre os vetores e ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle {\ textbf {u}}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {v}}.}$

Derivação

A relação básica entre a norma e o produto escalar é dada pela equação

{\ displaystyle \ | {\ textbf {v}} \ | ^ {2} = {\ textbf {v}} \ cdot {\ textbf {v}}.}

Então

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ | {\ textbf {u}} + {\ textbf {v}} \ | ^ {2} & = ({\ textbf {u}} + {\ textbf {v}} ) \ cdot ({\ textbf {u}} + {\ textbf {v}}) \\ [3pt] & = ({\ textbf {u}} \ cdot {\ textbf {u}}) + ({\ textbf {u}} \ cdot {\ textbf {v}}) + ({\ textbf {v}} \ cdot {\ textbf {u}}) + ({\ textbf {v}} \ cdot {\ textbf {v} }) \\ [3pt] & = \ | {\ textbf {u}} \ | ^ {2} + \ | {\ textbf {v}} \ | ^ {2} +2 ({\ textbf {u}} \ cdot {\ textbf {v}}), \ end {alinhado}}}

e similarmente

{\ displaystyle \ | {\ textbf {u}} - {\ textbf {v}} \ | ^ {2} = \ | {\ textbf {u}} \ | ^ {2} + \ | {\ textbf {v }} \ | ^ {2} -2 ({\ textbf {u}} \ cdot {\ textbf {v}}).}

As formas (1) e (2) da identidade de polarização agora seguem resolvendo essas equações, enquanto a forma (3) segue da subtração dessas duas equações. (Adicionar essas duas equações juntas dá a lei do paralelogramo.) ${\ displaystyle {\ textbf {u}} \ cdot {\ textbf {v}},}$

Generalizações

Formas bilineares simétricas

As identidades de polarização não se restringem a produtos internos. Se é qualquer forma bilinear simétrica em um espaço vetorial, e é a forma quadrática definida por ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle Q}$

{\ displaystyle Q (v) = B (v, v),}

então

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} 2B (u, v) & = Q (u + v) -Q (u) -Q (v), \\ 2B (u, v) & = Q (u) + Q (v) -Q (uv), \\ 4B (u, v) & = Q (u + v) -Q (uv). \ end {alinhado}}}

O chamado mapa de simetrização generaliza a última fórmula, substituindo por um polinômio homogêneo de grau definido por onde está um mapa k- linear simétrico . ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle Q (v) = B (v, \ ldots, v),}$ ${\ displaystyle B}$

As fórmulas acima se aplicam até mesmo no caso em que o campo de escalares tem a característica dois, embora os lados esquerdos sejam todos zero neste caso. Consequentemente, na característica dois não há fórmula para uma forma bilinear simétrica em termos de uma forma quadrática, e elas são de fato noções distintas, um fato que tem consequências importantes na teoria-L ; por brevidade, neste contexto, as "formas bilineares simétricas" são frequentemente designadas por "formas simétricas".

Essas fórmulas também se aplicam a formas bilineares em módulos sobre um anel comutativo , embora, novamente, só se possa resolver se 2 é invertível no anel, caso contrário, essas são noções distintas. Por exemplo, em relação aos inteiros, distingue-se as formas quadráticas integrais das formas simétricas integrais , que são uma noção mais restrita. ${\ displaystyle B (u, v)}$

Mais geralmente, na presença de uma involução do anel ou onde 2 não é invertível, distinguem-se formas -quadráticas e formas -simétricas ; uma forma simétrica define uma forma quadrática, e a identidade de polarização (sem um fator de 2) de uma forma quadrática para uma forma simétrica é chamada de "mapa de simetrização" e não é em geral um isomorfismo. Esta tem sido historicamente uma distinção sutil: em relação aos inteiros, somente na década de 1950 que a relação entre "dois fora" ( forma quadrática integral ) e "dois dentro" ( forma simétrica integral ) foi compreendida - veja a discussão na forma quadrática integral ; e na algebraization da teoria cirurgia , Mishchenko originalmente usado simétricas L -Grupos, em vez dos corrigir quadrática L -Grupos (como em Wall e Ranicki) - ver discussão no G-teoria . ${\ displaystyle \ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$

Polinômios homogêneos de alto grau

Finalmente, em qualquer um desses contextos, essas identidades podem ser estendidas a polinômios homogêneos (ou seja, formas algébricas ) de grau arbitrário , onde é conhecido como a fórmula de polarização , e é revisado em maiores detalhes no artigo sobre a polarização de um algébrico formulário .

Veja também

Espaço interno do produto - Generalização do produto escalar; usado para definir espaços de Hilbert
Lei dos cossenos
Distância de Minkowski
Lei do paralelogramo - A soma dos quadrados dos 4 lados de um paralelogramo é igual à das 2 diagonais

Notas e referências

Bibliografia

Rudin, Walter (1991). Análise funcional . Série Internacional em Matemática Pura e Aplicada. 8 (segunda edição). New York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .

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