Semigrupo com involução - Semigroup with involution

Em matemática , particularmente em álgebra abstrata , um semigrupo com involução ou um * -semigrupo é um semigrupo equipado com um anti-automorfismo involutivo , que - falando grosso modo - o aproxima de um grupo porque esta involução, considerada como operador unário , exibe certo propriedades fundamentais da operação de tomar o inverso em um grupo: unicidade, dupla aplicação "anulando-se" e a mesma lei de interação com a operação binária como no caso do grupo inverso. Portanto, não é uma surpresa que qualquer grupo seja um semigrupo com involução. No entanto, existem exemplos naturais significativos de semigrupos com involução que não são grupos.

Um exemplo da álgebra linear é o monóide multiplicativo de matrizes quadradas reais de ordem  n (chamado monóide linear completo ). O mapa que envia uma matriz para sua transposta é uma involução porque a transposta é bem definida para qualquer matriz e obedece à lei ( AB ) ^T = B ^T A ^T , que possui a mesma forma de interação com multiplicação que tomar inversos tem na grupo linear geral (que é um subgrupo do monóide linear completo). No entanto, para uma matriz arbitrária, AA ^T não é igual ao elemento de identidade (ou seja, a matriz diagonal ). Outro exemplo, vindo da teoria da linguagem formal , é o semigrupo livre gerado por um conjunto não vazio (um alfabeto ), com a concatenação de string como a operação binária, e a involução sendo o mapa que inverte a ordem linear das letras em uma string. Um terceiro exemplo, da teoria básica dos conjuntos , é o conjunto de todas as relações binárias entre um conjunto e ele mesmo, com a involução sendo a relação inversa , e a multiplicação dada pela composição usual de relações .

Semigrupos com involução apareceram explicitamente nomeados em um artigo de 1953 de Viktor Wagner (em russo) como resultado de sua tentativa de unir a teoria dos semigrupos com a dos semiareios .

Definição formal

Seja S um semigrupo com sua operação binária escrita multiplicativamente. Uma involução em S é uma operação unária * em S (ou, uma transformação *: S → S , x ↦ x *) que satisfaz as seguintes condições:

1. Para todo x em S , ( x *) * = x .
2. Para todo x , y em S temos ( xy ) * = y * x *.

O semigrupo S com involução * é chamado de semigrupo com involução.

Semigroups que satisfazem apenas o primeiro destes axiomas pertencem à classe maior de U-semigroups .

Em algumas aplicações, o segundo desses axiomas foi denominado antidistributivo . Em relação à filosofia natural desse axioma, HSM Coxeter observou que "fica claro quando pensamos em [x] e [y] como as operações de calçar meias e sapatos, respectivamente."

Exemplos

1. Se S for um semigrupo comutativo, então o mapa de identidade de S é uma involução.
2. Se S é um grupo, então o mapa de inversão *: S → S definido por x * = x ⁻¹ é uma involução. Além disso, em um grupo abeliano, tanto este mapa quanto o do exemplo anterior são involuções que satisfazem os axiomas de semigrupo com involução.
3. Se S for um semigrupo inverso, então o mapa de inversão é uma involução que deixa os idempotentes invariantes . Conforme observado no exemplo anterior, o mapa de inversão não é necessariamente o único mapa com essa propriedade em um semigrupo inverso. Pode haver outras involuções que deixam todos os idempotentes invariantes; por exemplo, o mapa de identidade em um semigrupo regular comutativo, portanto inverso, em particular, um grupo abeliano. Um semigrupo regular é um semigrupo inverso se e somente se ele admite uma involução sob a qual cada idempotente é um invariante.
4. Subjacente a cada C * -álgebra está um * -semigrupo. Um importante exemplo é o álgebra M _n ( C ) de n -by- n matrizes mais de C , com a transposta conjugada como involução.
5. Se X for um conjunto, o conjunto de todas as relações binárias em X é um * -semigrupo com o * dado pela relação inversa e a multiplicação dada pela composição usual de relações . Este é um exemplo de um * -semigrupo que não é um semigrupo regular.
6. Se X for um conjunto, então o conjunto de todas as sequências finitas (ou cadeias ) de membros de X forma um monóide livre sob a operação de concatenação de sequências, com reversão de sequência como uma involução.
7. Uma banda retangular em um produto cartesiano de um conjunto A consigo mesmo, ou seja, com elementos de A × A , com o produto do semigrupo definido como ( a , b ) ( c , d ) = ( a , d ), com a involução sendo o inversão de ordem dos elementos de um par ( a , b ) * = ( b , a ). Este semigrupo também é um semigrupo regular , como todas as bandas.

Conceitos básicos e propriedades

Um elemento x de um semigrupo com involução é às vezes chamado de hermitiano (por analogia com uma matriz hermitiana ) quando é deixado invariante pela involução, significando x * = x . Os elementos da forma xx * ou x * x são sempre hermitianos, assim como todos os poderes de um elemento hermitiano. Como observado na seção de exemplos, um semigrupo S é um semigrupo inverso se e somente se S é um semigrupo regular e admite uma involução tal que todo idempotente é hermitiano.

Certos conceitos básicos podem ser definidos em * -semigrupos de forma paralela às noções que derivam de um elemento regular em um semigrupo . Uma isometria parcial é um elemento s tal que ss * s = s ; o conjunto de isometrias parciais de um semigrupo S é geralmente abreviado PI ( S ). Uma projeção é um elemento idempotente e que também é hermitiano, o que significa que ee = e e e * = e . Cada projecção é um isometría parcial, e para cada parcial isometría s , s * s e ss * são projecções. Se e e f são projeções, então e = ef se e somente se e = fe .

Isometrias parciais podem ser parcialmente ordenadas por s ≤ t definido como holding sempre que s = ss * t e ss * = ss * tt *. Equivalentemente, s ≤ t se e somente se s = et e e = ett * para alguma projeção e . Em um * -semigrupo, PI ( S ) é um grupóide ordenado com o produto parcial dado por s ⋅ t = st se s * s = tt *.

Exemplos

Em termos de exemplos para essas noções, no * -semigrupo de relações binárias em um conjunto, as isometrias parciais são as relações que são difuncionais . As projeções neste * -semigrupo são as relações de equivalência parcial .

As isometrias parciais em uma álgebra C * são exatamente aquelas definidas nesta seção. No caso de M _n ( C ), mais pode ser dito. Se E e F são projecções, então E ≤ F se e somente se im E ⊆ im F . Para quaisquer dois de projecção, se E ∩ F = V , em seguida, a projecção única J com imagem V e Kernel o complemento ortogonal de V é o encontro de E e F . Visto que as projeções formam uma reunião semilática , as isometrias parciais em M _n ( C ) formam um semigrupo inverso com o produto . ${\ displaystyle A (A ^ {*} A \ wedge BB ^ {*}) B}$

Outro exemplo simples dessas noções aparece na próxima seção.

Noções de regularidade

Existem duas noções relacionadas, mas não idênticas, de regularidade em * -semigrupos. Eles foram introduzidos quase simultaneamente por Nordahl & Scheiblich (1978) e respectivamente Drazin (1979).

Semigrupos regulares * (Nordahl e Scheiblich)

Conforme mencionado nos exemplos anteriores , semigrupos inversos são uma subclasse de * -semigrupos. Também é do conhecimento dos manuais que um semigrupo inverso pode ser caracterizado como um semigrupo regular no qual dois idempotentes comutam. Em 1963, Boris M. Schein mostrou que os dois axiomas a seguir fornecem uma caracterização análoga de semigrupos inversos como uma subvariedade de * -semigrupos:

• x = xx * x
• ( xx *) ( x * x ) = ( x * x ) ( xx *)

O primeiro deles parece a definição de um elemento regular, mas na verdade é em termos de involução. Da mesma forma, o segundo axioma parece estar descrevendo a comutação de dois idempotentes. Sabe-se, entretanto, que semigrupos regulares não formam uma variedade porque sua classe não contém objetos livres (resultado estabelecido por DB McAlister em 1968). Essa linha de raciocínio motivou Nordahl e Scheiblich a começar em 1977 o estudo da (variedade de) * -semigrupos que satisfazem apenas o primeiro desses dois axiomas; por causa da semelhança na forma com a propriedade que define semigrupos regulares, eles chamaram essa variedade de semigrupos regulares *.

É um cálculo simples estabelecer que um semigrupo regular * -semigrupo também é um semigrupo regular porque x * acaba sendo o inverso de x . A banda retangular do Exemplo 7 é um semigrupo regular * que não é um semigrupo inverso. Também é fácil verificar que em um semigrupo regular * o produto de quaisquer duas projeções é um idempotente. No exemplo de banda retangular acima mencionado, as projeções são elementos da forma ( x , x ) e [como todos os elementos de uma banda] são idempotentes. No entanto, duas projeções diferentes nesta faixa não precisam comutar, nem seu produto é necessariamente uma projeção, pois ( a , a ) ( b , b ) = ( a , b ).

Semigrupos que satisfazem apenas x ** = x = xx * x (mas não necessariamente a antidistributividade de * sobre multiplicação) também foram estudados sob o nome de I-semigrupos .

Sistemas P

O problema de caracterizar quando um semigrupo regular é um * -semigrupo regular (no sentido de Nordahl & Scheiblich) foi abordado por M. Yamada (1982). Ele definiu um sistema P F (S) como um subconjunto dos idempotentes de S, denotados normalmente por E (S). Usando a notação usual V ( a ) para os inversos de a , F (S) precisa satisfazer os seguintes axiomas:

1. Para qualquer a em S, existe um único a ° em V ( a ) de modo que aa ° e a ° a estão em F (S)
2. Para qualquer a em S e b em F (S), a ° ba está em F (S), onde ° é a operação bem definida do axioma anterior
3. Para qualquer a , b em F (S), ab está em E (S); nota: não necessariamente em F (S)

Um semigrupo regular S é um semigrupo * -regular, conforme definido por Nordahl & Scheiblich, se e somente se tiver um sistema p F (S). Nesse caso, F (S) é o conjunto de projeções de S em relação à operação ° definida por F (S). Em um semigrupo inverso, todo o semilattice de idempotentes é um sistema p. Além disso, se um semigrupo regular S tem um sistema p que é multiplicativamente fechado (isto é, um subsemigrupo), então S é um semigrupo inverso. Assim, um p-sistema pode ser considerado como uma generalização do semilattice de idempotentes de um semigrupo inverso.

* -semigrupos regulares (Drazin)

Um semigroup S com uma involução * é chamada um * semigroup -Regular (no sentido de Drazin) se para cada x em S , X * é H -equivalente para alguns inversa de x , onde H é a de Green relação H . Essa propriedade definidora pode ser formulada de várias maneiras equivalentes. Outra é dizer que toda classe L contém uma projeção. Uma definição axiomática é a condição de que para cada x em S existe um elemento x ′ tal que x ′ xx ′ = x ′ , xx ′ x = x , ( xx ′) * = xx ′ , ( x ′ x ) * = x ′ x . Michael P. Drazin primeiro provou que dado x , o elemento x ′ que satisfaz esses axiomas é único. É chamado o inverso de Moore-Penrose de x . Isso concorda com a definição clássica do inverso de Moore-Penrose de uma matriz quadrada.

Uma motivação para estudar esses semigrupos é que eles permitem generalizar as propriedades do inverso de Moore-Penrose de e para conjuntos mais gerais. ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

No semigrupo multiplicativo M _n ( C ) de matrizes quadradas de ordem n , o mapa que atribui uma matriz A ao seu conjugado hermitiano A * é uma involução. O semigrupo M _n ( C ) é um semigrupo * -regular com esta involução. O inverso Moore-Penrose de A neste * semigroup -Regular é o clássico inversa Moore-Penrose de Uma .

Semigrupo livre com involução

Como em todas as variedades, a categoria dos semigrupos com involução admite objetos livres . A construção de um semigrupo (ou monóide) livre com involução é baseada na de um semigrupo livre (e respectivamente de um monóide livre). Além disso, a construção de um grupo livre pode ser facilmente derivada refinando a construção de um monóide livre com involução.

Os geradores de um semigrupo livre com involução são os elementos de união de dois ( equinumerous ) conjuntos disjuntos em correspondência bijective : . (Aqui, a notação enfatiza que a união é, na verdade, uma união disjunta .) No caso em que os dois conjuntos são finitos, sua união Y é às vezes chamada de alfabeto com involução ou alfabeto simétrico . Deixe ser uma bijeção; é naturalmente estendido para uma bijeção essencialmente tomando a união disjunta de (como um conjunto) com seu inverso , ou em notação por partes : ${\ displaystyle Y = X \ sqcup X ^ {\ dagger}}$${\ displaystyle \ sqcup \,}$${\ displaystyle \ theta: X \ rightarrow X ^ {\ dagger}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle {} \ dagger: Y \ to Y}$${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle y ^ {\ dagger} = {\ begin {cases} \ theta (y) & {\ text {if}} y \ in X \\\ theta ^ {- 1} (y) & {\ text { if}} y \ in X ^ {\ dagger} \ end {cases}}}$

Agora construa como o semigrupo livre sobre na maneira usual com a operação (semigrupo) binária sendo concatenação : ${\ displaystyle Y ^ {+} \,}$${\ displaystyle Y \,}$${\ displaystyle Y ^ {+} \,}$

${\ displaystyle w = w_ {1} w_ {2} \ cdots w_ {k} \ in Y ^ {+}}$ para algumas cartas ${\ displaystyle w_ {i} \ in Y.}$

A bijeção em é então estendida como uma bijeção definida como a inversão da string dos elementos de que consistem em mais de uma letra: ${\ displaystyle \ dagger}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle {} ^ {\ dagger}: Y ^ {+} \ rightarrow Y ^ {+}}$${\ displaystyle Y ^ {+} \,}$

${\ displaystyle w ^ {\ dagger} = w_ {k} ^ {\ dagger} w_ {k-1} ^ {\ dagger} \ cdots w_ {2} ^ {\ dagger} w_ {1} ^ {\ dagger} .}$

Este mapa é uma involução do semigrupo . Assim, o semigrupo com o mapa é um semigrupo com involução, chamado de semigrupo livre com involução em X . (A irrelevância da identidade concreta de e da bijeção nesta escolha de terminologia é explicada abaixo em termos da propriedade universal da construção.) Observe que, ao contrário do Exemplo 6 , a involução de cada letra é um elemento distinto em um alfabeto com involução e, conseqüentemente, a mesma observação se estende a um semigrupo livre com involução. ${\ displaystyle Y ^ {+} \,}$${\ displaystyle (X \ sqcup X ^ {\ dagger}) ^ {+}}$${\ displaystyle {} ^ {\ dagger} \,}$${\ displaystyle X ^ {\ dagger}}$${\ displaystyle \ theta}$

Se na construção acima, em vez de usarmos o monóide livre , que é apenas o semigrupo livre estendido com a palavra vazia (que é o elemento de identidade do monóide ), e estendemos adequadamente a involução com , obtemos um monóide livre com involução . ${\ displaystyle Y ^ {+} \,}$ ${\ displaystyle Y ^ {*} = Y ^ {+} \ cup \ {\ varepsilon \}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon \,}$ ${\ displaystyle Y ^ {*} \,}$${\ displaystyle \ varepsilon ^ {\ dagger} = \ varepsilon}$

A construção acima é, na verdade, a única maneira de estender um determinado mapa de a , até uma involução em (e da mesma forma em ). O qualificador "livre" para essas construções é justificado no sentido usual de que são construções universais . No caso do semigrupo livre com involução, dado um semigrupo arbitrário com involução e um mapa , então existe um homomorfismo de semigrupo tal que , onde está o mapa de inclusão e a composição de funções é tomada na ordem do diagrama . A construção de um semigrupo com involução é única até o isomorfismo . Um argumento análogo vale para o monóide livre com involução em termos de homomorfismos de monóide e a singularidade até o isomorfismo da construção de como um monóide com involução. ${\ displaystyle \ theta \,}$${\ displaystyle X \,}$${\ displaystyle X ^ {\ dagger} \,}$${\ displaystyle Y ^ {+} \,}$${\ displaystyle Y ^ {*} \,}$${\ displaystyle S \,}$${\ displaystyle \ Phi: X \ rightarrow S}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ Phi}} :( X \ sqcup X ^ {\ dagger}) ^ {+} \ rightarrow S}$${\ displaystyle \ Phi = \ iota \ circ {\ overline {\ Phi}}}$${\ displaystyle \ iota: X \ rightarrow (X \ sqcup X ^ {\ dagger}) ^ {+}}$${\ displaystyle (X \ sqcup X ^ {\ dagger}) ^ {+}}$${\ displaystyle (X \ sqcup X ^ {\ dagger}) ^ {*}}$

A construção de um grupo livre não está muito longe da de um monóide livre com involução. O ingrediente adicional necessário é definir uma noção de palavra reduzida e uma regra de reescrita para produzir tais palavras simplesmente apagando quaisquer pares adjacentes de letras da forma ou . Pode ser mostrado que a ordem de reescrita (exclusão) de tais pares não importa, ou seja, qualquer ordem de exclusões produz o mesmo resultado. (Colocado de outra forma, essas regras definem um sistema de reescrita confluente .) Equivalentemente, um grupo livre é construído a partir de um monóide livre com involução tomando o quociente deste último pela congruência , que às vezes é chamada de congruência de Dyck - em certo sentido, generaliza a linguagem Dyck para vários tipos de "parênteses". No entanto, a simplificação na congruência de Dyck ocorre independentemente da ordem. Por exemplo, se ")" é o inverso de "(", então ; a congruência unilateral que aparece na linguagem de Dyck propriamente dita , que se instancia apenas em é (talvez confusamente) chamada de congruência de Shamir . O quociente de um monóide livre com involução pela congruência Shamir não é um grupo, mas um monóide; no entanto, foi chamado de meio grupo livre por seu primeiro descobridor - Eli Shamir - embora mais recentemente tenha sido chamado de monóide involutivo gerado por X. (Esta última escolha de terminologia conflita, no entanto, com o uso de "involutivo" para denotar qualquer semigrupo com involução - uma prática também encontrada na literatura.) ${\ displaystyle xx ^ {\ dagger}}$${\ displaystyle x ^ {\ dagger} x}$ ${\ displaystyle \ {(yy ^ {\ dagger}, \ varepsilon): y \ in Y \}}$${\ displaystyle () =) (= \ varepsilon}$${\ displaystyle \ {(xx ^ {\ dagger}, \ varepsilon): x \ in X \}}$${\ displaystyle () = \ varepsilon}$

Baer * -semigroups

Um Baer * -semigrupo é um * -semigrupo com (dos dois lados) zero no qual o aniquilador direito de cada elemento coincide com o ideal correto de alguma projeção; esta propriedade é expressa formalmente como: para todo x ∈ S existe uma projeção e tal que

{ y ∈ S | xy = 0} = eS .

A projeção e é de fato determinada exclusivamente por x .

Mais recentemente, os semigrupos de Baer * também foram chamados de semigrupos de Foulis , em homenagem a David James Foulis, que os estudou em profundidade.

Exemplos e aplicações

O conjunto de todas as relações binárias em um conjunto (do exemplo 5 ) é um Baer * -semigrupo.

Os semigrupos de Baer * também são encontrados na mecânica quântica , em particular como os semigrupos multiplicativos de anéis de Baer * .

Se H for um espaço de Hilbert , então o semigrupo multiplicativo de todos os operadores limitados em H é um semigrupo Baer *. A involução, neste caso, mapeia um operador para seu adjunto .

Baer * -semigrupo permite a coordenação de redes ortomodulares .

Veja também

• Categoria da adaga (também conhecida como categoria com involução) - generaliza a noção
• *-álgebra
• Aulas especiais de semigrupos

Notas

Referências

• Mark V. Lawson (1998). "Semigrupos inversos: a teoria das simetrias parciais". World Scientific ISBN   981-02-3316-7
• DJ Foulis (1958). Involution Semigroups , PhD Thesis, Tulane University, New Orleans, LA. Publicações de DJ Foulis (acessado em 5 de maio de 2009)
• WD Munn, Special Involutions , em AH Clifford, KH Hofmann, MW Mislove, teoria de Semigroup e suas aplicações: anais da conferência de 1994 comemorando o trabalho de Alfred H. Clifford , Cambridge University Press, 1996, ISBN   0521576695 . Este é um artigo de pesquisa recente sobre semigrupo com involução (especial)
• Drazin, MP, Semigrupos regulares com involução , Proc. Symp. on Regular Semigroups (DeKalb, 1979), 29-46
• Nordahl, TE e HE Scheiblich, Regular * Semigroups, Semigroup Forum , 16 (1978), 369-377.
• Miyuki Yamada, P-systems in regular semigroup , Semigroup Forum , 24 (1), dezembro de 1982, pp. 173-187
• S. Crvenkovic e Igor Dolinka, " Varieties of involution semigroups and involution semirings: a survey ", Bulletin of the Society of Mathematicians of Banja Luka Vol. 9 (2002), 7-47.
• Este artigo incorpora material de semigrupo gratuito com involução no PlanetMath , que é licenciado sob a licença Creative Commons Atribuição / Compartilhamento pela mesma Licença .