Equação usada na física relativística
A teoria da relatividade especial, formulada em 1905 por
Albert Einstein , implica que a adição de velocidades não se comporta de acordo com a simples
adição de vetores .
Na física relativística , uma fórmula de adição de velocidade é uma equação tridimensional que relaciona as velocidades de objetos em diferentes referenciais . Essas fórmulas se aplicam a transformações de Lorentz sucessivas , portanto, elas também relacionam quadros diferentes. A adição de velocidade acompanha um efeito cinemático conhecido como precessão de Thomas , por meio do qual sucessivos impulsos de Lorentz não colineares se tornam equivalentes à composição de uma rotação do sistema de coordenadas e um impulso.
Aplicações padrão de fórmulas velocidade de adição incluem o deslocamento de Doppler , navegação Doppler , a aberração de luz , e o arrastar de luz em água observado no 1851 movendo Fizeau experimento .
A notação emprega u como a velocidade de um corpo dentro de um quadro de Lorentz S , e v como a velocidade de um segundo quadro de S ' , tal como medido em S , e L ' como a velocidade transformada do corpo no interior da segunda estrutura.
História
A velocidade da luz em um fluido é mais lenta do que a velocidade da luz no vácuo e muda se o fluido estiver se movendo junto com a luz. Em 1851, Fizeau mediu a velocidade da luz em um fluido que se movia paralelamente à luz usando um interferômetro . Os resultados de Fizeau não estavam de acordo com as teorias então prevalentes. Fizeau experimentalmente determinou corretamente o termo zero de uma expansão da lei de adição relativisticamente correta em termos de
V ⁄ c como descrito abaixo. O resultado de Fizeau levou os físicos a aceitar a validade empírica da teoria bastante insatisfatória de Fresnel de que um fluido em movimento em relação ao éter estacionário arrasta parcialmente a luz com ele, ou seja, a velocidade é c ⁄ n + (1 - 1 ⁄ n 2 ) V em vez de c ⁄ n + V , onde c é a velocidade da luz no éter, n é o índice de refração do fluido e V é a velocidade do fluido em relação ao éter.
A aberração da luz , cuja explicação mais fácil é a fórmula relativística de adição de velocidade, juntamente com o resultado de Fizeau, desencadeou o desenvolvimento de teorias como a teoria do eletromagnetismo do éter de Lorentz em 1892. Em 1905, Albert Einstein , com o advento da relatividade especial , derivou a fórmula de configuração padrão ( V na direção x ) para a adição de velocidades relativísticas. As questões envolvendo o éter foram, gradualmente, ao longo dos anos, resolvidas em favor da relatividade especial.
Relatividade galileana
Foi observado por Galileu que uma pessoa em um navio em movimento uniforme tem a impressão de estar em repouso e vê um corpo pesado caindo verticalmente para baixo. Esta observação é agora considerada como a primeira declaração clara do princípio da relatividade mecânica. Galileu viu que, do ponto de vista de uma pessoa em pé na praia, o movimento de queda do navio seria combinado ou adicionado ao movimento de avanço do navio. Em termos de velocidades, pode-se dizer que a velocidade do corpo em queda em relação à costa é igual à velocidade desse corpo em relação ao navio mais a velocidade do navio em relação à costa.
Em geral, para três objetos A (por exemplo, Galileo na costa), B (por exemplo, navio), C (por exemplo, corpo em queda no navio), o vetor de velocidade de C em relação a A (velocidade do objeto em queda como Galileu o vê) é a soma de a velocidade de C em relação a B (velocidade do objeto em queda em relação ao navio) mais a velocidade v de B em relação a A (velocidade do navio para longe da costa). A adição aqui é a adição vetorial de álgebra vetorial e a velocidade resultante é geralmente representada na forma
O cosmos de Galileu consiste em espaço e tempo absolutos e a adição de velocidades corresponde à composição das transformações galileanas . O princípio da relatividade é chamado de relatividade galileana . É obedecido pela mecânica newtoniana .
Relatividade especial
De acordo com a teoria da relatividade especial , a estrutura do navio tem uma taxa de clock e medida de distância diferentes, e a noção de simultaneidade na direção do movimento é alterada, então a lei de adição para velocidades é alterada. Esta mudança não é perceptível em velocidades baixas, mas à medida que a velocidade aumenta em direção à velocidade da luz, torna-se importante. A lei de adição também é chamada de lei de composição para velocidades . Para movimentos colineares, a velocidade do objeto (por exemplo, uma bala de canhão disparada horizontalmente para o mar) medida a partir do navio seria medida por alguém em pé na costa e observando toda a cena através de um telescópio como
A fórmula de composição pode assumir uma forma algébrica equivalente, que pode ser facilmente derivada usando apenas o princípio de constância da velocidade da luz,
O cosmos da relatividade especial consiste no espaço-tempo de Minkowski e a adição de velocidades corresponde à composição das transformações de Lorentz . Na teoria da relatividade especial, a mecânica newtoniana é modificada para a mecânica relativística .
Configuração padrão
As fórmulas para aumentos na configuração padrão seguem mais diretamente da obtenção de diferenciais do aumento de Lorentz inverso na configuração padrão. Se o quadro inicializado está viajando com velocidade com fator de Lorentz na direção x positiva em relação ao quadro não inicializado, então os diferenciais são
Divida as três primeiras equações pela quarta,
ou
qual é
Transformação de velocidade (
componentes cartesianos )
em que as expressões para as velocidades iniciadas foram obtidas usando a receita padrão, substituindo v por - v e trocando as coordenadas iniciadas e não iniciadas. Se as coordenadas são escolhidas de modo que todas as velocidades estejam em um plano x - y (comum) , então as velocidades podem ser expressas como
(veja as coordenadas polares ) e se encontra
Transformação de velocidade (
componentes polares planos )
Detalhes para você
A prova apresentada é altamente formal. Existem outras provas mais complicadas que podem ser mais esclarecedoras, como a que se segue.
Uma prova usando 4 vetores e matrizes de transformação de Lorentz
Uma vez que um espaço roda de transformação relativista e tempo uns nos outros tanto quanto rotações geométricas no plano girar o x - e y -axes, é conveniente usar-se as mesmas unidades de espaço e tempo, caso contrário, uma unidade de conversão de factor aparece ao longo fórmulas relativistas, sendo a velocidade da luz . Em um sistema onde comprimentos e tempos são medidos nas mesmas unidades, a velocidade da luz é adimensional e igual a 1 . A velocidade é então expressa como fração da velocidade da luz.
Para encontrar a lei de transformação relativística, é útil introduzir as quatro velocidades V = ( V 0 , V 1 , 0, 0) , que é o movimento do navio para longe da costa, medido a partir da costa, e U ′ = ( U ′ 0 , U ′ 1 , U ′ 2 , U ′ 3 ) que é o movimento da mosca para longe do navio, medido a partir do navio. A velocidade de quatro é definida como um vetor de quatro com comprimento relativístico igual a 1 , direcionado para o futuro e tangente à linha de mundo do objeto no espaço-tempo. Aqui, V 0 corresponde à componente de tempo e V 1 à componente x da velocidade do navio vista da costa. É conveniente tomar o eixo x para ser a direção do movimento do navio para longe da costa, e o eixo y para que o plano x - y seja o plano medido pelo movimento do navio e da mosca. Isso resulta em vários componentes das velocidades sendo zero:
V 2 = V 3 = U ′ 3 = 0
A velocidade normal é a razão da taxa na qual as coordenadas do espaço estão aumentando para a taxa na qual a coordenada do tempo está aumentando:
Uma vez que o comprimento relativístico de V é 1 ,
assim
A matriz de transformação de Lorentz que converte as velocidades medidas na estrutura do navio para a estrutura da costa é o inverso da transformação descrita na página de transformação de Lorentz , portanto, os sinais de menos que aparecem nela devem ser invertidos aqui:
Essa matriz gira o vetor do eixo do tempo puro (1, 0, 0, 0) para ( V 0 , V 1 , 0, 0) e todas as suas colunas são ortogonais relativisticamente entre si, portanto, define uma transformação de Lorentz.
Se uma mosca está se movendo com quatro velocidades U ′ na estrutura do navio, e é impulsionada pela multiplicação pela matriz acima, a nova quatro velocidades na estrutura da costa é U = ( U 0 , U 1 , U 2 , U 3 ) ,
Dividindo pelo componente de tempo U 0 e substituindo os componentes dos quatro vetores U ′ e V em termos dos componentes dos três vetores u ′ e v, obtém-se a lei de composição relativística como
A forma da lei de composição relativística pode ser entendida como um efeito do fracasso da simultaneidade à distância. Para o componente paralelo, a dilatação do tempo diminui a velocidade, a contração do comprimento a aumenta e os dois efeitos se cancelam. O fracasso da simultaneidade significa que a mosca está mudando fatias de simultaneidade como a projeção de u ′ em v . Como esse efeito é inteiramente devido ao fatiamento do tempo, o mesmo fator multiplica o componente perpendicular, mas para o componente perpendicular não há contração do comprimento, então a dilatação do tempo se multiplica por um fator de 1 ⁄ V 0 = √ (1 - v 1 2 ) .
Configuração geral
Decomposição da velocidade
u de 3 em componentes paralelas e perpendiculares e cálculo das componentes. O procedimento para
u ′ é idêntico.
Começando com a expressão em coordenadas para v paralelo ao eixo x , expressões para as componentes perpendiculares e paralelas podem ser lançadas na forma vetorial como segue, um truque que também funciona para transformações de Lorentz de outras grandezas físicas 3d originalmente na configuração padrão definida . Introduza o vetor velocidade u no quadro não iniciado e u ′ no quadro inicializado e divida-os em componentes paralelos (∥) e perpendiculares (⊥) ao vetor velocidade relativa v (consulte a caixa oculta abaixo).
em seguida, com os vetores de base unitária cartesiana usuais e x , e y , e z , defina a velocidade no quadro não programado como
que dá, usando os resultados da configuração padrão,
onde · é o produto escalar . Como essas são equações vetoriais, elas ainda têm a mesma forma para v em qualquer direção. A única diferença das expressões de coordenadas é que as expressões acima se referem a vetores , não componentes.
Obtém-se
onde α v = 1 / γ v é o recíproco do fator de Lorentz . A ordem dos operandos na definição é escolhida para coincidir com a da configuração padrão da qual a fórmula é derivada.
A álgebra
Decomposição em componentes paralelos e perpendiculares em termos de V
A componente paralela ou perpendicular de cada vetor precisa ser encontrada, uma vez que a outra componente será eliminada pela substituição dos vetores completos.
O componente paralelo de u ′ pode ser encontrado projetando o vetor completo na direção do movimento relativo
e o componente perpendicular de u ' ′ pode ser encontrado pelas propriedades geométricas do produto vetorial (ver figura acima à direita),
Em cada caso, v / v é um vetor unitário na direção do movimento relativo.
As expressões para u || e u ⊥ podem ser encontrados da mesma maneira. Substituindo o componente paralelo em
resulta na equação acima.
Usando uma identidade em e ,
- e na direção para frente (v positivo, S → S ')
onde a última expressão é pela fórmula de análise vetorial padrão v × ( v × u ) = ( v ⋅ u ) v - ( v ⋅ v ) u . A primeira expressão se estende a qualquer número de dimensões espaciais, mas o produto vetorial é definido apenas em três dimensões. Os objetos A , B , C com B tendo velocidade v em relação a A e C tendo velocidade u em relação a A podem ser qualquer coisa. Em particular, eles podem ser três quadros ou podem ser o laboratório, uma partícula em decomposição e um dos produtos de decomposição da partícula em decomposição.
Propriedades
A adição relativística de 3 velocidades não é linear
para quaisquer números reais λ e μ , embora seja verdade que
Além disso, devido aos últimos termos, em geral não é comutativo
nem associativo
Merece especial destaque que, se u e v ' referem-se a velocidades de quadros de pares paralelos (preparado paralelo ao sem primer e duplamente injetado paralelo ao aprontado), então, de acordo com o princípio da velocidade reciprocidade de Einstein, a moldura não imunizadas se move com velocidade - u em relação ao quadro inicializado, e o quadro inicializado se move com velocidade - v ′ em relação ao quadro duplamente inicializado, portanto (- v ′ ⊕ - u ) é a velocidade do quadro não ativado em relação ao quadro duplamente inicializado, e pode-se esperar que u ⊕ v ′ = - (- v ′ ⊕ - u ) pela aplicação ingênua do princípio da reciprocidade. Isso não é válido, embora as magnitudes sejam iguais. Os quadros sem primer e duplamente primer não são paralelos, mas relacionados por meio de uma rotação. Isso está relacionado ao fenômeno da precessão de Thomas e não será tratado mais aqui.
As normas são dadas por
e
Para comprovar, clique aqui.
Fórmula reversa encontrada usando o procedimento padrão de troca de v por -v e u por u ′ .
É claro que a não comutatividade se manifesta como uma rotação adicional do referencial de coordenadas quando dois reforços estão envolvidos, uma vez que a norma ao quadrado é a mesma para ambas as ordens de reforços.
Os fatores gama para as velocidades combinadas são calculados como
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Fórmula reversa encontrada usando o procedimento padrão de troca de v por -v e u por u ′ .
Convenções de notação
As notações e convenções para a adição de velocidade variam de autor para autor. Símbolos diferentes podem ser usados para a operação, ou para as velocidades envolvidas, e os operandos podem ser trocados para a mesma expressão, ou os símbolos podem ser trocados para a mesma velocidade. Um símbolo completamente separado também pode ser usado para a velocidade transformada, ao invés do principal usado aqui. Como a adição de velocidade não é comutativa, não se pode trocar os operandos ou símbolos sem mudar o resultado.
Exemplos de notação alternativa incluem:
- Nenhum operando específico
Landau & Lifshitz (2002) (usando unidades onde c = 1)
- Ordem de operandos da esquerda para a direita
Mocanu (1992)
Ungar (1988)
- Ordenação da direita para a esquerda dos operandos
Sexl e Urbantke (2001)
Formulários
Algumas aplicações clássicas de fórmulas de adição de velocidade ao deslocamento Doppler, à aberração da luz e ao arrastamento da luz na água em movimento, rendendo expressões relativisticamente válidas para esses fenômenos, são detalhadas a seguir. Também é possível usar a fórmula de adição de velocidade, assumindo a conservação do momento ( recorrendo à invariância rotacional comum), a forma correta da parte de 3 vetores do quatro vetores de momento , sem recorrer ao eletromagnetismo, ou a priori desconhecido para serem versões relativísticas válidas do formalismo de Lagrange . Isso envolve experimentalistas jogando bolas de bilhar relativísticas entre si. Isto não é detalhado aqui, mas veja como referência Lewis & Tolman (1909) versão do Wikisource (fonte primária) e Sard (1970 , Seção 3.2).
Experimento Fizeau
Hippolyte Fizeau (1819–1896), um físico francês, foi em 1851 o primeiro a medir a velocidade da luz na água corrente.
Quando a luz se propaga em um meio, sua velocidade é reduzida, no quadro de repouso do meio, para c m = c ⁄ n m , onde n m é o índice de refração do meio m . A velocidade da luz em um meio que se move uniformemente com a velocidade V na direção x positiva medida no referencial do laboratório é dada diretamente pelas fórmulas de adição de velocidade. Para a direção direta (configuração padrão, índice de queda m em n ) obtém-se,
Coletando as maiores contribuições explicitamente,
Fizeau encontrou os três primeiros termos. O resultado clássico são os primeiros dois termos.
Aberração de luz
Outra aplicação básica é considerar o desvio da luz, ou seja, a mudança de sua direção, ao se transformar para um novo referencial com eixos paralelos, denominado aberração da luz . Neste caso, v ′ = v = c , e a inserção na fórmula para tan θ produz
Para este caso, também se pode calcular sen θ e cos θ a partir das fórmulas padrão,
Trigonometria
James Bradley (1693–1762)
FRS , forneceu uma explicação da aberração da luz correta no nível clássico, em desacordo com as teorias posteriores prevalecentes no século XIX baseadas na existência do
éter .
as manipulações trigonométricas sendo essencialmente idênticas no caso do cos às manipulações no caso do pecado . Considere a diferença,
corrija para pedir v ⁄ c . Empregue, a fim de fazer pequenas aproximações de ângulos, uma fórmula trigonométrica,
onde cos
1/2( θ + θ ′) ≈ cos θ ′, sen1/2( θ - θ ′) ≈1/2( θ - θ ′) foram usados.
Portanto, a quantidade
o ângulo de aberração clássico , é obtido no limite V ⁄ c → 0 .
Mudança Doppler relativística
Christian Doppler (1803-1853) foi um matemático e físico austríaco que descobriu que a frequência observada de uma onda depende da velocidade relativa da fonte e do observador.
Aqui, os componentes de velocidade serão usados em oposição à velocidade para maior generalidade e para evitar, talvez, introduções aparentemente ad hoc de sinais negativos. Sinais negativos que ocorrem aqui servirão, em vez disso, para iluminar recursos quando velocidades menores que a da luz são consideradas.
Para ondas de luz no vácuo, a dilatação do tempo junto com uma simples observação geométrica por si só é suficiente para calcular o deslocamento Doppler na configuração padrão (velocidade relativa colinear do emissor e do observador, bem como da onda de luz observada).
Todas as velocidades no que segue são paralelas à direção x positiva comum , então os subscritos nos componentes de velocidade são eliminados. No quadro de observadores, introduza a observação geométrica
como a distância espacial, ou comprimento de onda , entre dois pulsos (cristas de onda), onde T é o tempo decorrido entre a emissão de dois pulsos. O tempo decorrido entre a passagem de dois pulsos no mesmo ponto no espaço é o período de tempo τ , e seu inverso ν = 1 ⁄ τ é a frequência observada (temporal) . As quantidades correspondentes no quadro de emissores são dotadas de primos.
Para ondas de luz
e a frequência observada é
onde T = γ V T ′ é a fórmula de dilatação no tempo padrão .
Suponha, em vez disso, que a onda não seja composta de ondas de luz com velocidade c , mas, para facilitar a visualização, balas disparadas de uma metralhadora relativística, com velocidade s ′ no referencial do emissor. Então, em geral, a observação geométrica é precisamente a mesma . Mas agora, s ′ ≠ s e s é dado pela adição de velocidade,
O cálculo é então essencialmente o mesmo, exceto que aqui é mais fácil realizado de cabeça para baixo com τ = 1 ⁄ ν em vez de ν . Um encontra
Detalhes na derivação
Observe que no caso típico, o s ′ que entra é negativo . A fórmula tem validade geral. Quando s ′ = - c , a fórmula se reduz à fórmula calculada diretamente para as ondas de luz acima,
Se o emissor não está disparando balas no espaço vazio, mas emitindo ondas em um meio, então a fórmula ainda se aplica , mas agora, pode ser necessário primeiro calcular s ′ a partir da velocidade do emissor em relação ao meio.
Voltando ao caso de um emissor de luz, caso o observador e o emissor não sejam colineares, o resultado tem pouca modificação,
onde θ é o ângulo entre o emissor de luz e o observador. Isso se reduz ao resultado anterior para o movimento colinear quando θ = 0 , mas para o movimento transversal correspondente a θ = π / 2 , a frequência é deslocada pelo fator de Lorentz . Isso não acontece no efeito Doppler óptico clássico.
Geometria hiperbólica
As funções
sinh ,
cosh e
tanh . A função
tanh relaciona a rapidez
−∞ < ς <+ ∞ à velocidade relativística
−1 < β <+1 .
Associada à velocidade relativística de um objeto está uma quantidade cuja norma é chamada de rapidez . Estes estão relacionados por meio de
onde o vetor é pensado como sendo coordenadas cartesianas em um subespaço tridimensional da álgebra de Lie do grupo de Lorentz medido pelos geradores de impulso . Este espaço, chamado de espaço de rapidez , é isomórfico a ℝ 3 como um espaço vetorial e é mapeado para a bola unitária aberta
, espaço de velocidade , por meio da relação acima. A lei da adição na forma colinear coincide com a lei da adição das tangentes hiperbólicas
com
O elemento de linha no espaço de velocidade segue da expressão para velocidade relativa relativística em qualquer quadro,
onde a velocidade da luz é definida para a unidade de modo que e concordar. É esta expressão, e são velocidades de dois objetos em qualquer um determinado quadro. A quantidade é a velocidade de um ou outro objeto em relação ao outro objeto, conforme visto no quadro fornecido . A expressão é invariante de Lorentz, isto é, independente de qual quadro é o quadro dado, mas a quantidade que ela calcula não é . Por exemplo, se o quadro dado for o quadro restante do objeto um, então .
O elemento de linha é encontrado colocando ou equivalentemente ,
com θ e φ as coordenadas de ângulos esféricos usuais para tomadas na direção z . Agora introduza ζ através
e o elemento de linha no espaço de rapidez torna-se
Colisões de partículas relativísticas
Em experimentos de espalhamento, o objetivo principal é medir a seção transversal de espalhamento invariante . Isso insere a fórmula para o espalhamento de dois tipos de partículas em um estado final assumido como tendo duas ou mais partículas,
Onde
-
é o volume do espaço-tempo. É um invariante sob as transformações de Lorentz.
-
é o número total de reações que resultam no estado final no volume do espaço-tempo . Sendo um número, é invariável quando o mesmo volume do espaço-tempo é considerado.
-
é o número de reações que resultam no estado final por unidade de espaço-tempo, ou taxa de reação . Isso é invariável.
-
é chamado de fluxo de incidentes . É necessário que seja invariável, mas não está na configuração mais geral.
-
é a seção transversal de espalhamento. É necessário ser invariável.
-
são as densidades de partículas nos feixes incidentes. Estes não são invariantes, como fica claro devido à contração do comprimento .
-
é a velocidade relativa dos dois feixes incidentes. Isso não pode ser invariável, pois é necessário que seja assim.
O objetivo é encontrar uma expressão correta para a velocidade relativa relativística e uma expressão invariante para o fluxo incidente.
Não relativisticamente, usa-se para velocidade relativa . Se o sistema em que as velocidades são medidas for o quadro de repouso do tipo de partícula , é necessário que Definindo a velocidade da luz , a expressão para segue imediatamente da fórmula para a norma (segunda fórmula) na configuração geral como
A fórmula reduz no limite clássico como deveria, e dá o resultado correto nos quadros restantes das partículas. A velocidade relativa é fornecida incorretamente na maioria, talvez em todos os livros sobre física de partículas e teoria quântica de campos. Isso é principalmente inofensivo, pois se um tipo de partícula é estacionário ou o movimento relativo é colinear, então o resultado correto é obtido a partir das fórmulas incorretas. A fórmula é invariável, mas não manifestamente. Pode ser reescrito em termos de quatro velocidades como
A expressão correta para o fluxo, publicada por Christian Møller em 1945, é dada por
Nota-se que para velocidades colineares ,. A fim de obter uma expressão invariante de Lorentz manifestamente, escreve-se com , onde está a densidade no quadro de repouso, para os fluxos de partículas individuais e chega a
Na literatura, tanto a quantidade quanto são chamadas de velocidade relativa. Em alguns casos (física estatística e literatura sobre matéria escura), é referida como a velocidade de Møller , caso em que significa velocidade relativa. A verdadeira velocidade relativa é em qualquer taxa . A discrepância entre e é relevante, embora na maioria dos casos as velocidades sejam colineares. No LHC, o ângulo de cruzamento é pequeno, cerca de 300 μ rad, mas no antigo Anel de Armazenamento de Intersecção no CERN , era cerca de 18 ◦ .
Veja também
Notas
Referências
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