Equação de onda eletromagnética não homogênea - Inhomogeneous electromagnetic wave equation

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v t e

Em electromagnetismo e aplicações, uma homognea equação de onda electromagnética , ou equação de onda electromagnética não homogénea , é uma de um conjunto de equações de onda que descrevem a propagação de ondas electromagnéticas geradas pela fonte diferente de zero cargas e correntes . Os termos de origem nas equações de onda tornam as equações diferenciais parciais não homogêneas ; se os termos de origem forem zero, as equações se reduzem às equações de ondas eletromagnéticas homogêneas . As equações seguem as equações de Maxwell .

Equações de Maxwell

Para referência, as equações de Maxwell são resumidas abaixo em unidades SI e unidades Gaussianas . Eles governam o campo elétrico E e o campo magnético B devido a uma densidade de carga de fonte ρ e densidade de corrente J :

Nome	Unidades SI	Unidades gaussianas
Lei de gauss	${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}}}$	${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = 4 \ pi \ rho}$
Lei de Gauss para o magnetismo	${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0}$	${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0}$
Equação de Maxwell-Faraday ( lei de indução de Faraday )	${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = - {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}}}$	${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = - {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}}}$
Lei circuital de Ampère (com a adição de Maxwell)	${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \ left (\ mathbf {J} + \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t }}\direito)}$	${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {B} = {\ frac {1} {c}} \ left (4 \ pi \ mathbf {J} + {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t}} \ direita)}$

onde ε ₀ é a permissividade do vácuo e μ ₀ é a permeabilidade do vácuo . Ao longo de toda a relação

${\ displaystyle \ varepsilon _ {0} \ mu _ {0} = {\ dfrac {1} {c ^ {2}}}}$

também é usado.

Unidades SI

Campos E e B

As equações de Maxwell podem dar directamente equações de onda não homogéneas para o campo eléctrico E e do campo magnético B . Substituindo a lei de Gauss pela eletricidade no enrolamento da lei de indução de Faraday , e usando o enrolamento da identidade do cacho ∇ × (∇ × X ) = ∇ (∇ ⋅ X ) - ∇ ² X (O último termo no lado direito é o vetor Laplaciano , não Laplaciano aplicado em funções escalares.) dá a equação de onda para o campo elétrico E :

${\ displaystyle {\ dfrac {1} {c ^ {2}}} {\ dfrac {\ partial ^ {2} \ mathbf {E}} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} \ mathbf {E} = - \ left ({\ dfrac {1} {\ varepsilon _ {0}}} \ nabla \ rho + \ mu _ {0} {\ dfrac {\ partial \ mathbf {J}} {\ parcial t}} \ direita) \ ,.}$

De forma semelhante, substituindo o magnetismo pela lei de Gauss no enrolamento da lei circuital de Ampère (com o termo dependente do tempo adicional de Maxwell) e usando o enrolamento da identidade do enrolamento, dá-se a equação de onda para o campo magnético B :

${\ displaystyle {\ dfrac {1} {c ^ {2}}} {\ dfrac {\ partial ^ {2} \ mathbf {B}} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \ nabla \ times \ mathbf {J} \ ,.}$

Os lados esquerdos de cada equação correspondem ao movimento da onda (o operador D'Alembert atuando nos campos), enquanto os lados direitos são as fontes das ondas. As equações implicam que as ondas EM são geradas se houver gradientes na densidade de carga ρ , circulações na densidade de corrente J , densidade de corrente variável no tempo ou qualquer mistura destes.

Essas formas das equações de onda não são frequentemente usadas na prática, pois os termos de origem são inconvenientemente complicados. Uma formulação mais simples mais comumente encontrada na literatura e usada na teoria usa a formulação de potencial eletromagnético , apresentada a seguir.

A e φ campos potenciais

Apresentando o potencial elétrico φ (um potencial escalar ) e o potencial magnético A (um potencial vetorial ) definido a partir dos campos E e B por:

${\ displaystyle \ mathbf {E} = - \ nabla \ varphi - {\ partial \ mathbf {A} \ over \ partial t} \ ,, \ quad \ mathbf {B} = \ nabla \ times \ mathbf {A} \ ,.}$

As quatro equações de Maxwell no vácuo com fontes de carga ρ e corrente J reduzem a duas equações, a lei de Gauss para eletricidade é:

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi + {{\ partial} \ over \ partial t} \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {A} \ right) = - {\ rho \ over \ varepsilon _ {0 }} \ ,,}$

onde aqui está o Laplaciano aplicado em funções escalares, e a lei de Ampère-Maxwell é: ${\ displaystyle \ nabla ^ {2}}$

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} - {1 \ over c ^ {2}} {\ parcial ^ {2} \ mathbf {A} \ over \ parcial t ^ {2}} - \ nabla \ left ({1 \ over c ^ {2}} {{\ partial \ varphi} \ over {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {A} \ right) = - \ mu _ {0} \ mathbf {J} \,}$

onde aqui está o Laplaciano vetorial aplicado em campos de vetores. Os termos de origem agora são muito mais simples, mas os termos de onda são menos óbvios. Uma vez que os potenciais não são únicos, mas têm liberdade do medidor , essas equações podem ser simplificadas pela fixação do medidor . Uma escolha comum é a condição do medidor Lorenz : ${\ displaystyle \ nabla ^ {2}}$

${\ displaystyle {1 \ over c ^ {2}} {{\ partial \ varphi} \ over {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {A} = 0}$

Então, as equações de onda não homogêneas tornam-se desacopladas e simétricas nos potenciais:

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi - {1 \ over c ^ {2}} {\ parcial ^ {2} \ varphi \ over \ parcial t ^ {2}} = - {\ rho \ over \ varejpsilon _ {0}} \ ,,}$

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} - {1 \ over c ^ {2}} {\ partial ^ {2} \ mathbf {A} \ over \ partial t ^ {2}} = - \ mu _ {0} \ mathbf {J} \ ,.}$

Para referência, em unidades cgs, essas equações são

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi - {1 \ over c ^ {2}} {\ parcial ^ {2} \ varphi \ over \ parcial t ^ {2}} = - {4 \ pi \ rho} }$

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} - {1 \ over c ^ {2}} {\ partial ^ {2} \ mathbf {A} \ over \ partial t ^ {2}} = - { 4 \ pi \ over c} \ mathbf {J}}$

com a condição do medidor Lorenz

${\ displaystyle {1 \ over c ^ {2}} {{\ partial \ varphi} \ over {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {A} = 0 \ ,.}$

Forma covariante da equação de onda não homogênea

Dilatação do tempo em movimento transversal. A exigência de que a velocidade da luz seja constante em todo referencial inercial leva à teoria da relatividade

As equações relativísticas de Maxwell podem ser escritas na forma covariante como

${\ displaystyle \ Box A ^ {\ mu} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ partial _ {\ beta} \ partial ^ {\ beta} A ^ {\ mu} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {A ^ {\ mu, \ beta}} _ {\ beta} = - \ mu _ {0} J ^ {\ mu} \ quad {\ text {SI }}}$

${\ displaystyle \ Box A ^ {\ mu} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ partial _ {\ beta} \ partial ^ {\ beta} A ^ {\ mu} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {A ^ {\ mu, \ beta}} _ {\ beta} = - {\ frac {4 \ pi} {c}} J ^ {\ mu} \ quad {\ text {cgs}}}$

Onde

${\ displaystyle \ Box = \ partial _ {\ beta} \ partial ^ {\ beta} = \ nabla ^ {2} - {1 \ over c ^ {2}} {\ frac {\ partial ^ {2}} { \ parcial t ^ {2}}}}$

é o operador d'Alembert ,

${\ displaystyle J ^ {\ mu} = \ left (c \ rho, \ mathbf {J} \ right)}$

é o de quatro correntes ,

${\ displaystyle {\ partial \ over {\ partial x ^ {a}}} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ partial _ {a} \ {\ stackrel {\ mathrm {def} } {=}} \ {} _ {, a} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ (\ partial / \ partial ct, \ nabla)}$

é o gradiente 4 , e

${\ displaystyle A ^ {\ mu} = (\ varphi / c, \ mathbf {A}) \ quad {\ text {SI}}}$

${\ displaystyle A ^ {\ mu} = (\ varphi, \ mathbf {A}) \ quad {\ text {cgs}}}$

é o quatro potencial eletromagnético com a condição do medidor Lorenz

${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} A ^ {\ mu} = 0 \,}$

Espaço-tempo curvo

A equação da onda eletromagnética é modificada de duas maneiras no espaço-tempo curvo , a derivada é substituída pela derivada covariante e um novo termo que depende da curvatura aparece (unidades SI).

${\ displaystyle - {A ^ {\ alpha; \ beta}} _ {\ beta} + {R ^ {\ alpha}} _ {\ beta} A ^ {\ beta} = \ mu _ {0} J ^ { \ alpha}}$

Onde

${\ displaystyle {R ^ {\ alpha}} _ {\ beta}}$

é o tensor de curvatura de Ricci . Aqui, o ponto e vírgula indica a diferenciação covariante. Para obter a equação em unidades cgs, substitua a permeabilidade por 4 π / c .

A condição de medidor de Lorenz no espaço-tempo curvo é assumida:

${\ displaystyle {A ^ {\ mu}} _ {; \ mu} = 0 \ ,.}$

Soluções para a equação de onda eletromagnética não homogênea

Onda esférica retardada. A origem da onda ocorre no tempo t ' . A frente de onda se afasta da fonte conforme o tempo aumenta para t > t ' . Para soluções avançadas, a frente de onda se move para trás no tempo a partir da fonte t < t ' .

No caso em que não há limites em torno das fontes, as soluções (unidades cgs) das equações de onda não homogêneas são

${\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {r}, t) = \ int {{\ delta \ left (t '+ {{\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right |} \ over c} -t \ right)} \ over {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right |}} \ rho (\ mathbf {r}', t ') d ^ {3} r 'dt'}$

e

${\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) = \ int {{\ delta \ left (t '+ {{\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right | } \ over c} -t \ right)} \ over {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right |}} {\ mathbf {J} (\ mathbf {r}', t ' ) \ sobre c} d ^ {3} r'dt '}$

Onde

${\ displaystyle {\ delta \ left (t '+ {{\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right |} \ over c} -t \ right)}}$

é uma função delta de Dirac .

Essas soluções são conhecidas como potenciais retardados de medidor de Lorenz . Eles representam uma superposição de ondas esféricas de luz viajando para fora das fontes das ondas, do presente para o futuro.

Existem também soluções avançadas (unidades cgs)

${\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {r}, t) = \ int {{\ delta \ left (t '- {{\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right |} \ over c} -t \ right)} \ over {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right |}} \ rho (\ mathbf {r}', t ') d ^ {3} r 'dt'}$

e

${\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) = \ int {{\ delta \ left (t '- {{\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right | } \ over c} -t \ right)} \ over {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right |}} {\ mathbf {J} (\ mathbf {r}', t ' ) \ sobre c} d ^ {3} r'dt '\ ,.}$

Eles representam uma superposição de ondas esféricas viajando do futuro para o presente.

Veja também

• Equação de onda
• Soluções de onda plana sinusoidal da equação de onda eletromagnética
• Fórmula de Larmor
• Formulação das equações de Maxwell na relatividade especial
• Equações de Maxwell no espaço-tempo curvo
• Força Abraham-Lorentz
• Função de Green

Referências

Eletromagnética

artigos de jornal

• James Clerk Maxwell, " Uma Teoria Dinâmica do Campo Eletromagnético ", Philosophical Transactions of the Royal Society of London 155 , 459-512 (1865). (Este artigo acompanhou uma apresentação de Maxwell em 8 de dezembro de 1864 à Royal Society.)

Livros didáticos de graduação

• Griffiths, David J. (1998). Introdução à Eletrodinâmica (3ª ed.) . Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
• Tipler, Paul (2004). Física para Cientistas e Engenheiros: Eletricidade, Magnetismo, Luz e Física Moderna Elementar (5ª ed.) . WH Freeman. ISBN 0-7167-0810-8.
• Edward M. Purcell, Electricity and Magnetism (McGraw-Hill, New York, 1985).
• Hermann A. Haus e James R. Melcher, Electromagnetic Fields and Energy (Prentice-Hall, 1989) ISBN  0-13-249020-X
• Banesh Hoffman, Relativity and Its Roots (Freeman, Nova York, 1983).
• David H. Staelin, Ann W. Morgenthaler e Jin Au Kong, Electromagnetic Waves (Prentice-Hall, 1994) ISBN  0-13-225871-4
• Charles F. Stevens, The Six Core Theories of Modern Physics , (MIT Press, 1995) ISBN  0-262-69188-4 .

Livros didáticos de pós-graduação

• Jackson, John D. (1998). Eletrodinâmica Clássica (3ª ed.) . Wiley. ISBN 0-471-30932-X.
• Landau, LD , The Classical Theory of Fields (Curso de Física Teórica: Volume 2), (Butterworth-Heinemann: Oxford, 1987).
• Maxwell, James C. (1954). Um Tratado sobre Eletricidade e Magnetismo . Dover. ISBN 0-486-60637-6.
• Charles W. Misner, Kip S. Thorne , John Archibald Wheeler , Gravitation , (1970) WH Freeman, Nova York; ISBN  0-7167-0344-0 . (Fornece um tratamento das equações de Maxwell em termos de formas diferenciais.)

Cálculo vetorial

• HM Schey, Div Grad Curl e tudo isso: Um texto informal sobre cálculo vetorial , 4ª edição (WW Norton & Company, 2005) ISBN  0-393-92516-1 .