Triângulo inteiro - Integer triangle

Um triângulo inteiro ou triângulo integrante é um triângulo todos cujos lados têm comprimentos que são números inteiros . Um triângulo racional pode ser definido como aquele que possui todos os lados com comprimento racional ; qualquer triângulo racional pode ser reescalado integralmente (pode ter todos os lados multiplicados pelo mesmo inteiro, ou seja, um múltiplo comum de seus denominadores) para obter um triângulo inteiro, portanto, não há diferença substantiva entre triângulos inteiros e triângulos racionais neste sentido. No entanto, outras definições do termo "triângulo racional" também existem: em 1914, Carmichael usou o termo no sentido em que hoje usamos o termo triângulo heroniano ; Somos a usa para se referir a triângulos cujas proporções de lados são racionais; Conway e Guy definem um triângulo racional como aquele com lados racionais e ângulos racionais medidos em graus - nesse caso, o único triângulo racional é o triângulo equilátero de lados racionais .

Existem várias propriedades gerais para um triângulo inteiro, fornecidas na primeira seção abaixo. Todas as outras seções referem-se a classes de triângulos inteiros com propriedades específicas.

Propriedades gerais para um triângulo inteiro

Triângulos inteiros com determinado perímetro

Qualquer triplo de inteiros positivos pode servir como o comprimento dos lados de um triângulo inteiro, desde que satisfaça a desigualdade do triângulo : o lado mais longo é mais curto do que a soma dos outros dois lados. Cada uma dessas triplas define um triângulo inteiro que é único até a congruência . Portanto, o número de triângulos inteiros (até a congruência) com o perímetro p é o número de partições de p em três partes positivas que satisfazem a desigualdade do triângulo. Este é o número inteiro mais próximo de p ² ⁄ 48 quando p é par e de ( p  + 3) ² ⁄ 48 quando p é ímpar . Também significa que o número de triângulos inteiros com perímetros pares p  = 2 n é igual ao número de triângulos inteiros com perímetros ímpares p  = 2 n  - 3. Portanto, não há triângulo inteiro com perímetro 1, 2 ou 4 , um com perímetro 3, 5, 6 ou 8, e dois com perímetro 7 ou 10. A sequência do número de triângulos inteiros com perímetro p , começando em p = 1, é:

0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8 ... (sequência A005044 no OEIS )

Triângulos inteiros com o lado maior fornecido

O número de triângulos inteiros (até a congruência) com dado maior lado c e triplo inteiro ( a ,  b ,  c ) é o número de triplos inteiros tais que a  +  b  >  c e a  ≤  b  ≤  c . Este é o valor inteiro Ceiling [ ( c  + 1) ⁄ 2 ] * Floor [ ( c  + 1) ⁄ 2 ]. Alternativamente, para c par é o número triangular duplo c ⁄ 2 ( c ⁄ 2  + 1) e para c ímpar é o quadrado ( c  + 1) ² ⁄ 4 . Isso também significa que o número de triângulos inteiros com o maior lado c excede o número de triângulos inteiros com o maior lado c - 2 por c . A sequência do número de triângulos inteiros não congruentes com o lado c maior , começando em c  = 1, é:

1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90 ... (sequência A002620 no OEIS )

O número de triângulos inteiros (até a congruência) com dado maior lado c e triplo inteiro ( a ,  b ,  c ) que se encontram em ou dentro de um semicírculo de diâmetro c é o número de triplos inteiros tais que a  +  b  >  c  ,  a ²  +  b ²  ≤  c ² e a  ≤  b  ≤  c . Este é também o número de inteiro lados obtusos ou direita (não agudo ) triângulos com maior lado c . A sequência começando em c  = 1, é:

0, 0, 1, 1, 3, 4, 5, 7, 10, 13, 15, 17, 22, 25, 30, 33, 38, 42, 48 ... (sequência A236384 no OEIS )

Consequentemente, a diferença entre as duas sequências acima dá o número de triângulos de lados inteiros agudos (até a congruência) com o lado c maior dado . A sequência começando em c  = 1, é:

1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 31, 34, 39, 43, 48, 52 ... (sequência A247588 no OEIS )

Área de um triângulo inteiro

Pela fórmula de Heron , se T é a área de um triângulo cujos lados têm comprimentos a , b e c, então

${\ displaystyle 4T = {\ sqrt {(a + b + c) (a + bc) (a-b + c) (- a + b + c)}}.}$

Como todos os termos sob o radical no lado direito da fórmula são inteiros, segue-se que todos os triângulos inteiros devem ter um valor inteiro de 16T ² e T ² será racional.

Ângulos de um triângulo inteiro

Pela lei dos cossenos , todo ângulo de um triângulo inteiro tem um cosseno racional .

Se os ângulos de qualquer triângulo formarem uma progressão aritmética , um de seus ângulos deve ser de 60 °. Para triângulos inteiros, os ângulos restantes também devem ter cossenos racionais e um método de geração de tais triângulos é fornecido abaixo. No entanto, além do caso trivial de um triângulo equilátero, não há triângulos inteiros cujos ângulos formem uma progressão geométrica ou harmônica . Isso ocorre porque tais ângulos devem ser ângulos racionais da forma π p ⁄ q com 0 < p ⁄ q <1 racional . Mas todos os ângulos de triângulos inteiros devem ter cossenos racionais e isso ocorrerá apenas quando  p ⁄ q  =  1 ⁄ 3   ou seja, o triângulo inteiro é equilátero.

O quadrado de cada bissetriz do ângulo interno de um triângulo inteiro é racional, porque a fórmula geral do triângulo para a bissetriz do ângulo interno do ângulo A é onde s é o semiperímetro (e da mesma forma para as bissetoras dos outros ângulos). ${\ displaystyle {\ tfrac {2 {\ sqrt {bcs (sa)}}} {b + c}}}$

Lado dividido por altitude

Qualquer altitude lançada de um vértice para um lado oposto ou sua extensão dividirá aquele lado ou sua extensão em comprimentos racionais.

Medianas

O quadrado de duas vezes qualquer mediana de um triângulo inteiro é um inteiro, porque a fórmula geral para a mediana quadrada m _a ² ao lado a é , dando (2 m _a ) ²  = 2 b ²  + 2 c ²  -  a ² (e da mesma forma para as medianas dos outros lados). ${\ displaystyle {\ tfrac {(2b ^ {2} + 2c ^ {2} -a ^ {2})} {4}}}$

Circumradius e Inradius

Como o quadrado da área de um triângulo inteiro é racional, o quadrado de seu circunradio também é racional, assim como o quadrado do infravermelho .

A razão entre o inradius ao circumradius de um triângulo inteiro é racional, igualando para semiperimeter s e área T . ${\ displaystyle {\ tfrac {4T ^ {2}} {sabc}}}$

O produto do inradius e do circumradius de um triângulo inteiro é racional, igualando ${\ displaystyle {\ tfrac {abc} {2 (a + b + c)}}.}$

Assim, a distância ao quadrado entre o incentivo e o circuncentro de um triângulo inteiro, dada pelo teorema de Euler como R ² - 2 Rr , é racional.

Triângulos heronianos

Todos os triângulos Heronian podem ser colocados em uma rede com cada vértice em um ponto da rede.

Fórmula geral

Um triângulo Heroniano, também conhecido como triângulo Heron ou triângulo Hero , é um triângulo com lados inteiros e área inteira. Cada triângulo heroniano tem lados proporcionais a

${\ displaystyle a = n (m ^ {2} + k ^ {2})}$

${\ displaystyle b = m (n ^ {2} + k ^ {2})}$

${\ displaystyle c = (m + n) (mn-k ^ {2})}$

${\ displaystyle {\ text {Semiperímetro}} = mn (m + n)}$

${\ displaystyle {\ text {Area}} = mnk (m + n) (mn-k ^ {2})}$

para inteiros m , n e k sujeitos às restrições:

${\ displaystyle \ gcd {(m, n, k)} = 1}$

${\ displaystyle mn> k ^ {2} \ geq m ^ {2} n / (2m + n)}$

${\ displaystyle m \ geq n \ geq 1.}$

O fator de proporcionalidade é geralmente um racional onde q = mdc ( a , b , c ) reduz o triângulo heroniano gerado ao seu primitivo e aumenta este primitivo para o tamanho necessário. ${\ displaystyle {\ frac {p} {q}}}$${\ displaystyle p}$

Triângulos pitagóricos

Um triângulo pitagórico é retângulo e heroniano. Seus três lados inteiros são conhecidos como um Pitágoras triplo ou de Pitágoras tripleto ou de Pitágoras tríade . Todos os triplos pitagóricos com hipotenusa que são primitivos (os lados não têm fator comum ) podem ser gerados por ${\ displaystyle (a, b, c)}$ ${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle a = m ^ {2} -n ^ {2}, \,}$

${\ displaystyle b = 2mn, \,}$

${\ displaystyle c = m ^ {2} + n ^ {2}, \,}$

${\ displaystyle {\ text {Semiperímetro}} = m (m + n) \,}$

${\ displaystyle {\ text {Area}} = mn (m ^ {2} -n ^ {2}) \,}$

onde m e n são inteiros coprime e um deles é par com m  >  n .

Todo número par maior que 2 pode ser a perna de um triângulo pitagórico (não necessariamente primitivo) porque se a perna for dada por e escolhermos como a outra perna, então a hipotenusa é . Esta é essencialmente a fórmula de geração acima definida para 1 e permitindo variar de 2 a infinito. ${\ displaystyle a = 2m}$${\ displaystyle b = (a / 2) ^ {2} -1 = m ^ {2} -1}$${\ displaystyle c = m ^ {2} +1}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m}$

Triângulos pitagóricos com altitude inteira da hipotenusa

Não há triângulos pitagóricos primitivos com altitude inteira da hipotenusa. Isso ocorre porque duas vezes a área é igual a qualquer base vezes a altura correspondente: 2 vezes a área, portanto, é igual a ab e cd, onde d é a altura da hipotenusa c . Os três comprimentos laterais de um triângulo primitivo são coprimos, então d  =  ab ⁄ c está na forma totalmente reduzida; uma vez que c não pode ser igual a 1 para nenhum triângulo pitagórico primitivo, d não pode ser um inteiro.

No entanto, qualquer triângulo pitagórico com pernas x ,  y e hipotenusa z pode gerar um triângulo pitagórico com uma altitude inteira, aumentando os lados pelo comprimento da hipotenusa z . Se d é a altitude, então o triângulo pitagórico gerado com altitude inteira é dado por

${\ displaystyle (a, b, c, d) = (xz, yz, z ^ {2}, xy). \,}$

Consequentemente, todos os triângulos de Pitágoras com pernas um e b , hipotenusa C , e número inteiro altitude d a partir da hipotenusa, com GCD ( a, b, c, d ) = 1, o que necessariamente satisfazer tanto um ²  +  b ²  = c ² e , são gerados por ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {a ^ {2}}} + {\ tfrac {1} {b ^ {2}}} = {\ tfrac {1} {d ^ {2}}}}$

${\ displaystyle a = (m ^ {2} -n ^ {2}) (m ^ {2} + n ^ {2}), \,}$

${\ displaystyle b = 2mn (m ^ {2} + n ^ {2}), \,}$

${\ displaystyle c = (m ^ {2} + n ^ {2}) ^ {2}, \,}$

${\ displaystyle d = 2mn (m ^ {2} -n ^ {2}), \,}$

${\ displaystyle {\ text {Semiperimeter}} = m (m + n) (m ^ {2} + n ^ {2}) \,}$

${\ displaystyle {\ text {Area}} = mn (m ^ {2} -n ^ {2}) (m ^ {2} + n ^ {2}) ^ {2} \,}$

para inteiros coprime m , n com m  >  n .

Triângulos heronianos com lados em progressão aritmética

Um triângulo com lados inteiros e área inteira tem lados em progressão aritmética se e somente se os lados forem ( b - d , b , b + d ), onde

${\ displaystyle b = 2 (m ^ {2} + 3n ^ {2}) / g,}$

${\ displaystyle d = (m ^ {2} -3n ^ {2}) / g,}$

e onde g é o maior divisor comum de e${\ displaystyle m ^ {2} -3n ^ {2},}$ ${\ displaystyle 2 minutos,}$${\ displaystyle m ^ {2} + 3n ^ {2}.}$

Triângulos heronianos com um ângulo igual a duas vezes o outro

Todos os triângulos Heronian com B = 2 A são gerados por qualquer

${\ displaystyle a = {\ tfrac {k ^ {2} (s ^ {2} + r ^ {2}) ^ {2}} {4}},}$

${\ displaystyle b = {\ tfrac {k ^ {2} (s ^ {4} -r ^ {4})} {2}},}$

${\ displaystyle c = {\ tfrac {k ^ {2} (3s ^ {4} -10s ^ {2} r ^ {2} + 3r ^ {4})} {4}},}$

${\ displaystyle {\ text {Area}} = {\ tfrac {k ^ {2} csr (s ^ {2} -r ^ {2})} {2}},}$

com inteiros k , s , r tais que s ² > 3 r ² , ou

${\ displaystyle a = {\ tfrac {q ^ {2} (u ^ {2} + v ^ {2}) ^ {2}} {4}} \,}$,

${\ displaystyle b = q ^ {2} uv (u ^ {2} + v ^ {2}) \,}$,

${\ displaystyle c = {\ tfrac {q ^ {2} (14u ^ {2} v ^ {2} -u ^ {4} -v ^ {4})} {4}} \,}$,

${\ displaystyle {\ text {Area}} = {\ tfrac {q ^ {2} cuv (v ^ {2} -u ^ {2})} {2}} \,}$,

com inteiros q , u , v tais que v > u e v ² <(7 + 4 √ 3 )  u ² .

Nenhum triângulo heroniano com B = 2 A é isósceles ou triângulos retângulos porque todas as combinações de ângulos resultantes geram ângulos com senos não racionais , dando uma área ou lado não racional.

Triângulos isósceles heronianos

Todos os triângulos isósceles Heronian são decomponíveis. Eles são formados pela união de dois triângulos pitagóricos congruentes ao longo de qualquer uma de suas pernas comuns, de modo que os lados iguais do triângulo isósceles são as hipotenos dos triângulos pitagóricos, e a base do triângulo isósceles é o dobro da outra perna pitagórica. Conseqüentemente, todo triângulo pitagórico é o bloco de construção de dois triângulos heronianos isósceles, uma vez que a junção pode ser ao longo de qualquer uma das pernas. Todos os pares de triângulos heronianos isósceles são dados por múltiplos racionais de

${\ displaystyle a = 2 (u ^ {2} -v ^ {2}),}$

${\ displaystyle b = u ^ {2} + v ^ {2},}$

${\ displaystyle c = u ^ {2} + v ^ {2},}$

e

${\ displaystyle a = 4uv,}$

${\ displaystyle b = u ^ {2} + v ^ {2},}$

${\ displaystyle c = u ^ {2} + v ^ {2},}$

para inteiros coprime u e v com u > v e u + v ímpar.

Triângulos heronianos cujo perímetro é quatro vezes primo

Foi demonstrado que um triângulo heroniano cujo perímetro é quatro vezes um primo está exclusivamente associado ao primo e que o primo é congruente com ou módulo . É bem sabido que tal primo pode ser particionado unicamente em inteiros e de tal forma que (veja os números idônicos de Euler ). Além disso, foi demonstrado que tais triângulos Heronianos são primitivos, uma vez que o menor lado do triângulo tem que ser igual ao primo que é um quarto de seu perímetro. ${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle 3}$${\ displaystyle 8}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle p = m ^ {2} + 2n ^ {2}}$

Consequentemente, todos os triângulos heronianos primitivos cujo perímetro é quatro vezes um primo podem ser gerados por

${\ displaystyle a = m ^ {2} + 2n ^ {2}}$

${\ displaystyle b = m ^ {2} + 4n ^ {2}}$

${\ displaystyle c = 2 (m ^ {2} + n ^ {2})}$

${\ displaystyle {\ text {Semiperimeter}} = 2a = 2 (m ^ {2} + 2n ^ {2})}$

${\ displaystyle {\ text {Area}} = 2mn (m ^ {2} + 2n ^ {2})}$

para inteiros e tal que seja um primo. ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m ^ {2} + 2n ^ {2}}$

Além disso, a fatoração da área é onde é primordial. No entanto, a área de um triângulo Heronian é sempre divisível por . Isso dá o resultado que, exceto quando e que fornece todos os outros parings de e deve haver ímpar, com apenas um deles divisível por . ${\ displaystyle 2mnp}$${\ displaystyle p = m ^ {2} + 2n ^ {2}}$${\ displaystyle 6}$${\ displaystyle m = 1}$${\ displaystyle n = 1,}$${\ displaystyle p = 3,}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle 3}$

Triângulos heronianos com radius e exradii inteiros

Existem infinitamente muitos decomponíveis, e infinitamente muitos indecomponíveis, triângulos heronianos primitivos (não pitagóricos) com raios inteiros para o incircle e cada excircle . Uma família de decomponíveis é dada por

${\ displaystyle a = 4n ^ {2}, \ quad \ quad b = (2n + 1) (2n ^ {2} -2n + 1), \ quad \ quad c = (2n-1) (2n ^ {2 } + 2n + 1),}$

${\ displaystyle r = 2n-1, \ quad \ quad r_ {a} = 2n + 1, \ quad \ quad r_ {b} = 2n ^ {2}, \ quad \ quad r_ {c} = {\ text { Área}} = 2n ^ {2} (2n-1) (2n + 1);}$

e uma família de indecomponíveis é dada por

${\ displaystyle a = 5 (5n ^ {2} + n-1), \ quad \ quad b = (5n + 3) (5n ^ {2} -4n + 1), \ quad \ quad c = (5n- 2) (5n ^ {2} + 6n + 2),}$

${\ displaystyle r = 5n-2, \ quad \ quad r_ {a} = 5n + 3, \ quad \ quad r_ {b} = 5n ^ {2} + n-1, \ quad \ quad r_ {c} = {\ text {Area}} = (5n-2) (5n + 3) (5n ^ {2} + n-1).}$

Triângulos heronianos como faces de um tetraedro

Existem tetraedros com volume de valor inteiro e triângulos de Heron como faces . Um exemplo tem uma borda de 896, a borda oposta de 190 e as outras quatro bordas de 1073; duas faces têm áreas de 436800 e as outras duas têm áreas de 47120, enquanto o volume é 62092800.

Triângulos heronianos em uma rede 2D

Um 2D estrutura é uma matriz regular de pontos isolados, onde se houver um ponto é escolhido como a origem cartesiano (0, 0), em seguida, todos os outros pontos são em ( x, y ) onde x e y gama mais de todos os inteiros positivos e negativos . Um triângulo de rede é qualquer triângulo desenhado dentro de uma rede 2D de forma que todos os vértices fiquem em pontos de rede. Pelo teorema de Pick, um triângulo de rede tem uma área racional que é um inteiro ou meio inteiro (tem um denominador de 2). Se o triângulo de rede tiver lados inteiros, então ele é Heroniano com área inteira.

Além disso, foi provado que todos os triângulos Heronian podem ser desenhados como triângulos reticulados. Conseqüentemente, um triângulo inteiro é Heroniano se, e somente se, puder ser desenhado como um triângulo de rede.

Existem infinitos triângulos heronianos (não pitagóricos) primitivos que podem ser colocados em uma rede inteira com todos os vértices, o incentivo e todos os três excentros nos pontos da rede. Duas famílias de tais triângulos são aquelas com parametrizações dadas acima em # triângulos heronianos com inradius e exradii inteiros .

Triângulos automedianos inteiros

Um triângulo automediano é aquele cujas medianas estão nas mesmas proporções (na ordem oposta) que os lados. Se x , y e z são os três lados de um triângulo retângulo, classificados em ordem crescente por tamanho, e se 2 x  <  z , então z , x  +  y e y  -  x são os três lados de um triângulo automediano. Por exemplo, o triângulo retângulo com comprimentos laterais 5, 12 e 13 pode ser usado dessa forma para formar o menor triângulo automediano inteiro não trivial (isto é, não equilátero), com comprimentos laterais 13, 17 e 7.

Consequentemente, usando a fórmula de Euclides , que gera triângulos pitagóricos primitivos, é possível gerar triângulos automedianos inteiros primitivos como

${\ displaystyle a = | m ^ {2} -2mn-n ^ {2} |}$

${\ displaystyle b = m ^ {2} + 2mn-n ^ {2}}$

${\ displaystyle c = m ^ {2} + n ^ {2}}$

com e coprime e ímpar, e   (se a quantidade dentro dos sinais de valor absoluto for negativa) ou   (se essa quantidade for positiva) para satisfazer a desigualdade do triângulo . ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m + n}$${\ displaystyle n <m <n {\ sqrt {3}}}$${\ displaystyle m> (2 + {\ sqrt {3}}) n}$

Uma característica importante do triângulo automediano é que os quadrados de seus lados formam uma progressão aritmética . Especificamente, então${\ displaystyle c ^ {2} -a ^ {2} = b ^ {2} -c ^ {2}}$${\ displaystyle 2c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2}.}$

Triângulos inteiros com propriedades de ângulo específicas

Triângulos inteiros com uma bissetriz de ângulo racional

Uma família de triângulos com lados inteiros e com bissetriz racional do ângulo A é dada por ${\ displaystyle a, b, c}$${\ displaystyle d}$

${\ displaystyle a = 2 (k ^ {2} -m ^ {2}),}$

${\ displaystyle b = (km) ^ {2},}$

${\ displaystyle c = (k + m) ^ {2},}$

${\ displaystyle d = {\ tfrac {2km (k ^ {2} -m ^ {2})} {k ^ {2} + m ^ {2}}},}$

com inteiros . ${\ displaystyle k> m> 0}$

Triângulos inteiros com n- setores inteiros de todos os ângulos

Existem infinitos triângulos não semelhantes nos quais os três lados e as bissetoras de cada um dos três ângulos são inteiros.

Existem infinitos triângulos não semelhantes nos quais os três lados e os dois trisectores de cada um dos três ângulos são inteiros.

No entanto, para n > 3 não existem triângulos em que os três lados e os ( n  - 1) n- setores de cada um dos três ângulos sejam inteiros.

Triângulos inteiros com um ângulo com um determinado cosseno racional

Alguns triângulos inteiros com um ângulo no vértice A tendo dado cosseno racional h  /  k ( h <0 ou> 0; k > 0) são dados por

${\ displaystyle a = p ^ {2} -2pqh + q ^ {2} k ^ {2},}$

${\ displaystyle b = p ^ {2} -q ^ {2} k ^ {2},}$

${\ displaystyle c = 2qk (p-qh),}$

onde p e q são quaisquer inteiros positivos de coprime tais que p > qk .

Triângulos inteiros com um ângulo de 60 ° (ângulos em progressão aritmética)

Todos os triângulos inteiros com um ângulo de 60 ° têm seus ângulos em progressão aritmética. Todos esses triângulos são proporcionais a:

${\ displaystyle a = 4min,}$

${\ displaystyle b = 3m ^ {2} + n ^ {2},}$

${\ displaystyle c = 2mn + | 3m ^ {2} -n ^ {2} |}$

com inteiros coprime m , n e 1 ≤  n  ≤  m ou 3 m  ≤  n . A partir daqui, todas as soluções primitivas podem ser obtidas dividindo a , b e c por seu maior divisor comum.

Triângulos inteiros com um ângulo de 60 ° também podem ser gerados por

${\ displaystyle a = m ^ {2} -mn + n ^ {2},}$

${\ displaystyle b = 2mn-n ^ {2},}$

${\ displaystyle c = m ^ {2} -n ^ {2},}$

com inteiros coprime m , n com 0 <  n  <  m (o ângulo de 60 ° é oposto ao lado do comprimento a ). A partir daqui, todas as soluções primitivas pode ser obtido dividindo um , b , e c pela sua maior divisor comum (por exemplo, uma solução de triângulo equilátero é obtida tomando m = 2 e n = 1 , mas esta produz um = b = c = 3 , que não é uma solução primitiva). Veja também

Mais precisamente, se , então , caso contrário . Dois pares diferentes e geram o mesmo triplo. Infelizmente, os dois pares podem ser de mdc = 3, portanto, não podemos evitar duplicatas simplesmente pulando esse caso. Em vez disso, as duplicatas podem ser evitadas indo apenas até o caixa . Ainda precisamos dividir por 3 se mdc = 3. A única solução para as restrições acima é para . Com esta restrição adicional , todos os triplos podem ser gerados exclusivamente. ${\ displaystyle m \ equiv -n \ ({\ text {mod}} \ 3)}$${\ displaystyle gcd (a, b, c) = 3}$${\ displaystyle gcd (a, b, c) = 1}$${\ displaystyle (m, n)}$${\ displaystyle (m, mn)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle m / 2}$${\ displaystyle n = m / 2}$${\ displaystyle (3,3,3) \ equiv (1,1,1)}$${\ displaystyle m = 2, n = 1}$${\ displaystyle n \ leq m / 2}$

Um triplo de Eisenstein é um conjunto de inteiros que são os comprimentos dos lados de um triângulo onde um dos ângulos tem 60 graus.

Triângulos inteiros com ângulo de 120 °

Triângulos inteiros com um ângulo de 120 ° podem ser gerados por

${\ displaystyle a = m ^ {2} + mn + n ^ {2},}$

${\ displaystyle b = 2mn + n ^ {2},}$

${\ displaystyle c = m ^ {2} -n ^ {2},}$

com inteiros coprime m ,  n com 0 <  n  <  m (o ângulo de 120 ° é oposto ao lado do comprimento a ). A partir daqui, todas as soluções primitivas podem ser obtidas dividindo a , b e c por seu maior divisor comum. A menor solução, para m = 2 en = 1, é o triângulo com lados (3,5,7). Veja também.

Mais precisamente, se , então , caso contrário . Uma vez que o maior lado a só pode ser gerado com um único par, cada triplo primitivo pode ser gerado precisamente de duas maneiras: uma vez diretamente com mdc = 1 e outra indiretamente com mdc = 3. Portanto, a fim de gerar todos os triplos primitivos exclusivamente , pode-se apenas adicionar uma condição adicional . ${\ displaystyle m \ equiv n \ ({\ text {mod}} \ 3)}$${\ displaystyle gcd (a, b, c) = 3}$${\ displaystyle gcd (a, b, c) = 1}$${\ displaystyle (m, n)}$${\ displaystyle m \ not \ equiv n \ (mod \ 3)}$

Triângulos inteiros com um ângulo igual a um número racional arbitrário vezes outro ângulo

Para positivo números primos entre si h e k , o triângulo com as seguintes lados tem ângulos , , e e, consequentemente, dois ângulos na proporção de h  :  k , e os seus lados são números inteiros: ${\ displaystyle h \ alpha}$${\ displaystyle k \ alpha}$${\ displaystyle \ pi - (h + k) \ alpha}$

${\ displaystyle a = q ^ {h + k-1} {\ frac {\ sin h \ alpha} {\ sin \ alpha}} = q ^ {k} \ cdot \ sum _ {0 \ leq i \ leq { \ frac {h-1} {2}}} (- 1) ^ {i} {\ binom {h} {2i + 1}} p ^ {h-2i-1} (q ^ {2} -p ^ {2}) ^ {i},}$

${\ displaystyle b = q ^ {h + k-1} {\ frac {\ sin k \ alpha} {\ sin \ alpha}} = q ^ {h} \ cdot \ sum _ {0 \ leq i \ leq { \ frac {k-1} {2}}} (- 1) ^ {i} {\ binom {k} {2i + 1}} p ^ {k-2i-1} (q ^ {2} -p ^ {2}) ^ {i},}$

${\ displaystyle c = q ^ {h + k-1} {\ frac {\ sin (h + k) \ alpha} {\ sin \ alpha}} = \ sum _ {0 \ leq i \ leq {\ frac { h + k-1} {2}}} (- 1) ^ {i} {\ binom {h + k} {2i + 1}} p ^ {h + k-2i-1} (q ^ {2} -p ^ {2}) ^ {i},}$

onde e p e q são quaisquer números inteiros de coprime tais que . ${\ displaystyle \ alpha = \ cos ^ {- 1} \! {\ frac {p} {q}}}$${\ displaystyle \ cos {\ frac {\ pi} {h + k}} <{\ frac {p} {q}} <1}$

Triângulos inteiros com um ângulo igual a duas vezes o outro

Com o ângulo A do lado oposto e o ângulo B do lado oposto , alguns triângulos com B  = 2 A são gerados por ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle a = n ^ {2},}$

${\ displaystyle b = mn,}$

${\ displaystyle c = m ^ {2} -n ^ {2},}$

com inteiros m , n tais que 0 <  n  <  m  <2 n .

Todos os triângulos com B  = 2 A (seja inteiro ou não) satisfazem${\ displaystyle a (a + c) = b ^ {2}.}$

Triângulos inteiros com um ângulo igual a 3/2 vezes outro

A classe de equivalência de triângulos semelhantes com são gerados por ${\ displaystyle B = {\ tfrac {3} {2}} A}$

${\ displaystyle a = mn ^ {3},}$

${\ displaystyle b = n ^ {2} (m ^ {2} -n ^ {2}),}$

${\ displaystyle c = (m ^ {2} -n ^ {2}) ^ {2} -m ^ {2} n ^ {2},}$

com números inteiros tais que , onde está a proporção áurea . ${\ displaystyle m, n}$${\ displaystyle 0 <\ varphi n <m <2n}$${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle \ varphi = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}} \ approx 1,61803}$

Todos os triângulos com (seja com lados inteiros ou não) satisfazem${\ displaystyle B = {\ tfrac {3} {2}} A}$${\ displaystyle (b ^ {2} -a ^ {2}) (b ^ {2} -a ^ {2} + bc) = a ^ {2} c ^ {2}.}$

Triângulos inteiros com um ângulo três vezes o outro

Podemos gerar a classe de equivalência completa de triângulos semelhantes que satisfazem B  = 3 A usando as fórmulas

${\ displaystyle a = n ^ {3}, \,}$

${\ displaystyle b = n (m ^ {2} -n ^ {2}), \,}$

${\ displaystyle c = m (m ^ {2} -2n ^ {2}), \,}$

onde e são inteiros tais que . ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ sqrt {2}} n <m <2n}$

Todos os triângulos com B = 3 A (com lados inteiros ou não) satisfazem${\ displaystyle ac ^ {2} = (ba) ^ {2} (b + a).}$

Triângulos inteiros com três ângulos racionais

O único triângulo inteiro com três ângulos racionais (números racionais de graus ou frações racionais equivalentes de uma volta completa) é o triângulo equilátero . Isso ocorre porque lados inteiros implicam três cossenos racionais pela lei dos cossenos , e pelo teorema de Niven um cosseno racional coincide com um ângulo racional se e somente se o cosseno for igual a 0, ± 1/2 ou ± 1. Os únicos que fornecem um ângulo estritamente entre 0 ° e 180 ° são o valor cosseno 1/2 com o ângulo de 60 °, o valor cosseno -1/2 com o ângulo 120 ° e o valor cosseno 0 com o ângulo 90 °. A única combinação de três deles, permitindo o uso múltiplo de qualquer um deles e totalizando 180 °, são três ângulos de 60 °.

Triângulos inteiros com proporção inteira de circumradius para inradius

As condições são conhecidas em termos de curvas elípticas para um triângulo inteiro ter uma razão inteira N do perímetro para o radial . O menor caso, o do triângulo equilátero , tem N = 2. Em todos os casos conhecidos, N ≡ 2 (mod 8) - ou seja, N - 2 é divisível por 8.

Pares de triângulos 5-Con

Um par de triângulos 5-Con é um par de triângulos semelhantes, mas não congruentes, e que compartilham três ângulos e dois comprimentos laterais. Triângulos inteiros primitivos de 5-Con, nos quais os quatro lados inteiros distintos (dois lados cada um aparecendo em ambos os triângulos e um outro lado em cada triângulo) não compartilham nenhum fator primo, têm triplos de lados

${\ displaystyle (x ^ {3}, x ^ {2} y, xy ^ {2})}$ e ${\ displaystyle (x ^ {2} y, xy ^ {2}, y ^ {3})}$

para inteiros coprime positivos x e y . O menor exemplo é o par (8, 12, 18), (12, 18, 27), gerado por x = 2, y = 3.

Triângulos inteiros particulares

• O único triângulo com inteiros consecutivos para lados e área tem lados (3, 4, 5) e área 6.
• O único triângulo com inteiros consecutivos para uma altitude e os lados tem lados (13, 14, 15) e altitude do lado 14 igual a 12.
• O triângulo (2, 3, 4) e seus múltiplos são os únicos triângulos com lados inteiros em progressão aritmética e tendo a propriedade de ângulo exterior complementar. Esta propriedade afirma que se o ângulo C for obtuso e se um segmento cair de B encontrando-se perpendicularmente com AC estendido em P, então ∠CAB = 2∠CBP.
• O triângulo (3, 4, 5) e seus múltiplos são os únicos triângulos retângulos inteiros com lados em progressão aritmética.
• O triângulo (4, 5, 6) e seus múltiplos são os únicos triângulos com um ângulo sendo duas vezes o outro e tendo lados inteiros em progressão aritmética.
• O triângulo (3, 5, 7) e seus múltiplos são os únicos triângulos com um ângulo de 120 ° e tendo lados inteiros em progressão aritmética.
• O único triângulo inteiro com área = semiperímetro tem lados (3, 4, 5).
• Os únicos triângulos inteiros com área = perímetro têm lados (5, 12, 13), (6, 8, 10), (6, 25, 29), (7, 15, 20) e (9, 10, 17) . Destes, os dois primeiros, mas não os três últimos, são triângulos retângulos.
• Existem triângulos inteiros com três medianas racionais . O menor tem lados (68, 85, 87). Outros incluem (127, 131, 158), (113, 243, 290), (145, 207, 328) e (327, 386, 409).
• Não há triângulos isósceles pitagóricos.
• Os únicos triângulos pitagóricos primitivos para os quais o quadrado do perímetro é igual a um múltiplo inteiro da área são (3, 4, 5) com perímetro 12 e área 6 e com a razão do perímetro ao quadrado pela área sendo 24; (5, 12, 13) com perímetro 30 e área 30 e com a razão do perímetro ao quadrado da área sendo 30; e (9, 40, 41) com perímetro 90 e área 180 e com a razão do perímetro ao quadrado para a área sendo 45.
• Existe um par único (até a semelhança) de um triângulo retângulo racional e um triângulo isósceles racional que têm o mesmo perímetro e a mesma área. O par exclusivo consiste no triângulo (377, 135, 352) e no triângulo (366, 366, 132). Não há nenhum par desses triângulos se os triângulos também precisarem ser triângulos inteiros primitivos. Os autores enfatizam o fato notável de que a segunda afirmação pode ser provada por uma argumentação elementar (eles o fazem em seu apêndice A), enquanto a primeira afirmação precisa de matemática moderna altamente não trivial.

Veja também

• Pentágono de Robbins , um pentágono cíclico com lados inteiros e área inteira
• Tijolo de Euler , um cuboide com arestas inteiras e diagonais de face inteiras
• Tetraedro # tetraedro inteiro

Referências