Difusão Itô - Itô diffusion

Em matemática - especificamente, na análise estocástica - uma difusão Itô é uma solução para um tipo específico de equação diferencial estocástica . Essa equação é semelhante à equação de Langevin usada em física para descrever o movimento browniano de uma partícula submetida a um potencial em um fluido viscoso . As difusões de Itô têm o nome do matemático japonês Kiyosi Itô .

Visão geral

A difusão Itô ( homogênea no tempo ) no espaço euclidiano n- dimensional R ⁿ é um processo X  : [0, + ∞) × Ω →  R ⁿ definido em um espaço de probabilidade (Ω, Σ,  P ) e satisfazendo uma equação diferencial estocástica do formulário

${\ displaystyle \ mathrm {d} X_ {t} = b (X_ {t}) \, \ mathrm {d} t + \ sigma (X_ {t}) \, \ mathrm {d} B_ {t},}$

onde B é uma m -dimensional movimento Browniano e b  :  R ⁿ  →  R ⁿ e σ:  R ⁿ  →  R ^{n × m} satisfazer o habitual continuidade Lipschitz condição

${\ displaystyle | b (x) -b (y) | + | \ sigma (x) - \ sigma (y) | \ leq C | xy |}$

para alguma constante C e todo x , y ∈ R ⁿ ; esta condição garante a existência de uma única solução forte X para a equação diferencial estocástica dada acima. O campo vetorial b é conhecido como coeficiente de deriva de X ; o campo da matriz σ é conhecido como o coeficiente de difusão de X . É importante notar que b e σ não dependem do tempo; se dependessem do tempo, X seria referido apenas como um processo Itô , não uma difusão. As difusões Itô têm uma série de propriedades interessantes, que incluem

• amostra e continuidade de Feller ;
• a propriedade Markov ;
• a forte propriedade de Markov ;
• a existência de um gerador infinitesimal ;
• a existência de um operador característico ;
• Fórmula de Dynkin .

Em particular, uma difusão Itô é um processo contínuo, fortemente markoviano, de tal forma que o domínio de seu operador característico inclui todas as funções diferenciáveis ​​duas vezes continuamente , portanto, é uma difusão no sentido definido por Dynkin (1965).

Continuidade

Continuidade da amostra

Uma difusão Itô X é um processo amostral contínuo , ou seja, para quase todas as realizações B _t (ω) do ruído, X _t (ω) é uma função contínua do parâmetro de tempo, t . Mais precisamente, existe uma "versão contínua" de X , um processo contínuo Y para que

${\ displaystyle \ mathbf {P} [X_ {t} = Y_ {t}] = 1 {\ mbox {para todos}} t.}$

Isso decorre da existência padrão e teoria da unicidade para soluções fortes de equações diferenciais estocásticas.

Continuidade de Feller

Além de ser (amostra) contínua, uma difusão Itô X satisfaz o requisito mais forte de ser um processo contínuo de Feller .

Para um ponto x  ∈  R ⁿ , deixar P ^x denotam o direito de X dado dado inicial X ₀  =  x , e deixe E ^x denotam expectativa com respeito ao P ^x .

Seja f  :  R ⁿ  →  R um Borel - função mensurável que é limitada abaixo e defina, para t fixo  ≥ 0, u  :  R ⁿ  →  R por

${\ displaystyle u (x) = \ mathbf {E} ^ {x} [f (X_ {t})].}$

• Semicontinuidade inferior : se f é semicontínuo inferior, então u é semicontínuo inferior.
• Continuidade de Feller: se f é limitado e contínuo, então u é contínuo.

O comportamento da função u acima quando o tempo t é variado é abordado pela equação retroativa de Kolmogorov, a equação de Fokker-Planck, etc. (Veja abaixo.)

A propriedade Markov

A propriedade Markov

Uma difusão Itô X tem a importante propriedade de ser markoviana : o comportamento futuro de X , dado o que aconteceu até algum tempo t , é o mesmo como se o processo tivesse sido iniciado na posição X _t no tempo 0. A matemática precisa formulação desta declaração requer alguma notação adicional:

Deixe Σ _∗ denotar a filtração natural de (Ω, Σ) gerada pelo movimento browniano B : para t  ≥ 0,

${\ displaystyle \ Sigma _ {t} = \ Sigma _ {t} ^ {B} = \ sigma \ left \ {B_ {s} ^ {- 1} (A) \ subseteq \ Omega \: \ 0 \ leq s \ leq t, A \ subseteq \ mathbf {R} ^ {n} {\ mbox {Borel}} \ right \}.}$

É fácil mostrar que X está adaptado a Σ _∗ (ou seja, cada X _t é Σ _t -mensurável), então a filtração natural F _∗  =  F _∗ ^X de (Ω, Σ) gerada por X tem F _t  ⊆ Σ _t para cada t  ≥ 0.

Seja f  :  R ⁿ  →  R uma função limitada, mensurável por Borel. Então, para todo t e h  ≥ 0, a expectativa condicional condicionada na σ-álgebra Σ _t e a expectativa do processo "reiniciado" de X _t satisfazem a propriedade de Markov :

${\ displaystyle \ mathbf {E} ^ {x} {\ big [} f (X_ {t + h}) {\ big |} \ Sigma _ {t} {\ big]} (\ omega) = \ mathbf { E} ^ {X_ {t} (\ omega)} [f (X_ {h})].}$

Na verdade, X também é um processo de Markov com relação à filtração F _∗ , como mostra o seguinte:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mathbf {E} ^ {x} \ left [f (X_ {t + h}) {\ big |} F_ {t} \ right] & = \ mathbf {E} ^ {x} \ left [\ mathbf {E} ^ {x} \ left [f (X_ {t + h}) {\ big |} \ Sigma _ {t} \ right] {\ big |} F_ {t} \ right] \\ & = \ mathbf {E} ^ {x} \ left [\ mathbf {E} ^ {X_ {t}} \ left [f (X_ {h}) \ right] {\ big |} F_ {t} \ right] \\ & = \ mathbf {E} ^ {X_ {t}} \ left [f (X_ {h}) \ right]. \ end {alinhado}}}$

A forte propriedade de Markov

A propriedade Markov forte é uma generalização da propriedade Markov acima na qual t é substituído por um tempo aleatório adequado τ: Ω → [0, + ∞] conhecido como tempo de parada . Assim, por exemplo, em vez de "reiniciar" o processo X no tempo t  = 1, pode-se "reiniciar" sempre que X primeiro atingir algum ponto especificado p de R ⁿ .

Como antes, seja f  :  R ⁿ  →  R uma função limitada, mensurável por Borel. Seja τ um tempo de parada em relação à filtração Σ _∗ com τ <+ ∞ quase certo . Então, para todo h  ≥ 0,

${\ displaystyle \ mathbf {E} ^ {x} {\ big [} f (X _ {\ tau + h}) {\ big |} \ Sigma _ {\ tau} {\ big]} = \ mathbf {E} ^ {X _ {\ tau}} {\ big [} f (X_ {h}) {\ big]}.}$

O gerador

Definição

Associado a cada difusão Itô, existe um operador diferencial parcial de segunda ordem conhecido como gerador da difusão. O gerador é muito útil em muitas aplicações e codifica uma grande quantidade de informações sobre o processo X . Formalmente, o gerador infinitesimal de uma difusão Itô X é o operador A , que é definido para atuar sobre funções adequadas f  :  R ⁿ  →  R por

${\ displaystyle Af (x) = \ lim _ {t \ downarrow 0} {\ frac {\ mathbf {E} ^ {x} [f (X_ {t})] - f (x)} {t}}. }$

O conjunto de todas as funções f para as quais existe esse limite em um ponto x é denotado por D _A ( x ), enquanto D _A denota o conjunto de todas as f para as quais existe o limite para todo x  ∈  R ⁿ . Pode-se mostrar que qualquer compactamente-suportado C ² função (duas vezes com diferenciável segunda derivada contínua) f encontra-se em D _A e que

${\ displaystyle Af (x) = \ sum _ {i} b_ {i} (x) {\ frac {\ parcial f} {\ parcial x_ {i}}} (x) + {\ tfrac {1} {2 }} \ sum _ {i, j} \ left (\ sigma (x) \ sigma (x) ^ {\ top} \ right) _ {i, j} {\ frac {\ partial ^ {2} f} { \ parcial x_ {i} \, \ parcial x_ {j}}} (x),}$

ou, em termos de gradiente e escalar e produtos internos Frobenius ,

${\ displaystyle Af (x) = b (x) \ cdot \ nabla _ {x} f (x) + {\ tfrac {1} {2}} \ left (\ sigma (x) \ sigma (x) ^ { \ top} \ right): \ nabla _ {x} \ nabla _ {x} f (x).}$

Um exemplo

O gerador A para o movimento browniano n- dimensional padrão B , que satisfaz a equação diferencial estocástica d X _t  = d B _t , é dado por

${\ displaystyle Af (x) = {\ tfrac {1} {2}} \ sum _ {i, j} \ delta _ {ij} {\ frac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial x_ {i } \, \ parcial x_ {j}}} (x) = {\ tfrac {1} {2}} \ sum _ {i} {\ frac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial x_ {i} ^ {2}}} (x)}$,

ou seja, A  = Δ / 2, onde Δ denota o operador de Laplace .

As equações de Kolmogorov e Fokker-Planck

O gerador é usado na formulação da equação retroativa de Kolmogorov. Intuitivamente, essa equação nos diz como o valor esperado de qualquer estatística adequadamente suave de X evolui no tempo: ela deve resolver uma certa equação diferencial parcial na qual o tempo t e a posição inicial x são as variáveis ​​independentes. Mais precisamente, se f  ∈  C ² ( R ⁿ ;  R ) tem suporte compacto e u  : [0, + ∞) ×  R ⁿ  →  R é definido por

${\ displaystyle u (t, x) = \ mathbf {E} ^ {x} [f (X_ {t})],}$

então u ( t ,  x ) é diferenciável em relação a t , u ( t , ·) ∈  D _A para todo t e u satisfaz a seguinte equação diferencial parcial , conhecida como equação retroativa de Kolmogorov :

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dfrac {\ partial u} {\ partial t}} (t, x) = Au (t, x), & t> 0, x \ in \ mathbf {R} ^ { n}; \\ u (0, x) = f (x), & x \ in \ mathbf {R} ^ {n}. \ end {casos}}}$

A equação de Fokker-Planck (também conhecida como equação progressiva de Kolmogorov ) é, em certo sentido, a " adjunta " da equação retroativa e nos diz como as funções de densidade de probabilidade de X _t evoluem com o tempo t . Seja ρ ( t , ·) a densidade de X _t em relação à medida de Lebesgue em R ⁿ , ou seja, para qualquer conjunto mensurável de Borel S  ⊆  R ⁿ ,

${\ displaystyle \ mathbf {P} \ left [X_ {t} \ in S \ right] = \ int _ {S} \ rho (t, x) \, \ mathrm {d} x.}$

Seja A ^∗ o adjunto Hermitiano de A (em relação ao produto interno L ² ). Então, dado que a posição inicial X ₀ tem uma densidade prescrita ρ ₀ , ρ ( t ,  x ) é diferenciável em relação a t , ρ ( t , ·) ∈  D _{A *} para todo t , e ρ satisfaz a seguinte diferencial parcial equação, conhecida como equação de Fokker-Planck :

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dfrac {\ partial \ rho} {\ partial t}} (t, x) = A ^ {*} \ rho (t, x), & t> 0, x \ in \ mathbf {R} ^ {n}; \\\ rho (0, x) = \ rho _ {0} (x), & x \ in \ mathbf {R} ^ {n}. \ end {casos}}}$

A fórmula de Feynman-Kac

A fórmula de Feynman-Kac é uma generalização útil da equação retroativa de Kolmogorov. Novamente, f está em C ² ( R ⁿ ;  R ) e tem suporte compacto, e q  :  R ⁿ  →  R é considerado uma função contínua que é limitada abaixo. Defina uma função v  : [0, + ∞) ×  R ⁿ  →  R por

${\ displaystyle v (t, x) = \ mathbf {E} ^ {x} \ left [\ exp \ left (- \ int _ {0} ^ {t} q (X_ {s}) \, \ mathrm { d} s \ direita) f (X_ {t}) \ direita].}$

A fórmula de Feynman-Kac afirma que v satisfaz a equação diferencial parcial

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ dfrac {\ partial v} {\ partial t}} (t, x) = Av (t, x) -q (x) v (t, x), & t> 0 , x \ in \ mathbf {R} ^ {n}; \\ v (0, x) = f (x), & x \ in \ mathbf {R} ^ {n}. \ end {casos}}}$

Além disso, se w  : [0, + ∞) ×  R ⁿ  →  R é C ¹ no tempo, C ² no espaço, limitado em K  ×  R ⁿ para todos os K compactos , e satisfaz a equação diferencial parcial acima, então w deve ser v conforme definido acima.

A equação retroativa de Kolmogorov é o caso especial da fórmula de Feynman – Kac na qual q ( x ) = 0 para todo x  ∈  R ⁿ .

O operador característico

Definição

O operador característico de uma difusão Itô X é um operador diferencial parcial intimamente relacionado ao gerador, mas um tanto mais geral. É mais adequado para certos problemas, por exemplo, na solução do problema de Dirichlet .

O operador característico de uma difusão Itô X é definido por ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {A}} f (x) = \ lim _ {U \ downarrow x} {\ frac {\ mathbf {E} ^ {x} \ left [f (X _ {\ tau _ {U} }) \ right] -f (x)} {\ mathbf {E} ^ {x} [\ tau _ {U}]}},}$

onde os conjuntos U formam uma sequência de conjuntos abertos U _k que diminuem até o ponto x no sentido de que

${\ displaystyle U_ {k + 1} \ subseteq U_ {k} {\ mbox {and}} \ bigcap _ {k = 1} ^ {\ infty} U_ {k} = \ {x \},}$

e

${\ displaystyle \ tau _ {U} = \ inf \ {t \ geq 0 \: \ X_ {t} \ não \ em U \}}$

É a primeira vez sair do U para X . denota o conjunto de todos os f para os quais este limite existe para todos os x  ∈  R ⁿ e todas as sequências { U _k }. Se E ^x [τ _U ] = + ∞ para todos os conjuntos abertos U contendo x , defina ${\ displaystyle D _ {\ mathcal {A}}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {A}} f (x) = 0.}$

Relacionamento com o gerador

O operador característico e o gerador infinitesimal estão intimamente relacionados e até concordam para uma grande classe de funções. Pode-se mostrar que

${\ displaystyle D_ {A} \ subseteq D _ {\ mathcal {A}}}$

e essa

${\ displaystyle Af = {\ mathcal {A}} f {\ mbox {para todos}} f \ in D_ {A}.}$

Em particular, o gerador e o operador de característica concordam para todas as funções C ² f , caso em que

${\ displaystyle {\ mathcal {A}} f (x) = \ sum _ {i} b_ {i} (x) {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} (x) + { \ tfrac {1} {2}} \ sum _ {i, j} \ left (\ sigma (x) \ sigma (x) ^ {\ top} \ right) _ {i, j} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ parcial x_ {i} \, \ parcial x_ {j}}} (x).}$

Aplicação: Movimento browniano em uma variedade Riemanniana

Acima, o gerador (e, portanto, o operador característico) do movimento browniano em R ⁿ foi calculado como sendo ½Δ, onde Δ denota o operador de Laplace. O operador característico é útil para definir o movimento browniano em uma variedade Riemanniana m- dimensional ( M ,  g ): um movimento browniano em M é definido como uma difusão em M cujo operador característico em coordenadas locais x _i , 1 ≤  i  ≤  m , é dado por ½Δ _LB , onde Δ _LB é o operador Laplace-Beltrami dado em coordenadas locais por ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

${\ displaystyle \ Delta _ {\ mathrm {LB}} = {\ frac {1} {\ sqrt {\ det (g)}}} \ sum _ {i = 1} ^ {m} {\ frac {\ parcial } {\ partial x_ {i}}} \ left ({\ sqrt {\ det (g)}} \ sum _ {j = 1} ^ {m} g ^ {ij} {\ frac {\ partial} {\ parcial x_ {j}}} \ right),}$

onde [ g ^ij ] = [ g _ij ] ⁻¹ no sentido do inverso de uma matriz quadrada .

O operador resolvente

Em geral, o gerador A de uma difusão Itô X não é um operador limitado . No entanto, se um múltiplo positivo do operador de identidade I é subtraído de A, então o operador resultante é invertível. O inverso deste operador pode ser expresso em termos do próprio X usando o operador resolvente .

Para α> 0, o operador resolvente R _α , atuando nas funções limitadas e contínuas g  :  R ⁿ  →  R , é definido por

${\ displaystyle R _ {\ alpha} g (x) = \ mathbf {E} ^ {x} \ left [\ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- \ alpha t} g (X_ {t} ) \, \ mathrm {d} t \ right].}$

Pode-se mostrar, usando a continuidade de Feller da difusão X , que R _α g é ele próprio uma função limitada e contínua. Além disso, R _α e α I  -  A são operadores mutuamente inversos:

• se f  :  R ⁿ  →  R é C ² com suporte compacto, então, para todo α> 0,

${\ displaystyle R _ {\ alpha} (\ alpha \ mathbf {I} -A) f = f;}$

• se g  :  R ⁿ  →  R é limitado e contínuo, então R _α g encontra-se em D _A e, para todo α> 0,

${\ displaystyle (\ alpha \ mathbf {I} -A) R _ {\ alpha} g = g.}$

Medidas invariantes

Às vezes é necessário encontrar uma medida invariante para uma difusão de Itô X , ou seja, uma medida em R ⁿ que não muda sob o "fluxo" de X : ou seja, se X ₀ é distribuído de acordo com tal medida invariante μ _∞ , então X _t também é distribuído de acordo com μ _∞ para qualquer t  ≥ 0. A equação de Fokker-Planck oferece uma maneira de encontrar tal medida, pelo menos se ela tiver uma função de densidade de probabilidade ρ _∞ : se X ₀ for de fato distribuído de acordo com um medida invariante μ _∞ com densidade ρ _∞ , então a densidade ρ ( t , ·) de X _t não muda com t , então ρ ( t , ·) = ρ _∞ , e então ρ _∞ deve resolver o (independente do tempo) Equação diferencial parcial

${\ displaystyle A ^ {*} \ rho _ {\ infty} (x) = 0, \ quad x \ in \ mathbf {R} ^ {n}.}$

Isso ilustra uma das conexões entre a análise estocástica e o estudo de equações diferenciais parciais. Por outro lado, uma dada equação diferencial parcial linear de segunda ordem da forma Λ f  = 0 pode ser difícil de resolver diretamente, mas se Λ =  A ^∗ para alguma difusão de Itô X , e uma medida invariante para X é fácil de calcular, então isso a densidade da medida fornece uma solução para a equação diferencial parcial.

Medidas invariantes para fluxos gradientes

Uma medida invariável é comparativamente fácil de calcular quando o processo X é um fluxo gradiente estocástico do formulário

${\ displaystyle \ mathrm {d} X_ {t} = - \ nabla \ Psi (X_ {t}) \, \ mathrm {d} t + {\ sqrt {2 \ beta ^ {- 1}}} \, \ mathrm {d} B_ {t},}$

onde β> 0 desempenha o papel de uma temperatura inversa e Ψ:  R ⁿ  →  R é um potencial escalar que satisfaz as condições de suavidade e crescimento adequadas. Neste caso, a equação de Fokker-Planck tem uma solução estacionária única ρ _∞ (ou seja, X tem uma medida invariante única μ _∞ com densidade ρ _∞ ) e é dada pela distribuição de Gibbs :

${\ displaystyle \ rho _ {\ infty} (x) = Z ^ {- 1} \ exp (- \ beta \ Psi (x)),}$

onde a função de partição Z é dada por

${\ displaystyle Z = \ int _ {\ mathbf {R} ^ {n}} \ exp (- \ beta \ Psi (x)) \, \ mathrm {d} x.}$

Além disso, a densidade ρ _∞ satisfaz um princípio variacional : ela minimiza sobre todas as densidades de probabilidade ρ em R ⁿ o funcional de energia livre F dado por

${\ displaystyle F [\ rho] = E [\ rho] + {\ frac {1} {\ beta}} S [\ rho],}$

Onde

${\ displaystyle E [\ rho] = \ int _ {\ mathbf {R} ^ {n}} \ Psi (x) \ rho (x) \, \ mathrm {d} x}$

desempenha o papel de um funcional de energia, e

${\ displaystyle S [\ rho] = \ int _ {\ mathbf {R} ^ {n}} \ rho (x) \ log \ rho (x) \, \ mathrm {d} x}$

é o negativo da entropia funcional de Gibbs-Boltzmann. Mesmo quando o potencial Ψ não é bem comportado o suficiente para a função de partição Z e a medida de Gibbs μ _∞ ser definida, a energia livre F [ρ ( t , ·)] ainda faz sentido para cada tempo t  ≥ 0, desde que a condição inicial tem F [ρ (0, ·)] <+ ∞. O funcional de energia livre F é, de fato, uma função de Lyapunov para a equação de Fokker-Planck: F [ρ ( t , ·)] deve diminuir à medida que t aumenta. Assim, F é uma função H para a dinâmica do X.

Exemplo

Considere o processo de Ornstein-Uhlenbeck X em R ⁿ satisfazendo a equação diferencial estocástica

${\ displaystyle \ mathrm {d} X_ {t} = - \ kappa (X_ {t} -m) \, \ mathrm {d} t + {\ sqrt {2 \ beta ^ {- 1}}} \, \ mathrm {d} B_ {t},}$

onde m  ∈  R ⁿ e β, κ> 0 são constantes dadas. Neste caso, o potencial Ψ é dado por

${\ displaystyle \ Psi (x) = {\ tfrac {1} {2}} \ kappa | xm | ^ {2},}$

e assim a medida invariante para X é uma medida gaussiana com densidade ρ _∞ dada por

${\ displaystyle \ rho _ {\ infty} (x) = \ left ({\ frac {\ beta \ kappa} {2 \ pi}} \ right) ^ {\ frac {n} {2}} \ exp \ left (- {\ frac {\ beta \ kappa | xm | ^ {2}} {2}} \ right)}$.

Heuristicamente, para grande t , X _t é aproximadamente normalmente distribuído com média m e variância (βκ) ^-1 . A expressão para a variância pode ser interpretada da seguinte forma: grandes valores de κ significam que o poço potencial Ψ tem "lados muito íngremes", então é improvável que X _t se mova para longe do mínimo de Ψ em m ; da mesma forma, grandes valores de β significam que o sistema está bastante "frio" com pouco ruído, então, novamente, é improvável que X _t se afaste de m .

A propriedade martingale

Em geral, uma difusão X Itô não é um martingale . No entanto, para qualquer f  ∈  C ² ( R ⁿ ;  R ) com suporte compacto, o processo M  : [0, + ∞) × Ω →  R definido por

${\ displaystyle M_ {t} = f (X_ {t}) - \ int _ {0} ^ {t} Af (X_ {s}) \, \ mathrm {d} s,}$

onde A é o gerador de X , é um martingala com respeito à filtragem natural F _* de (Ω, Σ) por X . A prova é bastante simples: segue-se da expressão usual da ação do gerador em funções suaves f e do lema de Itô (a regra da cadeia estocástica ) que

${\ displaystyle f (X_ {t}) = f (x) + \ int _ {0} ^ {t} Af (X_ {s}) \, \ mathrm {d} s + \ int _ {0} ^ {t } \ nabla f (X_ {s}) ^ {\ top} \ sigma (X_ {s}) \, \ mathrm {d} B_ {s}.}$

Uma vez que os integrais de Itô são martingales com relação à filtração natural Σ _∗ de (Ω, Σ) por B , para t  >  s ,

${\ displaystyle \ mathbf {E} ^ {x} {\ big [} M_ {t} {\ big |} \ Sigma _ {s} {\ big]} = M_ {s}.}$

Portanto, conforme necessário,

${\ displaystyle \ mathbf {E} ^ {x} [M_ {t} | F_ {s}] = \ mathbf {E} ^ {x} \ left [\ mathbf {E} ^ {x} {\ big [} M_ {t} {\ big |} \ Sigma _ {s} {\ big]} {\ big |} F_ {s} \ right] = \ mathbf {E} ^ {x} {\ big [} M_ {s } {\ big |} F_ {s} {\ big]} = M_ {s},}$

uma vez que M _s é F _s -mensurável.

Fórmula de Dynkin

A fórmula de Dynkin, nomeada em homenagem a Eugene Dynkin , fornece o valor esperado de qualquer estatística adequadamente suave de uma difusão X de Itô (com gerador A ) em um tempo de parada. Precisamente, se τ é um tempo de parada com E ^x [τ] <+ ∞, e f  :  R ⁿ  →  R é C ² com suporte compacto, então

${\ displaystyle \ mathbf {E} ^ {x} [f (X _ {\ tau})] = f (x) + \ mathbf {E} ^ {x} \ left [\ int _ {0} ^ {\ tau } Af (X_ {s}) \, \ mathrm {d} s \ direita].}$

A fórmula de Dynkin pode ser usada para calcular muitas estatísticas úteis de tempos de parada. Por exemplo, o movimento browniano canônico na linha real começando em 0 sai do intervalo (- R , + R ) em um tempo aleatório τ _R com valor esperado

${\ displaystyle \ mathbf {E} ^ {0} [\ tau _ {R}] = R ^ {2}.}$

A fórmula de Dynkin fornece informações sobre o comportamento de X em um tempo de parada bastante geral. Para obter mais informações sobre a distribuição de X em um momento de acerto , pode-se estudar a medida harmônica do processo.

Medidas associadas

A medida harmônica

Em muitas situações, é suficiente saber quando uma difusão Itô X deixará pela primeira vez um conjunto mensurável H  ⊆  R ⁿ . Ou seja, deseja-se estudar o primeiro tempo de saída

${\ displaystyle \ tau _ {H} (\ omega) = \ inf \ {t \ geq 0 | X_ {t} \ não \ em H \}.}$

Às vezes, porém, também se deseja saber a distribuição dos pontos em que X sai do conjunto. Por exemplo, o movimento browniano canônico B na linha real começando em 0 sai do intervalo (−1, 1) em −1 com probabilidade ½ e em 1 com probabilidade ½, então B _{τ (−1, 1)} é uniformemente distribuído no defina {-1, 1}.

Em geral, se G está compactamente incorporado dentro de R ⁿ , então a medida harmônica (ou distribuição de acerto ) de X no limite ∂ G de G é a medida μ _G ^x definida por

${\ displaystyle \ mu _ {G} ^ {x} (F) = \ mathbf {P} ^ {x} \ left [X _ {\ tau _ {G}} \ in F \ right]}$

para x  ∈  G e F  ⊆ ∂ L .

Voltando ao exemplo anterior de movimento browniano, pode-se mostrar que se B é um movimento browniano em R ⁿ começando em x  ∈  R ⁿ e D  ⊂  R ⁿ é uma bola aberta centrada em x , então a medida harmônica de B em ∂ D é invariante em todas as rotações de D cerca de x e coincide com o normalizada medida de superfície no ∂ D .

A medida harmônica satisfaz uma propriedade de valor médio interessante : se f  :  R ⁿ  →  R é qualquer limitado, função mensurável de Borel e φ é dado por

${\ displaystyle \ varphi (x) = \ mathbf {E} ^ {x} \ left [f (X _ {\ tau _ {H}}) \ right],}$

então, para todos os conjuntos de Borel G  ⊂⊂  H e todos os x  ∈  G ,

${\ displaystyle \ varphi (x) = \ int _ {\ parcial G} \ varphi (y) \, \ mathrm {d} \ mu _ {G} ^ {x} (y).}$

A propriedade do valor médio é muito útil na solução de equações diferenciais parciais usando processos estocásticos .

A medida verde e a fórmula verde

Seja A um operador diferencial parcial em um domínio D  ⊆  R ⁿ e seja X uma difusão Itô com A como seu gerador. Intuitivamente, a medida de um verde Borel definido H é o comprimento de tempo esperado que X estadias em H antes de deixar o domínio D . Ou seja, a medida de Green de X em relação a D em x , denotada G ( x , ·), é definida para conjuntos de Borel H  ⊆  R ⁿ por

${\ displaystyle G (x, H) = \ mathbf {E} ^ {x} \ left [\ int _ {0} ^ {\ tau _ {D}} \ chi _ {H} (X_ {s}) \ , \ mathrm {d} s \ direita],}$

ou para funções contínuas limitadas f  :  D  →  R por

${\ displaystyle \ int _ {D} f (y) \, G (x, \ mathrm {d} y) = \ mathbf {E} ^ {x} \ left [\ int _ {0} ^ {\ tau _ {D}} f (X_ {s}) \, \ mathrm {d} s \ direita].}$

O nome "medida verde" vem do fato de que se X é um movimento browniano, então

${\ displaystyle G (x, H) = \ int _ {H} G (x, y) \, \ mathrm {d} y,}$

onde G ( x ,  y ) é a função do verde para o ½Δ operador no domínio D .

Suponhamos que E ^x [τ _D ] <+ ∞ para todos os x  ∈  D . Então, a fórmula de Green vale para todo f  ∈  C ² ( R ⁿ ;  R ) com suporte compacto:

${\ displaystyle f (x) = \ mathbf {E} ^ {x} \ left [f \ left (X _ {\ tau _ {D}} \ right) \ right] - \ int _ {D} Af (y) \, G (x, \ mathrm {d} y).}$

Em particular, se o suporte de f for compactamente incorporado em D ,

${\ displaystyle f (x) = - \ int _ {D} Af (y) \, G (x, \ mathrm {d} y).}$

Veja também

• Processo de difusão

Referências

• Dynkin, Eugene B .; trans. J. Fabius; V. Greenberg; A. Maitra; G. Majone (1965). Processos de Markov. Vols. I, II . Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Bände 121. Nova York: Academic Press Inc. MR 0193671
• Jordan, Richard; Kinderlehrer, David; Otto, Felix (1998). "A formulação variacional da equação de Fokker-Planck". SIAM J. Math. Anal . 29 (1): 1–17 (eletrônico). CiteSeerX  10.1.1.6.8815 . doi : 10.1137 / S0036141096303359 . MR 1617171
• Øksendal, Bernt K. (2003). Equações diferenciais estocásticas: uma introdução com aplicações (sexta ed.). Berlim: Springer. ISBN 3-540-04758-1. MR 2001996 (Ver Seções 7, 8 e 9)