Aritmética de variedades abelianas - Arithmetic of abelian varieties
Em matemática , a aritmética das variedades abelianas é o estudo da teoria dos números de uma variedade abeliana , ou uma família de variedades abelianas. Remonta aos estudos de Pierre de Fermat sobre o que hoje é conhecido como curvas elípticas ; e se tornou uma área muito substancial da geometria aritmética, tanto em termos de resultados quanto de conjecturas. A maioria deles pode ser apresentada para uma variedade abeliana A sobre um campo numérico K ; ou mais geralmente (para campos globais ou anéis ou campos gerados finitamente mais gerais).
Pontos inteiros em variedades abelianas
Há alguma tensão aqui entre os conceitos: o ponto inteiro pertence em certo sentido à geometria afim , enquanto a variedade abeliana é inerentemente definida na geometria projetiva . Os resultados básicos, como o teorema de Siegel sobre pontos integrais , vêm da teoria da aproximação diofantina .
Pontos racionais sobre variedades abelianas
O resultado básico, o teorema de Mordell-Weil na geometria diofantina , diz que A ( K ), o grupo de pontos em A sobre K , é um grupo abeliano finitamente gerado . Muitas informações sobre seus possíveis subgrupos de torção são conhecidas, pelo menos quando A é uma curva elíptica. Acredita-se que a questão da classificação esteja ligada às funções L (veja abaixo).
A teoria de torsor aqui leva ao grupo de Selmer e ao grupo de Tate-Shafarevich , o último (conjeturalmente finito) sendo difícil de estudar.
Alturas
A teoria das alturas desempenha um papel proeminente na aritmética das variedades abelianas. Por exemplo, a altura canônica de Néron-Tate é uma forma quadrática com propriedades notáveis que aparecem na declaração da conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer .
Mod de redução p
Redução de uma variedade abeliana Um módulo um ideal primo de (os inteiros de) K - digamos, um número primo p - para obter uma variedade abeliana A p sobre um corpo finito , é possível para quase todo p . Os "maus" primos, para os quais a redução degenera ao adquirir pontos singulares , são conhecidos por revelarem informações muito interessantes. Como costuma acontecer na teoria dos números, os primos "ruins" desempenham um papel bastante ativo na teoria.
Aqui, uma teoria refinada de (com efeito) um adjunto direito ao mod p de redução - o modelo de Néron - nem sempre pode ser evitada. No caso de uma curva elíptica, existe um algoritmo de John Tate que a descreve.
Funções L
Para variedades abelianas como A p , há uma definição de função zeta local disponível. Para obter uma função L para o próprio A, toma-se um produto de Euler adequado de tais funções locais; para entender o número finito de fatores para os primos 'ruins', é necessário referir-se ao módulo Tate de A, que é (dual) o grupo de cohomologia étale H 1 (A) e a ação do grupo de Galois sobre ele. Desta forma, obtém-se uma definição respeitável da função L de Hasse-Weil para A. Em geral, suas propriedades, como a equação funcional , ainda são conjecturais - a conjectura de Taniyama-Shimura (que foi comprovada em 2001) foi apenas um caso especial, então isso não é surpreendente.
É em termos dessa função L que a conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer é colocada. É apenas um aspecto particularmente interessante da teoria geral sobre os valores das funções L L ( s ) em valores inteiros de s , e há muita evidência empírica que o apóia.
Multiplicação complexa
Desde a época de Carl Friedrich Gauss (que conhecia o caso da função lemniscata ), o papel especial é conhecido dessas variedades abelianas com automorfismos extras e, mais geralmente, endomorfismos. Em termos de anel , há uma definição de variedade abeliana do tipo CM que destaca a classe mais rica. Eles são especiais em sua aritmética. Isso é visto em suas funções L em termos bastante favoráveis - a análise harmônica necessária é toda do tipo de dualidade Pontryagin , ao invés de precisar de representações automórficas mais gerais . Isso reflete um bom entendimento de seus módulos Tate como módulos Galois . Também torna mais difícil lidar com eles em termos de geometria algébrica conjectural ( conjectura de Hodge e conjectura de Tate ). Nesses problemas, a situação especial é mais exigente do que a geral.
No caso de curvas elípticas, o Kronecker Jugendtraum foi o programa que Leopold Kronecker propôs, para usar curvas elípticas do tipo CM para fazer teoria de campo de classe explicitamente para campos quadráticos imaginários - da maneira que raízes de unidade permitem fazer isso para o campo de números racionais. Isso generaliza, mas em certo sentido com perda de informações explícitas (como é típico de várias variáveis complexas ).
Conjectura de Manin-Mumford
A conjectura Manin-Mumford de Yuri Manin e David Mumford , provada por Michel Raynaud , afirma que uma curva C em sua variedade Jacobiana J só pode conter um número finito de pontos que são de ordem finita (um ponto de torção ) em J , a menos que C = J . Existem outras versões mais gerais, como a conjectura de Bogomolov que generaliza a afirmação para pontos de não torção.