As interpretações dos volumes 3D para a esquerda: um paralelepípedo (Ω na definição do seno polar) e para a direita: um cubóide (Π na definição). A interpretação é semelhante em dimensões superiores.
das magnitudes || v i || dos vetores é igual ao hipervolume do hiper-retângulo n- dimensional , com arestas iguais às magnitudes dos vetores || v 1 ||, || v 2 ||, ... || v n || (não os próprios vetores). Veja também Ericksson.
O paralelotopo é como um "hiper-retângulo achatado", por isso tem menos hipervolume que o hiper-retângulo, ou seja (veja a imagem para o caso 3d):
e uma vez que esta proporção pode ser negativa, psin é sempre limitada entre -1 e +1 pelas desigualdades :
quanto ao seno ordinário, com qualquer um dos limites sendo alcançado apenas no caso de todos os vetores serem mutuamente ortogonais .
No caso n = 2, o seno polar é o seno ordinário do ângulo entre os dois vetores.
Em dimensões superiores
Uma versão não negativa do seno polar que funciona em qualquer espaço m- dimensional ( m ≥ n ) pode ser definida usando o determinante de Gram . O numerador é dado como
Se a dimensão do espaço for maior do que n, então o seno polar não é negativo e permanece inalterado sempre que dois dos vetores v j e v k são trocados. Caso contrário, ele muda de sinal sempre que dois vetores são trocados, devido à antissimetria de troca de linha no determinante:
Invariância sob multiplicação escalar de vetores
O seno polar não muda se todos os vetores v 1 , ..., v n são multiplicados por escalar por constantes positivas c i , devido à fatoração
Se um número ímpar dessas constantes for negativo, o sinal do seno polar mudará; no entanto, seu valor absoluto permanecerá inalterado.
Desaparece com dependências lineares
Se os vetores não forem linearmente independentes , o seno polar será zero. Isso sempre será assim no caso degenerado em que o número de dimensões m é estritamente menor que o número de vetores n .
Relação com cossenos emparelhados
O cosseno do ângulo entre dois vetores diferentes de zero é dado por
usando o produto escalar . A comparação desta expressão com a definição do valor absoluto do seno polar conforme dado acima dá:
^
Lerman, Gilad; Whitehouse, J. Tyler (2009). "Em semimetria d-dimensional d e desigualdades do tipo simplex para funções senoidais de alta dimensão". Journal of Approximation Theory . 156 : 52–81. arXiv : 0805.1430 . doi : 10.1016 / j.jat.2008.03.005 . S2CID 12794652 .
![{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ operatorname {psin} (c_ {1} \ mathbf {v} _ {1}, \ dots, c_ {n} \ mathbf {v} _ {n}) & = {\ frac {\ det {\ begin {bmatrix} c_ {1} \ mathbf {v} _ {1} & c_ {2} \ mathbf {v} _ {2} & \ cdots & c_ {n} \ mathbf {v} _ { n} \ end {bmatrix}}} {\ prod _ {i = 1} ^ {n} \ | c_ {i} \ mathbf {v} _ {i} \ |}} \\ [6pt] & = {\ frac {\ prod _ {i = 1} ^ {n} c_ {i}} {\ prod _ {i = 1} ^ {n} | c_ {i} |}} \ cdot {\ frac {\ det {\ begin {bmatrix} \ mathbf {v} _ {1} & \ mathbf {v} _ {2} & \ cdots & \ mathbf {v} _ {n} \ end {bmatrix}}} {\ prod _ {i = 1} ^ {n} \ | \ mathbf {v} _ {i} \ |}} \\ [6pt] & = \ operatorname {psin} (\ mathbf {v} _ {1}, \ pontos, \ mathbf { v} _ {n}). \ end {alinhado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84914146a444deccd208fe9ca0e5453c4fdc2329)
![{\ displaystyle \ left | \ operatorname {psin} (\ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {n}) \ right | ^ {2} = \ det \! \ left [ {\ begin {matrix} 1 & \ cos (\ mathbf {v} _ {1}, \ mathbf {v} _ {2}) & \ cdots & \ cos (\ mathbf {v} _ {1}, \ mathbf { v} _ {n}) \\\ cos (\ mathbf {v} _ {2}, \ mathbf {v} _ {1}) & 1 & \ cdots & \ cos (\ mathbf {v} _ {2}, \ mathbf {v} _ {n}) \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\\ cos (\ mathbf {v} _ {n}, \ mathbf {v} _ {1}) & \ cos (\ mathbf {v} _ {n}, \ mathbf {v} _ {2}) & \ cdots & 1 \\\ end {matrix}} \ right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/756b2f3d6b6afaf14031c49d63e338b6841288cc)
