Polytope - Polytope

Um poliedro é um politopo tridimensional

Um polígono é um politopo bidimensional. Alguns polígonos de diferentes tipos: aberto (excluindo seu limite), circuito delimitador apenas (ignorando seu interior), fechado (incluindo seu limite e seu interior) e auto-intersecção com densidades variáveis ​​de regiões diferentes.

Na geometria elementar , um politopo é um objeto geométrico com lados "planos". É uma generalização em qualquer número de dimensões do poliedro tridimensional . Os politopos podem existir em qualquer número geral de dimensões n como um politopo n- dimensional ou n- politopo . Neste contexto, "lados planos" significa que os lados de um ( k +1) -polítopo consistem em k- polítopos que podem ter ( k -1) -polítopos em comum. Por exemplo, um polígono bidimensional é um politopo 2 e um poliedro tridimensional é um politopo 3.

Algumas teorias generalizam ainda mais a ideia para incluir objetos como apeirótopos e tesselações ilimitadas , decomposições ou inclinações de variedades curvas , incluindo poliedros esféricos e politopos abstratos teóricos de conjuntos .

Polopos em mais de três dimensões foram descobertos pela primeira vez por Ludwig Schläfli . O termo alemão politopo foi cunhado pelo matemático Reinhold Hoppe e foi apresentado aos matemáticos ingleses como politopo por Alicia Boole Stott .

Abordagens para definição

O termo politopo é hoje um termo amplo que cobre uma ampla classe de objetos e várias definições aparecem na literatura matemática. Muitas dessas definições não são equivalentes entre si, resultando em diferentes conjuntos de objetos sobrepostos sendo chamados de politopos . Eles representam diferentes abordagens para generalizar os politopos convexos para incluir outros objetos com propriedades semelhantes.

A abordagem original amplamente seguida por Ludwig Schläfli , Thorold Gosset e outros começa com a extensão por analogia em quatro ou mais dimensões, da ideia de um polígono e poliedro respectivamente em duas e três dimensões.

As tentativas de generalizar a característica de Euler de poliedros para politopos de dimensões superiores levaram ao desenvolvimento da topologia e ao tratamento de uma decomposição ou complexo de CW como análogo a um politopo. Nesta abordagem, um politopo pode ser considerado como um mosaico ou decomposição de alguma variedade dada . Um exemplo dessa abordagem define um politopo como um conjunto de pontos que admite uma decomposição simplicial . Nesta definição, um politopo é a união de muitos simplicos finitos , com a propriedade adicional de que, para quaisquer dois simplicos que tenham uma interseção não vazia, sua interseção é um vértice, aresta ou face dimensional superior dos dois. No entanto, esta definição não permite politopos estrelados com estruturas interiores e, portanto, está restrita a certas áreas da matemática.

A descoberta de poliedros estrelados e outras construções incomuns levou à ideia de um poliedro como uma superfície delimitadora, ignorando seu interior. Nesta luz, os politopos convexos no espaço- p são equivalentes a ladrilhos da esfera ( p- 1) , enquanto outros podem ser ladrilhos de outras superfícies elípticas , planas ou toroidais ( p- 1) - veja ladrilhos elípticos e poliedro toroidal . Um poliedro é entendido como uma superfície cujas faces são polígonos , um 4-politopo como uma hipersuperfície cujas facetas ( células ) são poliedros e assim por diante.

A ideia de construir um politopo superior a partir daqueles de dimensão inferior também é, às vezes, estendida para baixo em dimensão, com uma ( borda ) vista como um politopo 1 limitado por um par de pontos e um ponto ou vértice como um politopo 0. Esta abordagem é usada, por exemplo, na teoria dos politopos abstratos .

Em certos campos da matemática, os termos "politopo" e "poliedro" são usados ​​em um sentido diferente: um poliedro é o objeto genérico em qualquer dimensão (referido como politopo neste artigo) e politopo significa um poliedro limitado . Esta terminologia é tipicamente confinada a politopos e poliedros que são convexos . Com essa terminologia, um poliedro convexo é a interseção de um número finito de meiosespaços e é definido por seus lados, enquanto um politopo convexo é o casco convexo de um número finito de pontos e é definido por seus vértices.

Os politopos em números menores de dimensões têm nomes padrão:

Elementos

Um politopo compreende elementos de dimensionalidade diferente, como vértices, arestas, faces, células e assim por diante. A terminologia para estes não é totalmente consistente entre os diferentes autores. Por exemplo, alguns autores usam face para se referir a um elemento ( n  - 1) -dimensional, enquanto outros usam face para denotar especificamente uma face de 2. Os autores podem usar j -face ou j -facet para indicar um elemento de j dimensões. Alguns usam borda para se referir a uma crista, enquanto HSM Coxeter usa célula para denotar um elemento ( n  - 1) -dimensional.

Os termos adotados neste artigo são apresentados na tabela abaixo:

Dimensão do elemento	Termo (em um n- polítopo)
-1	Nulidade (necessária na teoria abstrata )
0	Vértice
1	Borda
2	Enfrentar
3	Célula
${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$
j	j -face - elemento de classificação j = −1, 0, 1, 2, 3, ..., n
${\ displaystyle \ vdots}$	${\ displaystyle \ vdots}$
n - 3	Pico - ( n - 3) -face
n - 2	Ridge ou subfacet - ( n - 2) -face
n - 1	Faceta - ( n - 1) -face
n	O próprio politopo

Um politopo n- dimensional é limitado por um número de facetas ( n  - 1) -dimensionais . Essas facetas são, elas mesmas, politopos, cujas facetas são cristas ( n  - 2) -dimensionais do politopo original. Cada crista surge como a interseção de duas facetas (mas a interseção de duas facetas não precisa ser uma crista). As cumeeiras são novamente politopos cujas facetas dão origem a  limites ( n - 3) -dimensionais do politopo original, e assim por diante. Esses sub-politopos delimitadores podem ser referidos como faces ou, especificamente, faces j -dimensionais ou j -faces. Uma face 0-dimensional é chamada de vértice e consiste em um único ponto. Uma face unidimensional é chamada de aresta e consiste em um segmento de linha. Uma face bidimensional consiste em um polígono e uma face tridimensional, às vezes chamada de célula , consiste em um poliedro .

Classes importantes de politopos

Politopos convexos

Um politopo pode ser convexo . Os politopos convexos são os tipos mais simples de politopos e constituem a base para várias generalizações diferentes do conceito de politopos. Um politopo convexo às vezes é definido como a interseção de um conjunto de meios-espaços . Esta definição permite que um politopo não seja limitado nem finito. Os politopos são definidos desta forma, por exemplo, na programação linear . Um politopo é limitado se houver uma bola de raio finito que o contenha. Diz- se que um politopo é pontiagudo se contiver pelo menos um vértice. Cada politopo não vazio limitado é pontiagudo. Um exemplo de politopo não pontiagudo é o conjunto . Um politopo é finito se for definido em termos de um número finito de objetos, por exemplo, como uma interseção de um número finito de semiplanos. É um politopo integral se todos os seus vértices tiverem coordenadas inteiras. ${\ displaystyle \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ mid x \ geq 0 \}}$

Uma certa classe de politopos convexos são politopos reflexivos . Um integrante -polytope é reflexivo se por alguma matriz integrante , onde denota um vetor de todos os queridos, e a desigualdade é componente-wise. Segue-se dessa definição que é reflexivo se e somente se para todos . Em outras palavras, a -dilate de difere, em termos de pontos de rede inteiros, de a -dilate de apenas por pontos de rede ganhos na fronteira. Equivalentemente, é reflexivo se e somente se seu politopo dual for um politopo integral. ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}} = \ {\ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} ^ {d}: \ mathbf {Ax} \ leq \ mathbf {1} \}}$${\ displaystyle \ mathbf {1}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle (t + 1) {\ mathcal {P}} ^ {\ circ} \ cap \ mathbb {Z} ^ {d} = t {\ mathcal {P}} \ cap \ mathbb {Z} ^ {d }}$${\ displaystyle t \ in \ mathbb {Z} _ {\ geq 0}}$${\ displaystyle (t + 1)}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} ^ {*}}$

Polytopes regulares

Os politopos regulares têm o maior grau de simetria de todos os politopos. O grupo de simetria de um politopo regular atua transitivamente em suas bandeiras ; portanto, o politopo dual de um politopo regular também é regular.

Existem três classes principais de politopo regular que ocorrem em qualquer número de dimensões:

• Simplices , incluindo o triângulo equilátero e o tetraedro regular .
• Hipercubos ou politopos de medida, incluindo o quadrado e o cubo .
• Ortoplexos ou politopos cruzados, incluindo o octaedro quadrado e regular .

As dimensões dois, três e quatro incluem figuras regulares que têm simetrias quíntuplas e algumas das quais são estrelas não convexas, e em duas dimensões há infinitamente muitos polígonos regulares de simetria n vezes, ambos convexos e (para n ≥ 5) estrela. Mas em dimensões superiores não existem outros politopos regulares.

Em três dimensões, os sólidos platônicos convexos incluem o dodecaedro quíntuplo simétrico e o icosaedro , e também há poliedros Kepler-Poinsot de quatro estrelas com simetria quíntupla, totalizando nove poliedros regulares.

Em quatro dimensões, os 4 politopos regulares incluem um sólido convexo adicional com simetria quádrupla e dois com simetria quíntupla. Existem dez estrelas Schläfli-Hess de 4 politopos , todas com quíntupla simetria, dando ao todo dezesseis 4 politopos regulares.

Star polytopes

Um politopo não convexo pode se autointerectar; esta classe de politopos inclui os politopos em estrela . Alguns politopos regulares são estrelas.

Propriedades

Característica de Euler

Uma vez que um politopo convexo (preenchido) P em dimensões é contrátil a um ponto, a característica de Euler de seu limite ∂P é dada pela soma alternada: ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle \ chi}$

${\ displaystyle \ chi = n_ {0} -n_ {1} + n_ {2} - \ cdots \ pm n_ {d-1} = 1 + (- 1) ^ {d-1}}$, onde está o número de faces dimensionais.${\ displaystyle n_ {j}}$${\ displaystyle j}$

Isso generaliza a fórmula de Euler para poliedros .

Ângulos internos

O teorema de Gram-Euler generaliza de forma semelhante a soma alternada de ângulos internos de poliedros convexos para politopos de dimensões superiores: ${\ textstyle \ sum \ varphi}$

${\ displaystyle \ sum \ varphi = (- 1) ^ {d-1}}$

Generalizações de um politopo

Politopos infinitos

Nem todas as variedades são finitas. Onde um politopo é entendido como um mosaico ou decomposição de uma variedade, essa ideia pode ser estendida a variedades infinitas. telhas planas , preenchedoras de espaço ( favos de mel ) e telhas hiperbólicas são, nesse sentido, politopos e, às vezes, são chamados de apeirótopos porque têm um número infinito de células.

Entre eles, existem formas regulares, incluindo o poliedro inclinado regular e a série infinita de ladrilhos representados pelo apeirogon regular , ladrilhos quadrados, favo de mel cúbico e assim por diante.

Politopos abstratos

A teoria dos politopos abstratos tenta separar os politopos do espaço que os contém, considerando suas propriedades puramente combinatórias. Isso permite que a definição do termo seja estendida para incluir objetos para os quais é difícil definir um espaço subjacente intuitivo, como a célula 11 .

Um politopo abstrato é um conjunto parcialmente ordenado de elementos ou membros, que obedece a certas regras. É uma estrutura puramente algébrica, e a teoria foi desenvolvida para evitar alguns dos problemas que tornam difícil conciliar as várias classes geométricas dentro de uma estrutura matemática consistente. Diz-se que um politopo geométrico é uma realização em algum espaço real do politopo abstrato associado.

Politopos complexos

Estruturas análogas a politopos existem em espaços de Hilbert complexos onde n dimensões reais são acompanhadas por n dimensões imaginárias . Os politopos complexos regulares são tratados mais apropriadamente como configurações . ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$

Dualidade

Todo n- polítopo tem uma estrutura dual, obtida trocando seus vértices por facetas, arestas por cristas, e assim por diante, geralmente trocando seus elementos ( j  - 1) -dimensionais por elementos ( n  -  j ) -dimensionais (para j  = 1 a n  - 1), mantendo a conectividade ou incidência entre os elementos.

Para um politopo abstrato, isso simplesmente inverte a ordem do conjunto. Esta inversão é vista nos símbolos de Schläfli para politopos regulares, onde o símbolo para o politopo duplo é simplesmente o reverso do original. Por exemplo, {4, 3, 3} é dual para {3, 3, 4}.

No caso de um politopo geométrico, alguma regra geométrica para dualizar é necessária, veja por exemplo as regras descritas para poliedros duais . Dependendo das circunstâncias, a figura dupla pode ou não ser outro politopo geométrico.

Se o dual for revertido, o politopo original será recuperado. Assim, os politopos existem em pares duplos.

Polopos auto-duais

O 5-células (4-simplex) é autodual com 5 vértices e 5 células tetraédricas.

Se um politopo tiver o mesmo número de vértices que facetas, de arestas como cristas e assim por diante, e as mesmas conectividades, então a figura dual será semelhante à original e o politopo é autodual.

Alguns politopos autoduais comuns incluem:

• Todo n regular - simplex , em qualquer número de dimensões, com o símbolo de Schlafli {3 ⁿ }. Estes incluem o triângulo equilátero {3}, tetraedro regular {3,3} e 5 células {3,3,3}.
• Cada favo de mel hipercúbico , em qualquer número de dimensões. Estes incluem o apeirogon {∞}, ladrilhos quadrados {4,4} e favo de mel cúbico {4,3,4}.
• Numerosos blocos hiperbólicos compactos, paracompactos e não compactos, como o favo de mel icosaédrico {3,5,3} e os ladrilhos pentagonais de ordem 5 {5,5}.
• Em 2 dimensões, todos os polígonos regulares (2 politopos regulares)
• Em 3 dimensões, as pirâmides poligonais canônicas e as pirâmides alongadas e o dodecaedro tetraedricamente diminuído .
• Em 4 dimensões, as 24 células , com o símbolo de Schlafli {3,4,3}. Também o grande de 120 células {5,5 / 2,5} e o grande estrelado de 120 células {5 / 2,5,5 / 2}.

História

Polígonos e poliedros são conhecidos desde os tempos antigos.

Uma dica inicial de dimensões superiores veio em 1827, quando August Ferdinand Möbius descobriu que dois sólidos espelhados podem ser sobrepostos girando um deles através de uma quarta dimensão matemática. Na década de 1850, um punhado de outros matemáticos, como Arthur Cayley e Hermann Grassmann , também havia considerado dimensões superiores.

Ludwig Schläfli foi o primeiro a considerar análogos de polígonos e poliedros nesses espaços superiores. Ele descreveu os seis 4 politopos regulares convexos em 1852, mas seu trabalho não foi publicado até 1901, seis anos após sua morte. Em 1854, o Habilitationsschrift de Bernhard Riemann havia estabelecido firmemente a geometria de dimensões superiores e, assim, o conceito de politopos n- dimensionais tornou-se aceitável. Os politopos de Schläfli foram redescobertos muitas vezes nas décadas seguintes, mesmo durante sua vida.

Em 1882, Reinhold Hoppe , escrevendo em alemão, cunhou a palavra politopo para se referir a esse conceito mais geral de polígonos e poliedros. No devido tempo, Alicia Boole Stott , filha do lógico George Boole , introduziu o politopo anglicizado na língua inglesa.

Em 1895, Thorold Gosset não só redescobriu os politopos regulares de Schläfli, mas também investigou as idéias de politopos semiregulares e tesselações que preenchem o espaço em dimensões superiores. Os politopos também começaram a ser estudados em espaços não euclidianos, como o espaço hiperbólico.

Um marco importante foi alcançado em 1948 com o livro Regular Polytopes , de HSM Coxeter , resumindo o trabalho até o momento e adicionando novas descobertas de sua autoria.

Enquanto isso, o matemático francês Henri Poincaré desenvolveu a ideia topológica de um politopo como a decomposição por partes (por exemplo , complexo CW ) de uma variedade . Branko Grünbaum publicou seu trabalho influente em Poltopos Convexos em 1967.

Em 1952, Geoffrey Colin Shephard generalizou a ideia como politopos complexos em um espaço complexo, onde cada dimensão real tem uma dimensão imaginária associada a ela. Coxeter desenvolveu ainda mais a teoria.

As questões conceituais levantadas por politopos complexos, não convexidade, dualidade e outros fenômenos levaram Grünbaum e outros ao estudo mais geral de propriedades combinatórias abstratas relacionando vértices, arestas, faces e assim por diante. Uma ideia semelhante era a dos complexos de incidência, que estudavam a incidência ou conexão dos vários elementos uns com os outros. Esses desenvolvimentos levaram eventualmente à teoria dos politopos abstratos como conjuntos parcialmente ordenados, ou posets, de tais elementos. Peter McMullen e Egon Schulte publicaram seu livro Abstract Regular Polytopes em 2002.

Enumerar os politopos uniformes , convexos e não convexos, em quatro ou mais dimensões permanece um problema pendente.

Nos tempos modernos, politopos e conceitos relacionados encontraram muitas aplicações importantes em campos tão diversos como computação gráfica , otimização , motores de busca , cosmologia , mecânica quântica e vários outros campos. Em 2013, o amplituedro foi descoberto como uma construção simplificadora em certos cálculos da física teórica.

Formulários

No campo da otimização , a programação linear estuda os máximos e mínimos das funções lineares ; esses máximos e mínimos ocorrem na fronteira de um politopo n- dimensional. Na programação linear, os politopos ocorrem no uso de coordenadas baricêntricas generalizadas e variáveis ​​de folga .

Na teoria dos twistores , um ramo da física teórica , um politopo chamado amplituedro é usado para calcular as amplitudes de espalhamento das partículas subatômicas quando elas colidem. A construção é puramente teórica, sem nenhuma manifestação física conhecida, mas diz-se que simplifica muito certos cálculos.

Veja também

Referências

Notas

Fontes

links externos

• Weisstein, Eric W. "Polytope" . MathWorld .
• "Math will rock your world" - aplicação de politopos a uma base de dados de artigos usados ​​para suportar feeds de notícias personalizados através da Internet - ( Business Week Online )
• Polopos convexos regulares e semirregulares uma breve visão geral histórica: