rígido unidade - Unit disk

Um disco unidade euclidiana aberta

Em matemática , o disco aberto unidade (ou disco ) em torno de P (em que P é um dado ponto no plano ), é o conjunto de pontos cuja distância P é menos do que 1:

${\ Displaystyle D_ {1} (P) = \ {Q:. \ Vert PQ \ vert <1 \} \,}$

O disco unidade fechada em torno de P é o conjunto de pontos cuja distância P é menos do que ou igual a um:

${\ Displaystyle {\ bar {D}} _ {1} (P) = \ {Q: |. PQ | \ leq 1 \} \,}$

Discos de unidade são casos especiais de discos e bolas de unidade ; como tal, eles contêm o interior do círculo unitário, e, no caso do disco unidade fechada, a própria unidade de círculo.

Sem mais especificações, o termo disco unidade é utilizada para o disco unidade aberta sobre a origem , com relação à métrica euclidiana padrão . É o interior de um círculo de raio 1, centrado na origem. Este conjunto pode ser identificado com o conjunto de todos os números complexos de valor absoluto menor que um. Quando visto como um subconjunto do plano complexo ( C ), o disco de unidade é frequentemente denotado . ${\ D_ displaystyle {1} (0)}$${\ Displaystyle \ mathbb {D}}$

O disco aberto unidade, o plano, e o semi-plano superior

A função

${\ Displaystyle F (z) = {\ frac {z} {1- | z | ^ {2}}}}$

é um exemplo de uma verdadeira analítico e bijectiva função do disco unidade aberta ao plano; sua função inversa também é analítica. Considerado como um verdadeiro 2-dimensional colector analítico , o disco aberto unidade é, por conseguinte, isomorfo a todo o plano. Em particular, o disco unidade aberta é homeomorfo a todo o avião.

Contudo, não há conformal mapa bijective entre o disco unidade aberta eo avião. Considerado como uma superfície de Riemann , o disco unidade aberta é, portanto, diferente do plano complexo .

Há conformais mapas bijective entre o disco de unidade aberto e aberto semi-plano superior . Assim, considerada como uma superfície de Riemann, o disco aberto unidade é isomorfa ( "biholomorphic", ou "conformalmente equivalente") para o semi-plano superior, e os dois são frequentemente utilizados alternadamente.

Muito mais geralmente, o Teorema de Riemann afirma que cada simplesmente ligado subconjunto aberto do plano complexo que é diferente da do próprio plano complexo admite um mapa conformada e bijectiva para o disco unidade aberta.

Uma projecção conforme bijective do disco unidade aberta para o semi-plano superior aberta é a transformação de Moebius

${\ Displaystyle g (z) = i {\ frac {1 + z} {1-z}}}$   que é o inverso da Cayley transformar .

Geometricamente, pode-se imaginar o eixo real ser dobrado e encolheu de modo que o meio plano superior se torna o disco do interior e o eixo real forma da circunferência do disco, para salvar um ponto no topo, o "ponto no infinito". Uma projecção conforme bijective do disco unidade aberta para o semi-plano superior aberta também pode ser construído como a composição de duas projecções estereográficas : em primeiro lugar o disco de unidade é estereograficamente projectada para cima para a meia-esfera superior da unidade, tendo a "sul-pólo "da esfera unidade como o centro da projecção, e, em seguida, esta meia-esfera projecta lateralmente para um semi-plano vertical, que toca na esfera, tendo o ponto sobre a meia-esfera oposto ao ponto de toque como centro de projecção.

O disco de unidade e o semi-plano superior não são intermutáveis como domínios para espaços de Hardy . Contribuindo para essa diferença é o fato de que o círculo unidade tem finitos (unidimensional) medida de Lebesgue enquanto a linha real não faz.

espaço hiperbólico

O disco da unidade aberto é vulgarmente usado como um modelo para o plano hiperbólico , através da introdução de uma nova métrica nele, a métrica de Poincaré . Usando a projecção conforme acima mencionado entre o disco da unidade aberto e o semi-plano superior, este modelo pode ser transformado no modelo semi-plano Poincaré do plano hiperbólico. Tanto o disco de Poincaré e o semi-plano Poincaré são conformados modelos de espaço hiperbólica, ou seja, os ângulos medidos no modelo coincidem com ângulos no espaço hiperbólico, e, consequentemente, as formas (mas não os tamanhos) de pequenos números são preservadas.

Outro modelo de espaço hiperbólico também é construída na unidade de disco aberta: o modelo de Klein . Não é conforme, mas tem a propriedade de que linhas retas no modelo correspondem a linhas retas no espaço hiperbólico.

discos de unidade com respeito a outras métricas

De cima para baixo: disco unidade aberta na métrica Euclidiana , táxi métrica , e Chebyshev métrica .

Se considera também discos de unidade com respeito a outras métricas . Por exemplo, com o táxi métrica e as métricas de Chebyshev discos olhar como quadrados (mesmo que os subjacentes topologias são os mesmos que o euclidiano um).

A área do disco unidade Euclidiana é π e seu perímetro é 2π. Em contraste, o perímetro (em relação à métrica táxi) do disco de unidade na geometria do táxi é 8. Em 1932, Stanisław Gołąb provou que em métricas que derivam a partir de uma norma , o perímetro do disco de unidade pode tomar qualquer valor entre 6 e 8, e que estes valores são obtidos extremais se e apenas se o disco de unidade é um regular hexágono ou um paralelogramo , respectivamente.

Veja também

• gráfico disco unidade
• esfera unitária
• conjectura Bieberbach

Referências

• S. Golab, "Quelques problèmes métriques de la géométrie de Minkowski", Trav. de l'Acad. Minas Cracovie 6 (1932), 179.

links externos

• Weisstein, Eric W. "disco Unit" . MathWorld .
• No perímetro e área do disco Unidade , por JC Álvarez Pavia e AC Thompson