3 ₂₁ poliepítopo -3₂₁ polytope

Projecções ortogonais em E ₇plano Coxeter
3 ₂₁	2 ₃₁		1 ₃₂
Rectificado 3 ₂₁		birectified 3 ₂₁
Rectificado 2 ₃₁		Rectificado 1 ₃₂

Em 7-dimensional geometria , a 3 ₂₁ poliepítopo é um uniforme 7-poliepítopo , construído dentro da simetria do E ₇ grupo. Foi descoberto por Thorold Gosset , publicado em seu artigo 1.900. Chamou-o uma figura semi-regular 7-ic .

A sua símbolo Coxeter é 3 ₂₁ , descrevendo a sua bifurcando diagrama de Coxeter-Dynkin , com um único anel na extremidade de uma das sequências de 3-nó.

O rectificado 3 ₂₁ é construído por pontos em meados dos bordos da 3 ₂₁ . O birectified 3 ₂₁ é construído por pontos em centros de triângulo cara do 3 ₂₁ . O trirectified 3 ₂₁ é construído por pontos em centros tetraédricos do 3 ₂₁ , e é o mesmo que o rectificado 1 ₃₂ .

Estes policações fazem parte de uma família de 127 (2 ⁷ -1) convexas policações uniformes em 7-dimensões , feitos de uniformes 6-polytope facetas e figuras de vértice , definida por todas as permutações de anéis neste diagrama de Coxeter-Dynkin : .

3 ₂₁ poliepítopo

3 ₂₁ poliepítopo
Tipo	Uniforme 7-poliepítopo
Família	k ₂₁ poliepítopo
símbolo Schläfli	{3,3,3,3 ^2,1 }
símbolo Coxeter	3 ₂₁
Coxeter diagrama
6-faces	Total de 702: 126 3 ₁₁ 576 {3 ⁵ }
5-faces	6048: 4032 {3 ⁴ } 2016 {3 ⁴ }
4-faces	12096 {3 ³ }
células	10080 {3,3}
Rostos	4032 {3}
Arestas	756
vértices	56
figura Vertex	2 ₂₁ poliepítopo
Petrie polígono	octodecágono
grupo Coxeter	E ₇ , [3 ^3,2,1 ], ordem 2903040
propriedades	convexo

Em 7-dimensional geometria , a 3 ₂₁ é um poliepítopo uniforme . Ela tem 56 vértices, e 702 facetas: 126 3 ₁₁ e 576 6-simplexos .

Para visualização este poliepítopo 7-dimensional é apresentada frequentemente numa direcção de projecção inclinada especial ortográfica que encaixa os seus vértices 56 dentro de um polígono regular de 18 gonal (chamado um polígono Petrie ). As suas arestas 756 são desenhadas entre 3 anéis de 18 vértices, e 2 vértices no centro. Elementos específicos mais elevados (faces, células, etc.) também podem ser extraídos e desenhada nesta projecção.

A 1- esqueleto do 3 ₂₁ poliepítopo é chamado um gráfico Gosset .

Este poliepítopo, juntamente com o 7-simplex , pode tessellate espaço 7-dimensional, representado por 3 ₃₁ e Coxeter-Dynkin diagrama: .

Os nomes alternativos

Ele também é chamado de politopo Hess por Edmund Hess quem primeiro descobriu.
Ele foi enumerada por Thorold Gosset em seu artigo de 1900. Chamou-o uma figura semi-regular 7-ic .
EL Elte denominou-V ₅₆ (para os seus vértices 56) no seu perfil de 1,912 policações semi-regulares.
HSM Coxeter chamou- 3 ₂₁ , devido à sua bifurcando diagrama de Coxeter-Dynkin , tendo 3 ramos de comprimento de 3, 2 e 1, e tendo um único anel no nó final da 3 ramo.
Hecatonicosihexa-pentacosiheptacontihexa-exon (sigla Naq) - 126-576 polyexon facetado (Jonathan Bowers)

coordenadas

Os vértices 56 pode ser mais simplesmente representado no espaço 8-dimensional, obtidos pelos 28 permutações das coordenadas e o seu oposto:

± (-3, -3, 1, 1, 1, 1, 1, 1)

Construção

Sua construção é baseada no E7 grupo. Coxeter denominou como 3 _21, por sua bifurcando diagrama de Coxeter-Dynkin , com um único anel na extremidade da sequência de 3-nó.

A informação faceta pode ser extraída a partir do seu diagrama de Coxeter-Dynkin , .

Removendo o nó no ramo curto deixa o 6-simplex , .

Removendo o nó na extremidade da ramificação 2 de comprimento deixa o 6-orthoplex na sua forma alternada: 3 ₁₁ , .

Cada faceta simplex toca uma faceta 6-orthoplex, enquanto facetas suplentes do orthoplex tocar qualquer um simplex ou de outra orthoplex.

A figura vértice é determinada pela remoção do nó rodeado e está soando o nó vizinho. Isso faz com que 2 ₂₁ poliepítopo, .

Visto em uma matriz de configuração , as contagens de elementos pode ser obtido por remoção do espelho e proporções dos grupos de Coxeter ordens.

E ₇	k -Face	f _k	f ₀	f ₁	f ₂	f ₃	f ₄	f ₅		f ₆		k -figures	notas
E ₆	()	f ₀	56	27	216	720	1080	432	216	72	27	2 ₂₁	E ₇ / E ₆ = 72x8! / 72x6! = 56
D ₅ A ₁	{}	f ₁	2	756	16	80	160	80	40	16	10	5-demicube	E ₇ / D ₅ A ₁ = 72x8! / 16/5! / 2 = 756
Um ₄ Um _dois	{3}	f ₂	3	3	4032	10	30	20	10	5	5	rectificado 5-célula	E ₇ / A ₄ A ₂ = 72x8! / 5! / 2 = 4032
A ₃ A ₂ A ₁	{3,3}	f ₃	4	6	4	10080	6	6	3	2	3	Prisma triangular	E ₇ / A ₃ A ₂ A ₁ = 72x8! / 4! / 3! / 2 = 10080
A ₄ A ₁	{3,3,3}	f ₄	5	10	10	5	12096	2	1	1	2	Triângulo isósceles	E ₇ / A ₄ A ₁ = 72x8! / 5! / 2 = 12096
A ₅ A ₁	{3,3,3,3}	f ₅	6	15	20	15	6	4032	*	1	1	{}	E ₇ / A ₅ A ₁ = 72x8! / 6! / 2 = 4032
A ₅	{3,3,3,3}	f ₅	6	15	20	15	6	*	2016	0	2	{}	E ₇ / A ₅ = 72x8! / 6! = 2016
A ₆	{3,3,3,3,3}	f ₆	7	21	35	35	21	10	0	576	*	()	E ₇ / A ₆ = 72x8! / 7! = 576
D ₆	{3,3,3,3,4}	f ₆	12	60	160	240	192	32	32	*	126	()	E ₇ / D ₆ = 72x8! / 32/6! = 126

imagens

Plano de Coxeter projecções
E7	E6 / F4	B7 / A6
[18]	[12]	[7x2]
A5	D7 / B6	D6 / B5
[6]	[02/12]	[10]
D5 / B4 / A4	D4 / B3 / A2 / G2	D3 / B2 / A3
[8]	[6]	[4]

polytopes relacionados

O 3 ₂₁ é quinto de uma série de dimensões policações semi-regulares . Cada progressiva poliepítopo uniforme é construído figura vértice do poliepítopo anterior. Thorold Gosset identificada desta série em 1900 como contendo todos os polytope regulares facetas, contendo todos os simplexos e orthoplexes .

k ₂₁ figuras em n dimensional
Espaço	Finito						euclidiana	Hiperbólico
E _n	3	4	5	6	7	8	9	10
Coxeter grupo	E ₃ = A ₂ A ₁	E ₄ = A ₄	E ₅ = D ₅	E ₆	E ₇	E ₈	E ₉ = = E ₈⁺ ${\ Displaystyle {\ tilde {E}} _ {8}}$	E ₁₀ = = E ₈⁺⁺ ${\ Displaystyle {\ bar {T}} _ {8}}$
Coxeter diagrama
Simetria	[3^-1,2,1 ]	[3 ^0,2,1 ]	[3 ^1,2,1 ]	[3 ^2,2,1 ]	[3 ^3,2,1 ]	[3 ^4,2,1 ]	[3 ^5,2,1 ]	[3 ^6,2,1 ]
Ordem	12	120	192	51.840	2903040	696729600	∞
Gráfico							-	-
Nome	-1 ₂₁	0 ₂₁	1 ₂₁	2 ₂₁	3 ₂₁	4 ₂₁	5 ₂₁	6 ₂₁

É numa série tridimensional de policações uniformes e favos de mel, expressas por Coxeter como 3 _k1 série. (Um caso 4-dimensional degenerada existe como 3-esfera ladrilhos, tetraédrica hosohedron .)

3 _k1 figuras dimensionais
Espaço	Finito				euclidiana	Hiperbólico
n	4	5	6	7	8	9
Coxeter grupo	A ₃ A ₁	A ₅	D ₆	E ₇	${\ Displaystyle {\ tilde {E}} _ {7}}$ E = ₇⁺	${\ Displaystyle {\ bar {T}} _ {8}}$ E = ₇⁺⁺
Coxeter diagrama
Simetria	[3^-1,3,1 ]	[3 ^0,3,1 ]	[[3 ^1,3,1 ]] = [4,3,3,3,3]	[3 ^2,3,1 ]	[3 ^3,3,1 ]	[3 ^4,3,1 ]
Ordem	48	720	46,080	2903040	∞
Gráfico					-	-
Nome	3 _{1, -1}	3 ₁₀	3 ₁₁	3 ₂₁	3 ₃₁	3 ₄₁