5 cubos - 5-cube

Penteract de 5 cubos (pent)
Modelo	5 politopo uniforme
Símbolo Schläfli	{4,3,3,3} {4,3,3} × {} {4,3} × {4} {4,3} × {} 2 {4} × {4} × {} {4} × {} 3 {} 5
Diagrama de Coxeter
4 faces	10	tesseratos
Células	40	cubos
Rostos	80	quadrados
Arestas	80
Vértices	32
Figura do vértice	5 células
Grupo Coxeter	B 5 , [4,3 3 ], ordem 3840 [4,3,3,2], ordem 768 [4,3,2,4], ordem 384 [4,3,2,2], ordem 192 [4 , 2,4,2], pedido 128 [4,2,2,2], pedido 64 [2,2,2,2], pedido 32
Dual	5-orthoplex
Ponto de base	(1,1,1,1,1,1)
Circumradius	sqrt (5) / 2 = 1,118034
Propriedades	convexo , regular isogonal

Na geometria de cinco dimensões , um cubo de 5 é o nome de um hipercubo de cinco dimensões com 32 vértices , 80 arestas , 80 faces quadradas , 40 células cúbicas e 10 tesseratos de 4 faces .

É representado pelo símbolo Schläfli {4,3,3,3} ou {4,3 ³ }, construído como 3 tesseratos, {4,3,3}, em torno de cada cume cúbico . Pode ser chamado de penteract , uma maleta da palavra grega pénte , para 'cinco' (dimensões), e a palavra tesseract (o 4-cubo). Também pode ser chamado de deca-5-tope regular ou decateron , sendo um politopo 5-dimensional construído a partir de 10 facetas regulares .

Politopos relacionados

É parte de uma família infinita de hipercubos . O dual de um cubo 5 é o ortoplexo 5 , da família infinita dos ortoplexos .

Aplicar uma operação de alternância , excluindo vértices alternados do 5-cubo, cria outro 5-politopo uniforme , chamado 5-semicubo , que também faz parte de uma família infinita chamada de semi - hipercubos .

O cubo 5 pode ser visto como um favo de mel tesserático de ordem 3 em uma esfera 4 . Está relacionado ao favo de mel tesserático euclidiano de 4 espaços (ordem 4) e ao favo de mel tesserático hiperbólico paracompacto de ordem 5 .

Como uma configuração

Esta matriz de configuração representa o 5-cubo. As linhas e colunas correspondem a vértices, arestas, faces, células e 4 faces. Os números diagonais indicam quantos de cada elemento ocorrem em todo o 5-cubo. Os números não-diagonais dizem quantos dos elementos da coluna ocorrem no ou no elemento da linha.

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} 32 & 5 & 10 & 10 & 5 \\ 2 & 80 & 4 & 6 & 4 \\ 4 & 4 & 80 & 3 & 3 \\ 8 & 12 & 6 & 40 & 2 \\ 16 & 32 & 24 & 8 & 10 \ end {matrix}} \ end {bmatrix}}}$

Coordenadas cartesianas

As coordenadas cartesianas dos vértices de um cubo 5 centrado na origem e com comprimento de aresta 2 são

(± 1, ± 1, ± 1, ± 1, ± 1),

enquanto o interior deste 5-cubo consiste em todos os pontos ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ) com -1 < x _i <1 para todos os i .

Imagens

n -cube As projeções do plano de Coxeter nos grupos B _k Coxeter se projetam em gráficos de k-cubo, com a potência de dois vértices se sobrepondo nos gráficos projetivos.

Projeções ortográficas

Avião Coxeter	B 5	B 4 / D 5	B 3 / D 4 / A 2
Gráfico
Simetria diedral	[10]	[8]	[6]
Avião Coxeter	Outro	B 2	A 3
Gráfico
Simetria diedral	[2]	[4]	[4]

Mais projeções ortográficas

Direção de inclinação do wireframe

Plano B5 Coxeter

Gráfico

Gráfico de vértice-borda.

Projeções em perspectiva

Uma projeção em perspectiva 3D a 2D da projeção estereográfica 4D a 3D do diagrama de Schlegel 5D a 4D.

Internet

Rede 4D do 5-cubo, perspectiva projetada em 3D.

Projeção

O cubo de 5 pode ser projetado até 3 dimensões com um envelope de icosaedro rômbico . Existem 22 vértices externos e 10 vértices internos. Os 10 vértices internos possuem o casco convexo de um antiprisma pentagonal . As 80 bordas se projetam em 40 bordas externas e 40 internas. Os 40 cubos se projetam em um romboedro dourado que pode ser usado para dissecar o icosaedro rômbico. Os vetores de projeção são u = {1, φ, 0, -1, φ}, v = {φ, 0, 1, φ, 0}, w = {0, 1, φ, 0, -1}, onde φ é a razão de ouro , . ${\ displaystyle {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}$

icosaedro rômbico		5 cubos
Perspectiva	ortogonal

Politopos relacionados

Este politopo é um dos 31 5 politopos uniformes gerados a partir do 5-cubo regular ou 5-orthoplex .

Politopos B5
β 5	t 1 β 5	t 2 γ 5	t 1 γ 5	γ 5	t 0,1 β 5	t 0,2 β 5	t 1,2 β 5
t 0,3 β 5	t 1,3 γ 5	t 1,2 γ 5	t 0,4 γ 5	t 0,3 γ 5	t 0,2 γ 5	t 0,1 γ 5	t 0,1,2 β 5
t 0,1,3 β 5	t 0,2,3 β 5	t 1,2,3 γ 5	t 0,1,4 β 5	t 0,2,4 γ 5	t 0,2,3 γ 5	t 0,1,4 γ 5	t 0,1,3 γ 5
t 0,1,2 γ 5	t 0,1,2,3 β 5	t 0,1,2,4 β 5	t 0,1,3,4 γ 5	t 0,1,2,4 γ 5	t 0,1,2,3 γ 5	t 0,1,2,3,4 γ 5

Referências

• HSM Coxeter :
  • Coxeter, Regular Polytopes , (3ª edição, 1973), edição Dover, ISBN   0-486-61480-8 , p. 296, Tabela I (iii): Polopos regulares, três politopos regulares em n-dimensões (n≥5)
  • Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN   978-0-471-01003-6 [1]
    • (Documento 22) HSM Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • (Documento 23) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (Documento 24) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Norman Johnson Uniform Polytopes , Manuscript (1991)
  • NW Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs , Ph.D. (1966)
• Klitzing, Richard. "Politopos uniformes 5D (polytera) o3o3o3o4x - pent" .

links externos

• Weisstein, Eric W. "Hypercube" . MathWorld .
• Olshevsky, George. "Medir politopo" . Glossário para o hiperespaço . Arquivado do original em 4 de fevereiro de 2007.
• Glossário multidimensional: hipercubo Garrett Jones