8-orthoplex - 8-orthoplex

8-orthoplex Octacross
Projecção ortogonal dentro Petrie polígono
Tipo	Regulares de 8 polytope
Família	orthoplex
símbolo Schläfli	{3 6 , 4} {3,3,3,3,3,3 1,1 }
diagramas de Coxeter-Dynkin
7-faces	256 {3 6 }
6-faces	1024 {3 5 }
5-faces	1792 {3 4 }
4-faces	1792 {3 3 }
células	1120 {3,3}
Rostos	448 {3}
Arestas	112
vértices	16
figura Vertex	7-orthoplex
Petrie polígono	hexadecágono
grupos de Coxeter	C 8 , [3 6 , 4] D 8 , [3 5,1,1 ]
Dual	8-cubo
propriedades	convexo

Na geometria , uma 8-orthoplex ou 8- poliepítopo transversal é um regular 8-poliepítopo com 16 vértices , 112 bordas , 448 triângulo enfrenta , 1120 Tetrahedron células , 1792 5 células- 4-caras , 1792 5-caras , 1024 6-faces e 256 7-caras .

Tem duas formas construtivas, sendo o primeiro regular com símbolo Schläfli {3 ⁶ , 4}, e o segundo com facetas alternadamente marcados (checkerboarded), com o símbolo Schläfli {3,3,3,3,3,3 ^1,1 } ou Coxeter símbolo 5 ₁₁ .

É uma parte de uma família infinita de polytopes, chamado cross-polytopes ou orthoplexes . A dupla polytope é um 8- hypercube , ou octeract .

Os nomes alternativos

• Octacross , derivado da combinação do nome de família poliepítopo cruzada com outubro para oito (as dimensões) em grego
• Diacosipentacontahexazetton como um 256 facetado 8-poliepítopo (polyzetton)

Como uma configuração

Os elementos das policações regulares pode ser expresso em uma matriz de configuração . Linhas e colunas referência vértices, bordas, caras, e de células, com o elemento da diagonal suas contagens ( f-vectors ). Os elementos nondiagonal representam o número de elementos de linha são incidente para o elemento de coluna. As configurações para policações dupla pode ser visto fazendo rodar os elementos de matriz de 180 graus.

${\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ begin {matriz} 16 & 14 & 84 & 280 & 560 & 672 & 448 & 128 \\ 2 & 112 & 12 & 60 & 160 & 240 & 192 & 64 \\ 3 & 3 & 448 & 10 & 40 & 80 & 80 & 32 \\ 4 & 6 & 4 & 1120 & 8 & 24 & 32 & 16 \\ 5 & 10 & 10 & 5 & 1792 & 6 & 12 & 8 \\ 6 & 15 & 20 & 15 & 6 & 1792 & 4 & 4 \\ 7 & 21 & 35 & 35 & 21 & 7 & 1024 & 2 \\ 8 & 28 & 56 & 70 & 56 & 28 & 8 & 256 \ final {matriz}} \ final {bmatrix}}}$

As diagonais f-vector números são derivados através da construção Wythoff , dividindo-se a ordem de grupo integral de uma ordem do subgrupo, removendo espelhos individuais.

B 8		k-face	f k	f 0	f 1	f 2	f 3	f 4	f 5	f 6	f 7	k -figura	notas
B 7		()	f 0	16	14	84	280	560	672	448	128	{3,3,3,3,3,4}	B 8 / B 7 = 2 ^ 8 * 8! / 2 ^ 7/7! = 16
Um 1 B 6		{}	f 1	2	112	12	60	160	240	192	64	{3,3,3,3,4}	B 8 / A 1 B 6 = 2 ^ 8 * 8! / 2/2 ^ 6/6! = 112
Um 2 B 5		{3}	f 2	3	3	448	10	40	80	80	32	{3,3,3,4}	B 8 / A 2 B 5 = 2 ^ 8 * 8! / 3! / 2 ^ 5/5! = 448
A 3 B 4		{3,3}	f 3	4	6	4	1120	8	24	32	16	{3,3,4}	B 8 / A 3 B 4 = 2 ^ 8 * 8! / 4! / 2 ^ 4/4! = 1120
A 4 B 3		{3,3,3}	f 4	5	10	10	5	1792	6	12	8	{3,4}	B 8 / A 4 B 3 = 2 ^ 8 * 8! / 5! / 8/3! = 1792
A 5 B 2		{3,3,3,3}	f 5	6	15	20	15	6	1792	4	4	{4}	B 8 / A 5 B 2 = 2 ^ 8 * 8! / 6! / 4/2 = 1792
A 6 A 1		{3,3,3,3,3}	f 6	7	21	35	35	21	7	1024	2	{}	B 8 / A 6 A 1 = 2 ^ 8 * 8! / 7! / 2 = 1024
A 7		{3,3,3,3,3,3}	f 7	8	28	56	70	56	28	8	256	()	B 8 / A 7 = 2 ^ 8 * 8! / 8! = 256

Construção

Existem dois grupos de Coxeter associados com a 8-cubo, uma regulares , duais do octeract com a C ₈ [4,3,3,3,3,3,3] grupo ou simetria, e uma meia simetria com duas cópias facetas 7-simplex, alternando, com o D ₈ ou [3 ^5,1,1 ] simetria group.A construção menor simetria baseia-se numa dupla de uma 8- orthotope , chamado um 8-fusil .

Nome	Coxeter diagrama	símbolo Schläfli	Simetria	Ordem	figura Vertex
regulares de 8 orthoplex		{3,3,3,3,3,3,4}	[3,3,3,3,3,3,4]	10321920
Quasiregular 8-orthoplex		{3,3,3,3,3,3 1,1 }	[3,3,3,3,3,3 1,1 ]	5160960
8-fusil		8 {}	[2 7 ]	256

Coordenadas cartesianas

Coordenadas cartesianas para os vértices de um cubo 8, centrado na origem são

(± 1,0,0,0,0,0,0,0), (0, ± 1,0,0,0,0,0,0), (0,0, ± 1,0,0, 0,0,0), (0,0,0, 1,0,0,0,0 ±),

(0,0,0,0, 1,0,0,0 ±), (0.0.0.0.0, ± 1,0,0), (0,0,0,0,0,0 , 0, ± 1), (0,0,0,0,0,0,0, ± 1)

Cada vértice par estiver ligado por uma aresta , excepto opostos.

imagens

projecções ortogonais

B 8			B 7
[16]			[14]
B 6			B 5
[12]			[10]
B 4		B 3		B 2
[8]		[6]		[4]
A 7		A 5		A 3
[8]		[6]		[4]

Ele é utilizado na sua forma alternada 5 ₁₁ com o 8-simplex para formar o 5 ₂₁ favo de mel .

Referências

• HSM Coxeter :
  • HSM Coxeter, Polytopes regulares , 3rd Edition, Dover New York de 1973
  • Kaleidoscopes: escritos seleccionados de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Ásia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
    • (Papel 22) HSM Coxeter, regular e semi regular Polytopes I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • (Papel 23) HSM Coxeter, regular e Semi-Regular Polytopes II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (Papel 24) HSM Coxeter, regular e semi-regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Norman Johnson Uniforme Polytopes , Manuscrito (1991)
  • NW Johnson: The Theory of Uniform Polytopes e favos de mel , Ph.D.
• Klitzing, Richard. "8D polytopes uniformes (polyzetta) x3o3o3o3o3o3o4o - ek" .

links externos

• Olshevsky, George. "Polytope Cruz" . Glossário para Hyperspace . Arquivado do original em 4 de Fevereiro de 2007.
• Polytopes de várias dimensões
• Glossário multi-dimensional