6-simplex - 6-simplex

6-simplex
Tipo	polypeton uniforme
Símbolo Schläfli	{3 5 }
Diagramas de Coxeter
Elementos	f 5 = 7, f 4 = 21, C = 35, F = 35, E = 21, V = 7 (χ = 0)
Grupo Coxeter	A 6 , [3 5 ], pedido 5040
Nome e (sigla) de Bowers	Heptapeton (pulo)
Figura do vértice	5-simplex
Circumradius	0,645497
Propriedades	convexo , autodual isogonal

Em geometria , um 6- simplex é um 6-politopo regular autodual . Possui 7 vértices , 21 arestas , 35 faces triangulares , 35 células tetraédricas , 21 5 células de 4 faces e 7 5 simplex de 5 faces. Seu ângulo diédrico é cos ⁻¹ (1/6), ou aproximadamente 80,41 °.

Nomes alternativos

Também pode ser chamado de heptapeton , ou hepta-6-tope , como um politopo de 7 facetas em 6 dimensões. O nome heptapeton é derivado de hepta para sete facetas em grego e -peta por ter facetas de cinco dimensões, e -on . Jonathan Bowers dá a um heptapeton o salto da sigla .

Como uma configuração

Esta matriz de configuração representa o 6-simplex. As linhas e colunas correspondem a vértices, arestas, faces, células, 4 faces e 5 faces. Os números diagonais indicam quantos de cada elemento ocorrem em todo o 6-simplex. Os números não-diagonais dizem quantos dos elementos da coluna ocorrem no ou no elemento da linha. A matriz deste simplex autoduplicado é idêntica à sua rotação de 180 graus.

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ begin {matrix} 7 & 6 & 15 & 20 & 15 & 6 \\ 2 & 21 & 5 & 10 & 10 & 5 \\ 3 & 3 & 35 & 4 & 6 & 4 \\ 4 & 6 & 4 & 35 & 3 & 3 \\ 5 & 10 & 10 & 5 & 21 & 2 \\} 6 & 15 & 20 & 15 & 6 & 7 \ endmatrix} end [matriz & 7}$

Coordenadas

As coordenadas cartesianas para um heptapetão regular centrado na origem com comprimento de borda 2 são:

${\ displaystyle \ left ({\ sqrt {1/21}}, \ {\ sqrt {1/15}}, \ {\ sqrt {1/10}}, \ {\ sqrt {1/6}}, \ {\ sqrt {1/3}}, \ \ pm 1 \ right)}$

${\ displaystyle \ left ({\ sqrt {1/21}}, \ {\ sqrt {1/15}}, \ {\ sqrt {1/10}}, \ {\ sqrt {1/6}}, \ -2 {\ sqrt {1/3}}, \ 0 \ right)}$

${\ displaystyle \ left ({\ sqrt {1/21}}, \ {\ sqrt {1/15}}, \ {\ sqrt {1/10}}, \ - {\ sqrt {3/2}}, \ 0, \ 0 \ right)}$

${\ displaystyle \ left ({\ sqrt {1/21}}, \ {\ sqrt {1/15}}, \ -2 {\ sqrt {2/5}}, \ 0, \ 0, \ 0 \ right )}$

${\ displaystyle \ left ({\ sqrt {1/21}}, \ - {\ sqrt {5/3}}, \ 0, \ 0, \ 0, \ 0 \ right)}$

${\ displaystyle \ left (- {\ sqrt {12/7}}, \ 0, \ 0, \ 0, \ 0, \ 0 \ right)}$

Os vértices do 6-simplex podem ser posicionados de forma mais simples no 7-espaço como permutações de:

(0,0,0,0,0,0,1)

Esta construção é baseada nas facetas do 7-orthoplex .

Imagens

projeções ortográficas

A k Coxeter plano	A 6	A 5	A 4
Gráfico
Simetria diedral	[7]	[6]	[5]
A k Coxeter plano	A 3	A 2
Gráfico
Simetria diedral	[4]	[3]

6-politopos uniformes relacionados

O 6-simplex regular é um dos 35 6-politopos uniformes baseados no grupo [3,3,3,3,3] Coxeter , todos mostrados aqui nas projeções ortográficas do plano A ₆ Coxeter .

Politopos A6
t 0	t 1	t 2	t 0,1	t 0,2	t 1,2	t 0,3	t 1,3	t 2,3
t 0,4	t 1,4	t 0,5	t 0,1,2	t 0,1,3	t 0,2,3	t 1,2,3	t 0,1,4	t 0,2,4
t 1,2,4	t 0,3,4	t 0,1,5	t 0,2,5	t 0,1,2,3	t 0,1,2,4	t 0,1,3,4	t 0,2,3,4	t 1,2,3,4
t 0,1,2,5	t 0,1,3,5	t 0,2,3,5	t 0,1,4,5	t 0,1,2,3,4	t 0,1,2,3,5	t 0,1,2,4,5	t 0,1,2,3,4,5

Notas

Referências

• Coxeter, HSM :
  • - (1973). "Tabela I (iii): Polopos regulares, três politopos regulares em n-dimensões (n≥5)". Polytopes regulares (3ª ed.). Dover. p. 296. ISBN 0-486-61480-8.
  • Sherk, F. Arthur; McMullen, Peter; Thompson, Anthony C .; Weiss, Asia Ivic, eds. (1995). Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter . Wiley. ISBN 978-0-471-01003-6.
    • (Artigo 22) - (1940). “Polopos regulares e semi-regulares I” . Matemática. Zeit . 46 : 380–407. doi : 10.1007 / BF01181449 . S2CID  186237114 .
    • (Documento 23) - (1985). "Polopos regulares e semi-regulares II" . Matemática. Zeit . 188 (4): 559–591. doi : 10.1007 / BF01161657 . S2CID  120429557 .
    • (Documento 24) - (1988). "Polopos III Regular e Semi-Regular" . Matemática. Zeit . 200 : 3–45. doi : 10.1007 / BF01161745 . S2CID  186237142 .
• Conway, John H .; Burgiel, Heidi; Goodman-Strass, Chaim (2008). "26. Hemicubos: 1 _n1 ". As simetrias das coisas . p. 409. ISBN 978-1-56881-220-5.
• Johnson, Norman (1991). "Uniform Polytopes" (Manuscrito). Citar diário requer |journal=( ajuda )
  • Johnson, NW (1966). The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs (PhD). Universidade de Toronto. OCLC  258527038 .

links externos

• Olshevsky, George. "Simplex" . Glossário para o hiperespaço . Arquivado do original em 4 de fevereiro de 2007.
• Polopos de várias dimensões
• Glossário multidimensional