2 31 politopo - 2 31 polytope
3 21 |
2 31 |
1 32 |
|||
Retificado 3 21 |
birretificado 3 21 |
||||
Retificado 2 31 |
Retificado 1 32 |
||||
Projeções ortogonais no plano E 7 Coxeter |
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Na geometria 7-dimensional , 2 31 é um politopo uniforme , construído a partir do grupo E7 .
Seu símbolo Coxeter é 2 31 , descrevendo seu diagrama Coxeter-Dynkin bifurcado , com um único anel na extremidade do ramo de 2 nós.
O 2 31 retificado é construído por pontos nas bordas médias do 2 31 .
Esses politopos fazem parte de uma família de 127 (ou 2 7 −1) politopos uniformes convexos em 7 dimensões , feitos de facetas de politopo uniformes e figuras de vértice , definidas por todas as permutações de anéis neste diagrama de Coxeter-Dynkin : .
2_31 politopo
Gosset 2 31 politopo | |
---|---|
Modelo | 7-politopo uniforme |
Família | 2 k1 poliepítopo |
Símbolo Schläfli | {3,3,3 3,1 } |
Símbolo Coxeter | 2 31 |
Diagrama de Coxeter | |
6 faces | 632: 56 2 21 576 {3 5 } |
5 faces | 4788: 756 2 11 4032 {3 4 } |
4 faces | 16128: 4032 2 01 12096 {3 3 } |
Células | 20160 {3 2 } |
Rostos | 10080 {3} |
Arestas | 2016 |
Vértices | 126 |
Figura do vértice |
1 31 |
Polígono de Petrie | Octadecágono |
Grupo Coxeter | E 7 , [3 3,2,1 ] |
Propriedades | convexo |
O 2 31 é composto por 126 vértices , arestas de 2016 , 10080 faces (triângulos), células 20160 ( tetraedros ), 16128 4 faces ( 3 simplexes ), 4788 5 faces (756 pentacrosses e 4032 5 simplexes ), 632 6 faces (576 6 simplexes e 56 2 21 ). Sua figura de vértice é um semicubo 6 . Seus 126 vértices representam os vetores raiz do grupo de Lie simples E 7 .
Este politopo é a figura do vértice para uma tesselação uniforme do espaço 7-dimensional, 3 31 .
Nomes alternativos
- EL Elte o nomeou V 126 (por seus 126 vértices) em sua lista de 1912 de politopos semirregulares.
- Foi chamado de 2 31 por Coxeter por seu diagrama bifurcado de Coxeter-Dynkin , com um único anel no final da sequência de 2 nós.
- Pentacontihexa-pentacosiheptacontihexa-exon (sigla laq) - 56-576 polyexon facetado (Jonathan Bowers)
Construção
Ele é criado por uma construção de Wythoff sobre um conjunto de 7 espelhos hiperplanos no espaço de 7 dimensões.
As informações da faceta podem ser extraídas de seu diagrama Coxeter-Dynkin , .
A remoção do nó na ramificação curta deixa o 6-simplex . Existem 576 dessas facetas. Essas facetas são centradas nas localizações dos vértices do 3 21 politopo, .
Remover o nó na extremidade do ramo de 3 comprimentos deixa o 2 21 . Existem 56 dessas facetas. Essas facetas são centradas nas localizações dos vértices do politopo de 1 32 , .
A figura do vértice é determinada removendo o nó anelado e circundando o nó vizinho. Isso torna o 6-demicube , 1 31 , .
Visto em uma matriz de configuração , as contagens de elemento podem ser derivadas por remoção de espelho e proporções de ordens de grupo de Coxeter .
E 7 | k -face | f k | f 0 | f 1 | f 2 | f 3 | f 4 | f 5 | f 6 | k -figuras | notas | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
D 6 | () | f 0 | 126 | 32 | 240 | 640 | 160 | 480 | 60 | 192 | 12 | 32 | 6-demicube | E 7 / D 6 = 72x8! / 32/6! = 126 | |
A 5 A 1 | {} | f 1 | 2 | 2016 | 15 | 60 | 20 | 60 | 15 | 30 | 6 | 6 | retificado 5-simplex | E 7 / A 5 A 1 = 72x8! / 6! / 2 = 2016 | |
A 3 A 2 A 1 | {3} | f 2 | 3 | 3 | 10080 | 8 | 4 | 12 | 6 | 8 | 4 | 2 | prisma tetraédrico | E 7 / A 3 A 2 A 1 = 72x8! / 4! / 3! / 2 = 10080 | |
A 3 A 2 | {3,3} | f 3 | 4 | 6 | 4 | 20160 | 1 | 3 | 3 | 3 | 3 | 1 | tetraedro | E 7 / A 3 A 2 = 72x8! / 4! / 3! = 20160 | |
A 4 A 2 | {3,3,3} | f 4 | 5 | 10 | 10 | 5 | 4032 | * | 3 | 0 | 3 | 0 | {3} | E 7 / A 4 A 2 = 72x8! / 5! / 3! = 4032 | |
A 4 A 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | * | 12096 | 1 | 2 | 2 | 1 | Triângulo isósceles | E 7 / A 4 A 1 = 72x8! / 5! / 2 = 12096 | |||
D 5 A 1 | {3,3,3,4} | f 5 | 10 | 40 | 80 | 80 | 16 | 16 | 756 | * | 2 | 0 | {} | E 7 / D 5 A 1 = 72x8! / 32/5! = 756 | |
A 5 | {3,3,3,3} | 6 | 15 | 20 | 15 | 0 | 6 | * | 4032 | 1 | 1 | E 7 / A 5 = 72x8! / 6! = 72 * 8 * 7 = 4032 | |||
E 6 | {3,3,3 2,1 } | f 6 | 27 | 216 | 720 | 1080 | 216 | 432 | 27 | 72 | 56 | * | () | E 7 / E 6 = 72x8! / 72x6! = 8 * 7 = 56 | |
A 6 | {3,3,3,3,3} | 7 | 21 | 35 | 35 | 0 | 21 | 0 | 7 | * | 576 | E 7 / A 6 = 72x8! / 7! = 72 × 8 = 576 |
Imagens
E7 | E6 / F4 | B6 / A6 |
---|---|---|
[18] |
[12] |
[7x2] |
A5 | D7 / B6 | D6 / B5 |
[6] |
[12/2] |
[10] |
D5 / B4 / A4 | D4 / B3 / A2 / G2 | D3 / B2 / A3 |
[8] |
[6] |
[4] |
Polytopes e favos de mel relacionados
2 k 1 figuras em n dimensões | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Espaço | Finito | Euclidiano | Hiperbólico | ||||||||
n | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
Grupo Coxeter |
E 3 = A 2 A 1 | E 4 = A 4 | E 5 = D 5 | E 6 | E 7 | E 8 | E 9 = = E 8 + | E 10 = = E 8 ++ | |||
Diagrama de Coxeter |
|||||||||||
Simetria | [3 −1,2,1 ] | [3 0,2,1 ] | [[3 1,2,1 ]] | [3 2,2,1 ] | [3 3,2,1 ] | [3 4,2,1 ] | [3 5,2,1 ] | [3 6,2,1 ] | |||
Ordem | 12 | 120 | 384 | 51.840 | 2.903.040 | 696.729.600 | ∞ | ||||
Gráfico | - | - | |||||||||
Nome | 2 -1,1 | 2 01 | 2 11 | 2 21 | 2 31 | 2 41 | 2 51 | 2 61 |
Polítopo 2_31 retificado
Rectificado 2 31 poliepítopo | |
---|---|
Modelo | 7-politopo uniforme |
Família | 2 k1 poliepítopo |
Símbolo Schläfli | {3,3,3 3,1 } |
Símbolo Coxeter | t 1 (2 31 ) |
Diagrama de Coxeter | |
6 faces | 758 |
5 faces | 10332 |
4 faces | 47880 |
Células | 100800 |
Rostos | 90720 |
Arestas | 30240 |
Vértices | 2016 |
Figura do vértice | 6-demicube |
Polígono de Petrie | Octadecágono |
Grupo Coxeter | E 7 , [3 3,2,1 ] |
Propriedades | convexo |
O 2 31 retificado é uma retificação do politopo 2 31 , criando novos vértices no centro da borda do 2 31 .
Nomes alternativos
- Pentacontihexa-pentacosiheptacontihexa-exon retificado - como um polyexon facetado 56-576 retificado (acrônimo rolaq) (Jonathan Bowers)
Construção
Ele é criado por uma construção de Wythoff sobre um conjunto de 7 espelhos hiperplanos no espaço de 7 dimensões.
As informações da faceta podem ser extraídas de seu diagrama Coxeter-Dynkin , .
A remoção do nó no ramo curto deixa o 6-simplex retificado , .
A remoção do nó na extremidade da ramificação de 2 comprimentos deixa o, 6-demicube , .
Remover o nó na extremidade do ramo de 3 comprimentos deixa o 2 21 retificado , .
A figura do vértice é determinada removendo o nó anelado e circundando o nó vizinho.
Imagens
E7 | E6 / F4 | B6 / A6 |
---|---|---|
[18] |
[12] |
[7x2] |
A5 | D7 / B6 | D6 / B5 |
[6] |
[12/2] |
[10] |
D5 / B4 / A4 | D4 / B3 / A2 / G2 | D3 / B2 / A3 |
[8] |
[6] |
[4] |
Veja também
Notas
Referências
- Elte, EL (1912), The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces , Groningen: University of Groningen
- HSM Coxeter , Regular Polytopes , 3rd Edition, Dover New York, 1973
-
Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Documento 24) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
- Klitzing, Richard. "Politopos uniformes 7D (polyexa)" . x3o3o3o * c3o3o3o - laq, o3x3o3o * c3o3o3o - rolaq