5-orthoplex - 5-orthoplex

Regular 5-orthoplex (pentacross)
Projecção ortogonal dentro Petrie polígono
Tipo	Regular 5-polytope
Família	orthoplex
símbolo Schläfli	{3,3,3,4} {3,3,3 1,1 }
diagramas de Coxeter-Dynkin
4-faces	32 {3 3 }
células	80 {3,3}
Rostos	80 {3}
Arestas	40
vértices	10
figura Vertex	16 células
Petrie polígono	decágono
grupos de Coxeter	BC 5 , [3,3,3,4] D 5 , [3 2,1,1 ]
Dual	5-cubo
propriedades	convexo

Em cinco dimensões de geometria , um 5-orthoplex , ou 5- poliepítopo transversal , é um poliepítopo de cinco dimensões com 10 vértices , 40 arestas , 80 triângulo enfrenta , Tetrahedron 80 células , 32 5-celulares 4-faces .

Tem duas formas construídas, sendo o primeiro regular com símbolo Schläfli {3 ³ , 4}, e o segundo com facetas alternadamente marcados (checkerboarded), com o símbolo Schläfli {3,3,3 ^1,1 } ou símbolo de Coxeter 2 ₁₁ .

É uma parte de uma família infinita de polytopes, chamado cross-polytopes ou orthoplexes . A dupla poliepítopo é o 5- hipercúbica ou 5-cubo .

Os nomes alternativos

• pentacross , derivado da combinação do nome de família poliepítopo cruzada com pente para cinco (dimensões) em grego .
• Triacontaditeron (ou triacontakaiditeron ) - como um 32- facetado 5-poliepítopo (polyteron).

Como uma configuração

Os elementos das policações regulares pode ser expresso em uma matriz de configuração . Linhas e colunas referência vértices, bordas, caras, e de células, com o elemento da diagonal suas contagens ( f-vectors ). Os elementos nondiagonal representam o número de elementos de linha são incidente para o elemento de coluna. As configurações para policações dupla pode ser visto fazendo rodar os elementos de matriz de 180 graus.

${\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ begin {matriz} 10 & 8 & 24 & 32 & 16 \\ 2 & 40 & 6 & 12 & 8 \\ 3 & 3 & 80 & 4 & 4 \\ 4 & 6 & 4 & 80 & 2 \\ 5 & 10 & 10 & 5 & 32 \ final {matriz}} \ final {bmatrix}}}$

Coordenadas cartesianas

Coordenadas cartesianas para os vértices de um 5-orthoplex, centrado na origem são

(± 1,0,0,0,0), (0, ± 1,0,0,0), (0,0, ± 1,0,0), (0,0,0, ± 1,0 ), (0,0,0,0, ± 1)

Construção

Há três grupos de Coxeter associadas com o 5-orthoplex, um regulares , duais do penteract com o C ₅ ou [4,3,3,3] grupo de Coxeter , e uma simetria inferior com duas cópias de 5-celulares facetas, alternando , com o D ₅ ou [3 ^2,1,1 ] grupo de Coxeter, e a um final como um 5- dupla orthotope , chamado um 5-fusil que pode ter uma variedade de subsymmetries.

Nome	Coxeter diagrama	símbolo Schläfli	Simetria	Ordem	Figura vértice (s)
regular de 5-orthoplex		{3,3,3,4}	[3,3,3,4]	3840
Quasiregular 5-orthoplex		{3,3,3 1,1 }	[3,3,3 1,1 ]	1920
5-fusil
		{3,3,3,4}	[4,3,3,3]	3840
		{3,3,4} + {}	[4,3,3,2]	768
		{3,4} + {4}	[4,3,2,4]	384
		{3,4} 2 {}	[4,3,2,2]	192
		2 {4} + {}	[4,2,4,2]	128
		{4} 3 {}	[4,2,2,2]	64
		5 {}	[2,2,2,2]	32

outras imagens

projecções ortogonais

avião Coxeter	B 5	B 4 / D 5	B 3 / D 4 / A 2
Gráfico
simetria diedro	[10]	[8]	[6]
avião Coxeter	B 2	A 3
Gráfico
simetria diedro	[4]	[4]

A projecção em perspectiva (3D a 2D) de uma projecção stereographic (4D para 3D) do diagrama de Schlegel (5D a 4D) da 5-orthoplex. 10 conjuntos de 4 bordas formam círculos 10 no diagrama 4D Schlegel: dois destes círculos são linhas rectas na projecção stereographic porque contêm o centro de projecção.

polytopes e favos de mel relacionados

2 K um figuras em n dimensões
Espaço	Finito						euclidiana	Hiperbólico
n	3	4	5	6	7	8	9	10
Coxeter grupo	E 3 = A 2 A 1	E 4 = A 4	E 5 = D 5	E 6	E 7	E 8	E 9 = = E 8 +${\ Displaystyle {\ tilde {E}} _ {8}}$	E 10 = = E 8 ++${\ Displaystyle {\ bar {T}} _ {8}}$
Coxeter diagrama
Simetria	[3 -1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[[3 1,2,1 ]]	[3 2,2,1 ]	[3 3,2,1 ]	[3 4,2,1 ]	[3 5,2,1 ]	[3 6,2,1 ]
Ordem	12	120	384	51.840	2903040	696729600	∞
Gráfico							-	-
Nome	2 -1,1	2 01	2 11	2 21	2 31	2 41	2 51	2 61

Este é um poliepítopo de 31 uniformes 5-policações gerados a partir da B ₅ plano de Coxeter , incluindo o normal 5-cubo e 5-orthoplex.

polytopes B5
β 5	t 1 β 5	t 2 γ 5	t 1 γ 5	γ 5	t 0,1 β 5	t 0,2 β 5	t 1,2 β 5
t 0,3 β 5	t 1,3 γ 5	t 1,2 γ 5	t 0,4 γ 5	t 0,3 γ 5	t 0,2 γ 5	t 0,1 γ 5	t 0,1,2 β 5
t 0,1,3 β 5	t 0,2,3 β 5	t 1,2,3 γ 5	t 0,1,4 β 5	t 0,2,4 γ 5	t 0,2,3 γ 5	t 0,1,4 γ 5	t 0,1,3 γ 5
t 0,1,2 γ 5	t 0,1,2,3 β 5	t 0,1,2,4 β 5	t 0,1,3,4 γ 5	t 0,1,2,4 γ 5	t 0,1,2,3 γ 5	t 0,1,2,3,4 γ 5

Referências

• HSM Coxeter :
  • HSM Coxeter, Polytopes regulares , 3rd Edition, Dover New York de 1973
  • Kaleidoscopes: escritos seleccionados de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Ásia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
    • (Papel 22) HSM Coxeter, regular e semi regular Polytopes I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • (Papel 23) HSM Coxeter, regular e Semi-Regular Polytopes II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (Papel 24) HSM Coxeter, regular e semi-regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Norman Johnson Uniforme Polytopes , Manuscrito (1991)
  • NW Johnson: The Theory of Uniform Polytopes e favos de mel , Ph.D. (1966)
• Klitzing, Richard. "5D polytopes uniformes (polytera) x3o3o3o4o - tac" .

links externos

• Olshevsky, George. "Polytope Cruz" . Glossário para Hyperspace . Arquivado do original em 4 de Fevereiro de 2007.
• Polytopes de várias dimensões
• Glossário multi-dimensional