Essencialmente único - Essentially unique


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Em matemática , o termo essencialmente único é usado para indicar que, enquanto algum objeto não é o único que satisfaz certas propriedades, todos esses objetos são "o mesmo" em algum sentido adequada às circunstâncias. Esta noção de "igualdade" é muitas vezes formalizada utilizando uma relação de equivalência .

A noção relacionada é uma propriedade universal , onde um objeto não é apenas essencialmente único, mas único até um único isomorfismo (o que significa que ele tem trivial grupo automorphism ). Em geral dada dois exemplos isomórficas de um objecto essencialmente único, não há naturais (original) isomorfismo entre eles.

Exemplos

Teoria de conjuntos

A maioria, basicamente, há um conjunto essencialmente único de qualquer cardinalidade , quer se rotula os elementos ou . Neste caso, a não exclusividade do isomorfismo (faz um jogo 1 para um ou para c ?) Reflecte-se no grupo simétrico .

Por outro lado, há uma essencialmente único ordenado conjunto de qualquer cardinalidade finita: se alguém escreve e , em seguida, os únicos mapas isomorfismo de preservação da ordem 1 a um, 2 a b, e 3 a c.

Teoria dos Números

O teorema fundamental da aritmética estabelece que a fatoração de qualquer positivo inteiro em números primos é essencialmente único, ou seja, única até a ordem dos fatores primos.

teoria dos grupos

Suponha que procuramos classificar todos os possíveis grupos . Descobriríamos que há um grupo essencialmente único contendo exatamente 3 elementos, o grupo cíclico de ordem três. Não importa como nós optar por escrever esses três elementos e denotam a operação de grupo, todos esses grupos são isomorfos , portanto, "o mesmo".

Por outro lado, não existe um grupo essencialmente único com exactamente quatro elementos, uma vez que existem dois exemplos não isomórficas: o grupo cíclico de ordem 4 e o grupo Klein quatro .

teoria da medida

Suponha que nós procuramos uma tradução - invariante , estritamente positivo , medida localmente finita na reta real . A solução para este problema é essencialmente único: tal medida tem de ser um múltiplo constante da medida de Lebesgue . Especificando que a medida do intervalo de unidade deve ser de 1 determina então a solução com exclusividade.

topologia

Suponha que procuramos classificar todos, bidimensionais compactas , simplesmente conectadas manifolds . Iríamos encontrar uma solução essencialmente única para este problema: a 2-esfera . Neste caso, a solução é única até homeomorphism .

Na área da topologia conhecida como teoria dos nós , não é um análogo do teorema fundamental da aritmética: a decomposição de um nó em uma soma de nós principais é essencialmente único.

teoria de Lie

Um subgrupo compacta máxima de um grupo de Lie semisimples pode não ser único, mas é única para conjugação.

teoria do código

Dada a tarefa de usar 24- bit palavras para armazenar 12 bits de informação de tal forma que os erros de 7 bits pode ser detectado e erros 3 bits pode ser corrigido, a solução é essencialmente único: o código de Golay binária estendida .

Veja também

Referências