Estrutura G em um manifold - G-structure on a manifold

Na geometria diferencial , uma L -Estrutura em um n - colector M , para um determinado grupo de estrutura L , é um principal L - subfibrado do quadro tangente feixe F H (ou GL ( M )) de H .

A noção de estruturas G inclui várias estruturas clássicas que podem ser definidas em variedades, que em alguns casos são campos tensores . Por exemplo, para o grupo ortogonal , uma estrutura O ( n ) define uma métrica Riemanniana , e para o grupo linear especial uma estrutura SL ( n , R ) é o mesmo que uma forma de volume . Para o grupo trivial , uma { e } -strutura consiste em um paralelismo absoluto da variedade.

Generalizando essa ideia para pacotes principais arbitrários em espaços topológicos, pode-se perguntar se um pacote principal sobre um grupo "vem de" um subgrupo de . Isso é chamado de redução do grupo de estrutura (para ). ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle H}$

Várias estruturas em variedades, como uma estrutura complexa , uma estrutura simplética ou uma estrutura de Kähler , são estruturas G com uma condição de integrabilidade adicional .

Redução do grupo de estrutura

Pode-se perguntar se um pacote principal sobre um grupo "vem" de um subgrupo de . Isso é chamado de redução do grupo de estrutura (para ) e faz sentido para qualquer mapa , que não precisa ser um mapa de inclusão (apesar da terminologia). ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle H \ to G}$

Definição

A seguir, seja um espaço topológico , grupos topológicos e um homomorfismo de grupo . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle G, H}$ ${\ displaystyle \ phi \ colon H \ to G}$

Em termos de feixes de concreto

Dado um -bundle over principal , uma redução do grupo de estrutura (de para ) é um -bundle e um isomorfismo do bundle associado ao bundle original. ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle \ phi _ {Q} \ dois pontos Q \ times _ {H} G \ a P}$

Em termos de classificação de espaços

Dado um mapa , onde está o espaço de classificação para -bundles, uma redução do grupo de estrutura é um mapa e uma homotopia . ${\ displaystyle \ pi \ dois pontos X \ a BG}$ ${\ displaystyle BG}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ pi _ {Q} \ dois pontos X \ para BH}$ ${\ displaystyle \ phi _ {Q} \ colon B \ phi \ circ \ pi _ {Q} \ to \ pi}$

Propriedades e exemplos

As reduções do grupo de estrutura nem sempre existem. Se eles existem, geralmente não são essencialmente únicos, uma vez que o isomorfismo é uma parte importante dos dados. ${\ displaystyle \ phi}$

Como um exemplo concreto, todo espaço vetorial real de dimensão par é isomórfico ao espaço real subjacente de um espaço vetorial complexo: ele admite uma estrutura linear complexa . Um pacote vetorial real admite uma estrutura quase complexa se e somente se for isomórfica ao pacote real subjacente de um pacote vetorial complexo. Esta é então uma redução ao longo da inclusão GL ( n , C ) → GL (2 n , R )

Em termos de mapas de transição , um L -bundle pode ser reduzida, se e apenas se os mapas de transição pode ser feita para ter valores em H . Observe que o termo redução é enganoso: sugere que H é um subgrupo de G , o que costuma ser o caso, mas não precisa ser (por exemplo, para estruturas de spin ): é apropriadamente chamado de levantamento .

Mais abstratamente, " G -bundles over X " é um functor em G : dado um mapa H → G , obtém-se um mapa de H -bundles para G -bundles induzindo (como acima). A redução do grupo estrutura de um L -bundle B é escolher um H -bundle cuja imagem é B .

O mapa indutor de H -bundles para G -bundles é, em geral, nem sobre nem um-para-um, de modo que o grupo de estrutura nem sempre pode ser reduzido e, quando pode, essa redução não precisa ser única. Por exemplo, nem todo manifold é orientável , e aqueles que são orientáveis admitem exatamente duas orientações.

Se H é um subgrupo fechado de G , então há uma correspondência natural um a um entre as reduções de um feixe G B para H e seções globais do feixe de fibras B / H obtidas pelo quociente de B pela ação correta de H . Especificamente, a fibração B → B / H é um principal H -bundle sobre B / H . Se σ: X → B / H é uma secção, em seguida, a retirada feixe B _H = σ ^-1B é uma redução de B .

Estruturas G

Cada pacote vetorial de dimensão tem um pacote canônico , o pacote de quadros . Em particular, toda variedade lisa tem um feixe vetorial canônico, o feixe tangente . Para um grupo de Lie e um homomorfismo de grupo , uma -strutura é uma redução do grupo de estruturas do feixe do frame para . ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle GL (n)}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ phi \ colon G \ to GL (n)}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G}$

Exemplos

Os exemplos a seguir são definidos para feixes de vetores reais , particularmente o feixe tangente de uma variedade lisa .

Homomorfismo de grupo	Grupo ${\ displaystyle G}$	${\ displaystyle G}$ -estrutura	Obstrução
${\ displaystyle GL ^ {+} (n) <GL (n)}$	Grupo linear geral de determinante positivo	Orientação	O pacote deve ser orientável
${\ displaystyle SL (n) <GL (n)}$	Grupo linear especial	Forma de volume	O pacote deve ser orientável ( é uma retração de deformação ) ${\ displaystyle SL \ to GL ^ {+}}$
${\ displaystyle SL ^ {\ pm} (n) <GL (n)}$	Determinante ${\ displaystyle \ pm 1}$	Forma de pseudo- volume	Sempre possivel
${\ displaystyle O (n) <GL (n)}$	Grupo ortogonal	Métrica riemanniana	Sempre possível ( é o subgrupo compacto máximo , portanto a inclusão é uma retração de deformação) ${\ displaystyle O (n)}$
${\ displaystyle O (1, n-1) <GL (n)}$	Grupo ortogonal indefinido	Métrica pseudo-riemanniana	Obstrução topológica
${\ displaystyle GL (n, \ mathbf {C}) <GL (2n, \ mathbf {R})}$	Grupo linear geral complexo	Estrutura quase complexa	Obstrução topológica
${\ displaystyle GL (n, \ mathbf {H}) \ cdot Sp (1) <GL (4n, \ mathbf {R})}$	${\ displaystyle GL (n, \ mathbf {H})}$ : grupo linear geral quaterniônico atuando a partir da esquerda ${\ displaystyle \ mathbf {H} ^ {n} \ cong \ mathbf {R} ^ {4n}}$ ${\ displaystyle Sp (1) = Spin (3)}$ : grupo de quatérnios unitários atuando da direita ${\ displaystyle \ mathbf {H} ^ {n}}$	estrutura quase quaterniônica	Obstrução topológica
${\ displaystyle GL (k) \ times GL (nk) <GL (n)}$	Grupo linear geral	Decomposição como uma soma de Whitney ( soma direta) de subfaixas de classificação e . ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle nk}$	Obstrução topológica

Algumas estruturas são termos definidos de outras: dada uma métrica Riemanniana em uma variedade orientada, uma estrutura para a cobertura de 2 dobras é uma estrutura de spin . (Observe que o homomorfismo de grupo aqui não é uma inclusão.) ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle {\ mbox {Spin}} (n) \ para {\ mbox {SO}} (n)}$

Pacotes principais

Embora a teoria dos pacotes principais desempenhe um papel importante no estudo das estruturas G , as duas noções são diferentes. Uma estrutura G é um subconjunto principal do feixe de quadros tangentes , mas o fato de o feixe da estrutura G consistir em quadros tangentes é considerado como parte dos dados. Por exemplo, considere duas métricas Riemannianas em R ⁿ . As estruturas O ( n ) associadas são isomórficas se e somente se as métricas são isométricas. Mas, uma vez que R ⁿ é contrátil, os pacotes O ( n ) subjacentes sempre serão isomórficos como pacotes principais porque os únicos pacotes sobre espaços contráteis são pacotes triviais.

Essa diferença fundamental entre as duas teorias pode ser capturada fornecendo um dado adicional sobre o pacote G subjacente de uma estrutura G : a forma de solda . A forma de solda é o que amarra o feixe principal subjacente da estrutura G à geometria local da própria variedade, especificando um isomorfismo canônico do feixe tangente de M a um feixe vetorial associado . Embora a forma de solda não seja uma forma de conexão , às vezes pode ser considerada como um precursor de uma.

Em detalhes, suponha que Q seja o pacote principal de uma estrutura G. Se Q for realizado como uma redução do feixe de estrutura de M , então a forma de solda é dada pelo retrocesso da forma tautológica do feixe de estrutura ao longo da inclusão. Abstratamente, se considerarmos Q como um feixe principal independentemente de sua realização como uma redução do feixe da estrutura, então a forma de solda consiste em uma representação ρ de G em R ⁿ e um isomorfismo de feixes θ: TM → Q × _ρ R ⁿ .

Condições de integrabilidade e estruturas G planas

Várias estruturas em variedades, como uma estrutura complexa, uma estrutura simplética ou uma estrutura Kähler , são estruturas G (e, portanto, podem ser obstruídas), mas precisam satisfazer uma condição de integrabilidade adicional . Sem a condição de integrabilidade correspondente, a estrutura é, em vez disso, chamada de estrutura "quase", como em uma estrutura quase complexa , uma estrutura quase simplética ou uma estrutura quase Kähler .

Especificamente, uma estrutura de variedade simplética é um conceito mais forte do que uma estrutura G para o grupo simplético . Uma estrutura simplética em uma variedade é uma 2-forma ω em M que é não degenerada (que é uma estrutura, ou estrutura quase simplética), junto com a condição extra de que d ω = 0; esta última é chamada de condição de integrabilidade . ${\ displaystyle Sp}$

Da mesma forma, as folheações correspondem a estruturas G provenientes de matrizes de blocos , juntamente com as condições de integrabilidade para que o teorema de Frobenius se aplique.

Uma estrutura G plana é uma estrutura G P tendo uma seção global ( V ₁ , ..., V _n ) consistindo em campos de vetores comutantes . Uma estrutura G é integrável (ou localmente plana ) se for localmente isomórfica a uma estrutura G plana .

Isomorfismo de estruturas G

O conjunto de difeomorfismos de M que preservam uma estrutura G é chamado de grupo de automorfismo dessa estrutura. Para uma estrutura O ( n ), eles são o grupo de isometrias da métrica Riemanniana e para uma estrutura SL ( n , R ) mapas preservando o volume.

Vamos P ser um L -Estrutura sobre um colector de M , e Q um L -Estrutura sobre um colector de N . Em seguida, um isomorfismo do L -estruturas é um difeomorfismo f : M → N tal que o pushforward de quadros lineares f _* : FM → FN restringe a dar um mapeamento de P em Q . (Observe que é suficiente que Q esteja contido na imagem de f _* .) As estruturas G P e Q são localmente isomórficas se M admitir uma cobertura por conjuntos abertos U e uma família de difeomorfismos f _U : U → f ( U ) ⊂ N tal que f _U induz um isomorfismo de P | _U → Q | _{f ( U )} .

Um automorfismo de uma estrutura G é um isomorfismo de uma estrutura G P consigo mesma. Automorfismos surgem freqüentemente no estudo de grupos de transformação de estruturas geométricas, uma vez que muitas das estruturas geométricas importantes em uma variedade podem ser realizadas como estruturas G.

Uma ampla classe de problemas de equivalência pode ser formulada na linguagem de estruturas- G . Por exemplo, um par de variedades Riemannianas são (localmente) equivalentes se e somente se seus feixes de estruturas ortonormais são estruturas G (localmente) isomórficas . Nesta visão, o procedimento geral para resolver um problema de equivalência é construir um sistema de invariantes para a estrutura G que são suficientes para determinar se um par de estruturas G é localmente isomórfico ou não.

Conexões em estruturas G

Vamos Q ser um G -Estrutura em M . Uma conexão principal no pacote principal Q induz uma conexão em qualquer pacote vetorial associado: em particular no pacote tangente. A conexão linear ∇ on TM decorrentes dessa forma é dito ser compatível com Q . As conexões compatíveis com Q também são chamadas de conexões adaptadas .

Em termos concretos, as conexões adaptadas podem ser entendidas em termos de um quadro móvel . Suponha-se que V _i é uma base de secções locais de TM (isto é, uma estrutura em M ), que define uma secção de Q . Qualquer conexão ∇ determina um sistema de formas 1 dependentes de base ω via

∇ _X V _i = ω _i^j (X) V _j

onde, como uma matriz de formas 1, ω ∈ Ω ¹ (M) ⊗ gl ( n ). Uma ligação adaptado é aquele para o qual ω assume os seus valores na álgebra de Lie g de L .

Torção de uma estrutura G

Associada a qualquer estrutura G está uma noção de torção, relacionada à torção de uma conexão. Observe que uma dada estrutura G pode admitir muitas conexões compatíveis diferentes que, por sua vez, podem ter torções diferentes, mas, apesar disso, é possível dar uma noção independente de torção da estrutura G como segue.

A diferença de duas ligações adaptados é um 1-forma em M com valores na adjunta feixe Ad _Q . Ou seja, o espaço A ^Q de conexões adaptadas é um espaço afim para Ω ¹ (Ad _Q ).

A torção de uma conexão adaptada define um mapa

{\ displaystyle A ^ {Q} \ to \ Omega ^ {2} (TM) \,}

para 2 formas com coeficientes em TM . Este mapa é linear; sua linearização

{\ displaystyle \ tau: \ Omega ^ {1} (\ mathrm {Ad} _ {Q}) \ to \ Omega ^ {2} (TM) \,}

é chamado de mapa algébrico de torção . Dadas duas conexões adaptadas ∇ e ∇ ′, seus tensores de torção T _∇ , T _{∇ ′} diferem por τ (∇ − ∇ ′). Portanto, a imagem de T _∇ em coker (τ) é independente da escolha de ∇.

A imagem de T _∇ em coker (τ) para qualquer conexão adaptada ∇ é chamada de torção da estrutura G. Uma estrutura G é considerada livre de torção se sua torção desaparecer. Isso acontece precisamente quando Q admite uma conexão adaptada sem torção.

Exemplo: torção para estruturas quase complexas

Um exemplo de uma estrutura G é uma estrutura quase complexa , ou seja, uma redução de um grupo de estruturas de uma variedade par-dimensional a GL ( n , C ). Esta redução é determinado unicamente por um C ^∞ -linear endomorfismo J ∈ End ( TM ) de tal modo que J ² = -1. Nesta situação, a torção pode ser calculada explicitamente como segue.

Uma contagem de dimensão fácil mostra que

{\ displaystyle \ Omega ^ {2} (TM) = \ Omega ^ {2,0} (TM) \ oplus \ mathrm {im} (\ tau)}

,

onde Ω ^2,0 ( TM ) é um espaço de formas B ∈ Ω ² ( TM ) que satisfazem

{\ displaystyle B (JX, Y) = B (X, JY) = - JB (X, Y). \,}

Portanto, a torção de uma estrutura quase complexa pode ser considerada um elemento em Ω ^2,0 ( TM ). É fácil verificar que a torção de uma estrutura quase complexa é igual ao seu tensor de Nijenhuis .

Ordem superior G -construções e suas partes

A imposição de condições de integrabilidade em uma estrutura G particular (por exemplo, no caso de uma forma simplética) pode ser tratada por meio do processo de prolongamento . Em tais casos, a estrutura G prolongada não pode ser identificada com um subgrupo G do feixe de quadros lineares. Em muitos casos, entretanto, o prolongamento é um feixe principal por si só, e seu grupo de estrutura pode ser identificado com um subgrupo de um grupo de jato de ordem superior . Nesse caso, é chamada de estrutura G de ordem superior [Kobayashi]. Em geral, o método de equivalência de Cartan se aplica a tais casos.

Veja também

G _{2 -} estrutura

Notas

^ Que é ummapeamento de grupo de Lie para o grupo linear geral . Freqüentemente, mas nem sempre, é um subgrupo de Lie ; por exemplo, para uma estrutura de spin, o mapa é um espaço que cobre sua imagem. ${\ displaystyle G \ to GL (n, \ mathbf {R})}$ ${\ displaystyle GL (n, \ mathbf {R})}$
^ Na verdade, é um bifunctor em G e X .
^ Na teoria de campo clássica , tal seçãodescreve um campo de Higgs clássico( Sardanashvily, G. (2006). "Geometria dos Campos de Higgs Clássicos". Jornal Internacional de Métodos Geométricos em Física Moderna . 03 : 139-148. ArXiv : hep- th / 0510168 . doi : 10,1142 / S0219887806001065 . ${\ displaystyle \ sigma}$ )
^ É um campo gravitacional na teoria da gravitação de calibre ( Sardanashvily, G. (2006). "Teoria da gravitação de calibre do ponto de vista geométrico". Jornal Internacional de Métodos Geométricos em Física Moderna . 3 (1): v – xx. ArXiv : gr -qc / 0512115 . bibcode : 2005gr.qc .... 12115S .)
^ ^a ^b Besse 1987 , §14.61
^ Kobayashi 1972
^ Kobayashi 1972 , I.4
^ Gauduchon 1997

Referências

Chern, Shiing-Shen (1966). "A geometria das estruturas G " . Boletim da American Mathematical Society . 72 (2): 167–219. doi : 10.1090 / S0002-9904-1966-11473-8 .
Gauduchon, Paul (1997). "Conexões canônicas para estruturas quase hipercomplexas" . Análise e geometria complexa . Pitman Research Notes in Mathematics Series. 366 . Longman. pp. 123–13. ISBN 978-0-582-29276-5.
Kobayashi, Shoshichi (1972). Grupos de transformação em geometria diferencial . Clássicos da Matemática. Springer. ISBN 978-3-540-58659-3. OCLC 31374337 .
Sternberg, Shlomo (1983). Lectures on Differential Geometry ((2ª ed.) Ed.). Nova York: Chelsea Publishing Co. ISBN 978-0-8218-1385-0. OCLC 43032711 .
Godina, Marco; Matteucci, Paolo (2003). "Estruturas G redutivas e derivados de Lie". Journal of Geometry and Physics . 47 (1): 66–86. arXiv : math / 0201235 . Bibcode : 2003JGP .... 47 ... 66G . doi : 10.1016 / S0393-0440 (02) 00174-2 . MR 2006228 . S2CID 119558088 .

[1] Que é ummapeamento de grupo de Lie para o grupo linear geral . Freqüentemente, mas nem sempre, é um subgrupo de Lie ; por exemplo, para uma estrutura de spin, o mapa é um espaço que cobre sua imagem. ${\ displaystyle G \ to GL (n, \ mathbf {R})}$ ${\ displaystyle GL (n, \ mathbf {R})}$

[2] Na verdade, é um bifunctor em G e X .

[3] Na teoria de campo clássica , tal seçãodescreve um campo de Higgs clássico( Sardanashvily, G. (2006). "Geometria dos Campos de Higgs Clássicos". Jornal Internacional de Métodos Geométricos em Física Moderna . 03 : 139-148. ArXiv : hep- th / 0510168 . doi : 10,1142 / S0219887806001065 . ${\ displaystyle \ sigma}$ )

[4] É um campo gravitacional na teoria da gravitação de calibre ( Sardanashvily, G. (2006). "Teoria da gravitação de calibre do ponto de vista geométrico". Jornal Internacional de Métodos Geométricos em Física Moderna . 3 (1): v – xx. ArXiv : gr -qc / 0512115 . bibcode : 2005gr.qc .... 12115S .)

[:0-5] Besse 1987 , §14.61

[6] Kobayashi 1972

[7] Kobayashi 1972 , I.4

[8] Gauduchon 1997

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