movimento hiperbólico (relatividade) - Hyperbolic motion (relativity)

Hiperbólica movimento pode ser visualizado num diagrama Minkowski, onde o movimento da partícula é acelerar ao longo da -axis. Cada hipérbole é definida por e (com ) na equação ( 2 ).${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle x = \ c ^ pm {2} / \ alfa}$${\ Displaystyle \ eta = \ alfa \ tau / c}$${\ Displaystyle c = 1, \ alfa = 1}$

Movimento hiperbólico é o movimento de um objeto com constante aceleração adequada na relatividade especial . É chamado movimento hiperbólico, porque a equação que descreve o percurso do objecto através de espaço-tempo é uma hipérbole , como pode ser visto quando representada graficamente em um diagrama de Minkowski cujas coordenadas representam um inercial adequado (não acelerado) moldura. Este movimento tem várias características interessantes, entre eles que é possível correr mais que um fóton se dado uma vantagem suficiente, como pode ser concluído a partir do diagrama.

História

Hermann Minkowski (1908) mostrou a relação entre um ponto em um Worldline e a magnitude do quadriaceleração e uma "hipérbole curvatura" ( alemão : Krümmungshyperbel ). No contexto da rigidez Nascido , Max Born (1909), posteriormente, cunhou o termo "movimento hiperbólico" ( alemão : Hyperbelbewegung ) para o caso de magnitude constante de quadriaceleração, em seguida, forneceu uma descrição detalhada para cobradas partículas em movimento hiperbólico, e introduziu o correspondente "sistema hiperbolicamente acelerado de referência" ( alemão : beschleunigtes hyperbolisch Bezugsystem ). Fórmulas de Born foram simplificadas e prorrogado por Arnold Sommerfeld (1910). Para as primeiras críticas ver os livros didáticos por Max von Laue (1911, 1921) ou Wolfgang Pauli (1921). Veja também Galeriu (2015) ou Gourgoulhon (2013) e Acceleration (relatividade especial) #History .

Worldline

A aceleração adequada de uma partícula é definido como a aceleração que uma partícula "sente", uma vez que acelera de um referencial inercial para outro. Se a aceleração adequada é dirigida paralela à linha de movimento, que está relacionada com a ordinária e três aceleração na relatividade especial por ${\ Displaystyle \ alfa}$ ${\ Displaystyle um = du / dt}$

${\ Displaystyle \ alfa = \ gamma ^ {3} a = {\ frac {1} {\ esquerda (1-u ^ {2} / c ^ {2} \ direita) ^ {3/2}}} {\ frac {du} {dT}},}$

onde é a velocidade instantânea da partícula, o factor de Lorentz , é a velocidade da luz , e é o tempo de coordenadas. Resolvendo para a equação de movimento dá as fórmulas desejadas, que podem ser expressas em termos de coordenar o tempo , bem como tempo adequado . Por razões de simplificação, todos os valores iniciais para a hora, o local, e a velocidade pode ser ajustada para 0, da seguinte forma:${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle c}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle T}$ ${\ Displaystyle \ tau}$

${\ Displaystyle {\ begin {matriz} {c | c} {\ {começar alinhados} u (t) = {& \ frac {\ T alfa} {\ sqrt {1+ \ esquerda ({\ frac {\ T alfa } {c}} \ direita) ^ {2}}}} \\ & = c \ tanh \ esquerda (\ operatorname {arsinh} {\ frac {\ alfa T} e {c}} \ direita) \\ X (t ) & = {\ frac {c ^ {2}} {\ alfa}} \ esquerda ({\ sqrt {1+ \ esquerda ({\ frac {\ alfa T} e {c}} \ direita) ^ {2}} } -1 \ direita) \\ & = {\ frac {c ^ {2}} {\ alfa}} \ esquerda (\ cosh \ esquerda (\ operatorname {arsinh} {\ frac {\ alfa T} e {c}} \ direita) -1 \ direita) \\ c \ tau (t) = {& \ frac {c ^ {2}} {\ alfa}} \ ln \ esquerda ({\ sqrt {1+ \ esquerda ({\ frac {\ alfa T} e {c}} \ direita) ^ {2}}} + {\ frac {\ alfa T} e {c}} \ direita) \\ & = {\ frac {c ^ {2}} {\ alfa}} \ operatorname {arsinh} {\ frac {\ alfa T} e {c}} \ final {alinhados}} e {\ begin {alinhados} u (\ tau) & = c \ tanh {\ frac {\ alfa \ tau} {c}} \\\\ X (\ tau) & = {\ frac {c ^ {2}} {\ alfa}} \ esquerda (\ cosh {\ frac {\ alfa \ tau} {c}} -1 \ direita) \\\\ cT (\ tau) & = {\ frac {c ^ {2}} {\ alfa}} \ sinh {\ frac {\ alfa \ tau} {c}} \\\\ \\\ final {alinhados}} \ final {matriz}}}$

( 1 )

Isto dá , que é uma hipérbole no tempo e a variável localização espacial . Neste caso, o objeto acelerada está localizado na no momento . Se em vez existem valores iniciais diferentes de zero, as fórmulas para o movimento hiperbólico assumir a forma:${\ Displaystyle \ esquerda (X + c ^ {2} / \ alfa \ direita) ^ {2} -c ^ {2} T ^ {2} = c ^ {4} / \ alfa ^ {2}}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle X = 0}$${\ Displaystyle T = 0}$

${\ Displaystyle {\ scriptstyle {\ begin {matriz} {c | c} {\ begin {alinhados} u (T) & = {\ frac {u_ {0} \ gama _ {0} + \ alfa T} {\ sqrt {1+ \ esquerda ({\ frac {u_ {0} \ _ gama {0} + \ T alfa} {c}} \ direita) ^ {2}}}} \ quad \\ & = c \ tanh \ esquerda \ {\ {operatorname arsinh} \ esquerda ({\ frac {u_ {0} \ _ gama {0} + \ T alfa} {c}} \ direita) \ direita \} \\ X (T) & = X_ {0} + {\ frac {c ^ {2}} {\ alfa}} \ esquerda ({\ sqrt {1+ \ esquerda ({\ frac {u_ {0} \ _ gama {0} + \ T} alfa {c}} \ direita) ^ {2}}} - \ _ gama {0} \ direita) \\ & = X_ {0} + {\ frac {c ^ {2}} {\ alfa}} \ esquerda \ {\ cosh \ esquerda [\ operatorname {arsinh} \ esquerda ({\ frac {u_ {0} \ gama _ {0} + \ alfa T} e {c}} \ direita) \ direita] - \ gama _ {0} \ direita \} \\ c \ tau (t) = & c \ _ tau {0} + {\ frac {c ^ {2}} {\ alfa}} \ ln \ esquerda ({\ frac {{\ {sqrt c ^ {2} + \ esquerda (u_ {0} \ gama _ {0} + \ alfa t \ direita) {} ^ {2}}} + u_ {0} \ gama _ {0} + \ alfa T} {\ esquerda (c + u_ {0} \ direita) \ _ gama {0}}} \ direita) \\ & = c \ tau _ {0} + {\ frac {c ^ {2}} {\ alfa} } \ esquerda \ {\ operatorname {arsinh} \ esquerda ({\ frac {u_ {0} \ gama _ {0} + \ alfa T} e {c}} \ direito) - \ operatorname {artanh} \ esquerda ({\ frac {u_ {0}} {c}} \ direita) \ direita \} \ final {alinhados}} e {\ {começar alinhados} u (\ tau) & = c \ tanh \ esquerda \ {\ ópera torname {artanh} \ esquerda ({\ frac {u_ {0}} {c}} \ direita) + {\ frac {\ alfa \ tau} {c}} \ direita \ \\\\} X (\ tau) & = X_ {0} + {\ frac {c ^ {2}} {\ alfa}} \ esquerda \ {\ cosh \ esquerda [\ operatorname {artanh} \ esquerda ({\ frac {u_ {0}} {c }} \ direita) + {\ frac {\ alfa \ tau} {c}} \ direita] - \ _ gama {0} \ direita \ \\\\} cT (\ tau) & = cT_ {0} + { \ frac {c ^ {2}} {\ alfa}} \ esquerda \ {\ sinh \ esquerda [\ operatorname {artanh} \ esquerda ({\ frac {u_ {0}} {c}} \ direita) + {\ frac {\ alfa \ tau} {c}} \ direita] - {\ frac {u_ {0} \ gama _ {0}} {c}} \ direita \} \ final {alinhados}} \ final {matriz}} }}$

Rapidez

O Worldline para o movimento hiperbólico (que a partir de agora vai ser escrito como uma função de tempo adequado) pode ser simplificada de várias maneiras. Por exemplo, a expressão

${\ Displaystyle X = {\ frac {c ^ {2}} {\ alfa}} \ esquerda (\ cosh {\ frac {\ alfa \ tau} {c}} - 1 \ direita)}$

pode ser submetido a um deslocamento espacial de montante , assim ${\ Displaystyle c ^ {2} / \ alfa}$

${\ Displaystyle X = {\ frac {c ^ {2}} {\ alfa}} \ cosh {\ frac {\ alfa \ tau} {c}}}$,

pelo qual o observador está em posição no tempo . Além disso, através da criação e introduzindo a rapidez , as equações para o movimento hiperbólico reduzir a${\ Displaystyle X = c ^ {2} / \ alfa}$${\ Displaystyle T = 0}$${\ Displaystyle x = c ^ {2} / \ alfa}$ ${\ Displaystyle \ eta = \ operatorname {artanh} {\ frac {L} {c}} = {\ frac {\ alfa \ tau} {c}}}$

${\ Displaystyle cT = x \ sinh \ eta, \ quad X = x \ cosh \ eta}$

( 2 )

com a hipérbole . ${\ Displaystyle X ^ {2} -c ^ {2} T ^ {2} = x ^ {2}}$

partículas carregadas em movimento hiperbólico

Born (1909), Sommerfeld (1910), von Laue (1911), Pauli (1921) também formulado as equações para o campo electromagnético de partículas carregadas em movimento hiperbólico. Este foi prorrogado por Hermann Bondi e Thomas Gold (1955) e Fulton & Rohrlich (1960)

${\ Displaystyle {\ begin {alinhados} E _ {\ rô '}' = & {\ frac {\ esquerda (8e / \ alfa ^ {2} \ direita) \ rô 'z'} {\ xi ^ {\ privilegiada 3 }}} \\ {E_ z '}' & = {\ frac {- \ esquerda (4e / \ alfa ^ {2} \ direita) 1 / \ alfa ^ {2} + t ^ {\ privilegiada 2} + \ ró ^ {\ privilegiada 2} -z ^ {\ privilegiada 2}} {\ xi ^ {\ Prime 3}}} \\ e _ {\ varphi '}' = & H _ {\ varphi '}' = H_ {z '} '= 0 \\ H _ {\ varphi '}'= & {\ frac {\ esquerda (8e / \ alfa ^ {2} \ direita) \ rô 't'} {\ xi ^ {\ Prime 3}}} \ \\ xi '= & {\ sqrt {\ left (1 / \ alpha ^ {2} + t ^ {\ Prime 2} - \ rho ^ {\ Prime 2} -z ^ {\ Prime 2} \ right) ^ {2} + \ esquerda (2 \ rô '/ \ alfa \ direita) ^ {2}}} \ final {alinhados}}}$

Isto está relacionado com a questão controversa discutido, quer cargas em movimento hiperbólico perpétua que irradiam ou não, e se isso é consistente com o princípio da equivalência - mesmo que seja sobre uma situação ideal, porque o movimento hiperbólico perpétua não é possível. Enquanto os primeiros autores como Born (1909) ou Pauli (1921) argumentou que nenhuma radiação surge, autores posteriores, como Bondi & Gold e Fulton & Rohrlich mostraram que a radiação de fato surgir.

referencial adequado

O percurso da luz através E marca o horizonte de eventos aparente de um observador P em movimento hiperbólico.

Na equação ( 2 ) para movimento hiperbólico, a expressão era constante, enquanto que a rapidez foi variável. No entanto, tal como apontado por Sommerfeld, pode-se definir como uma variável, ao fazer constante. Isto significa, que as equações tornar-se transformações indicando a forma de repouso simultânea de um corpo acelerado com coordenadas hiperbólicas como visto por um observador comóvel ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle \ eta}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle \ eta}$${\ Displaystyle (x, y, z, \ eta)}$

${\ Displaystyle cT = x \ sinh \ eta, \ quad X = x \ cosh \ eta, \ quad Y = y, \ quad Z = z}$

Por meio dessa transformação, o bom tempo torna-se o tempo do quadro hiperbolicamente acelerado. Estas coordenadas, as quais são vulgarmente chamadas coordenadas Rindler (variantes semelhantes são denominadas coordenadas Kottler-Moller ou rapariga coordenadas ), pode ser visto como um caso especial de Fermi coordenadas ou coordenadas apropriadas, e muitas vezes são utilizados em conexão com o efeito Unruh . Usando estas coordenadas, verifica-se que os observadores em movimento hiperbólico possui uma aparente horizonte de eventos , além de que nenhum sinal pode alcançá-los.

transformação conformal Especial

Um método conhecido para menor definindo um quadro de referência em movimento hiperbólico é o emprego da transformação conformacional especial , que consiste de uma inversão , uma tradução , e outra inversão. É comumente interpretado como uma transformação de calibre no espaço Minkowski, embora alguns autores, alternativamente, usá-lo como uma transformação de aceleração (ver Kastrup por um levantamento histórico crítico). Ele tem a forma

${\ Displaystyle X ^ {\ mu} = {\ frac {x ^ {\ mu} -a ^ {\ mu} x ^ {2}} {1-2ax + a ^ {2} x ^ {2}}} }$

Usando apenas uma dimensão espacial por , e ainda simplificar, definindo , e usando a aceleração , resulta${\ Displaystyle x ^ {\ mu} = (t, x)}$${\ Displaystyle x = 0}$${\ Displaystyle um ^ {\ mu} = (0, - \ alfa / 2)}$

${\ Displaystyle T = {\ frac {t} {1 - {\ frac {1} {4}} \ alfa {} ^ {2} t ^ {2}}}, \ quad X = {\ frac {- \ alfa t ^ {2}} {2 \ esquerda (1 - {\ frac {1} {4}} \ {alfa} ^ {2} t ^ {2} \ direita)}}}$

com a hipérbole . Acontece que no momento se torna singular, ao qual Fulton & Rohrlich & Witten observação de que a pessoa tem que ficar longe deste limite, enquanto Kastrup (que é muito crítico da interpretação aceleração) observa que este é um dos estranhos resultados de esta interpretação. ${\ Displaystyle \ esquerda (X-1 / \ alfa \ direita) ^ {2} -T ^ {2} = 1 / \ alfa ^ {2}}$${\ Displaystyle t = \ h (x + 2 / \ alfa)}$

Notas

Referências

• Leigh Page (Fev 1936). "Um novo Relatividade. Papel I. Princípios Fundamentais e transformações entre sistemas acelerado". Physical Review . 49 (3): 254-268. Bibcode : 1936PhRv ... 49..254P . doi : 10,1103 / PhysRev.49.254 .
• Leigh Page & Norman I. Adams (Mar 1936). "A New Relatividade. Livro II. Transformação do campo eletromagnético entre sistemas acelerado e a Força Equação". Physical Review . 49 (6): 466-469. Bibcode : 1936PhRv ... 49..466P . doi : 10,1103 / PhysRev.49.466 .
• Misner, Charles W. ; Thorne, Kip. S. ; Wheeler, John A. (1973), Gravitação , WH Freeman, Capítulo 6, ISBN  0-7167-0344-0
• Wolfgang Rindler (1960) hiperbólica Movimento em Curvo espaço tempo , Physical Review 119: 2082 doi : 10,1103 / PhysRev.119.2082
• Ludwik Silberstein (1914): A Teoria da Relatividade , página 190.
• Naber, Gregory L., A geometria de Minkowski espaço-tempo , Springer-Verlag, Nova Iorque, 1992. ISBN  0-387-97848-8 (capa dura), ISBN  0-486-43235-1 (Dover edição de bolso). pp 58-60.

links externos

• Physics FAQ: The Rocket Relativistic
• Mathpages: Accelerated Travels , faz um Uniformemente Acelerar carga Radiate?