Teoria dos sistemas dinâmicos - Dynamical systems theory
A teoria dos sistemas dinâmicos é uma área da matemática usada para descrever o comportamento de sistemas dinâmicos complexos , geralmente empregando equações diferenciais ou equações de diferença . Quando as equações diferenciais são empregadas, a teoria é chamada de sistemas dinâmicos contínuos . Do ponto de vista físico, os sistemas dinâmicos contínuos são uma generalização da mecânica clássica , uma generalização onde as equações de movimento são postuladas diretamente e não são restritas a serem equações de Euler-Lagrange de um princípio de ação mínimo. Quando as equações de diferença são empregadas, a teoria é chamada de sistemas dinâmicos discretos . Quando a variável de tempo passa por um conjunto que é discreto em alguns intervalos e contínuo em outros intervalos ou é qualquer conjunto de tempo arbitrário, como um conjunto de Cantor , obtém-se equações dinâmicas em escalas de tempo . Algumas situações também podem ser modeladas por operadores mistos, como equações diferenciais .
Esta teoria lida com o comportamento qualitativo de longo prazo de sistemas dinâmicos e estuda a natureza e, quando possível, as soluções das equações de movimento de sistemas que são muitas vezes principalmente mecânicos ou de natureza física, como órbitas planetárias e comportamento de circuitos eletrônicos , bem como sistemas que surgem em biologia , economia e em outros lugares. Grande parte da pesquisa moderna está focada no estudo de sistemas caóticos .
Este campo de estudo também é chamado apenas sistemas dinâmicos , teoria dos sistemas dinâmicos matemática ou a teoria matemática de sistemas dinâmicos .
Visão geral
A teoria dos sistemas dinâmicos e a teoria do caos lidam com o comportamento qualitativo de longo prazo dos sistemas dinâmicos . Aqui, o foco não está em encontrar soluções precisas para as equações que definem o sistema dinâmico (que muitas vezes é impossível), mas sim em responder a perguntas como "O sistema se estabilizará em um estado estacionário a longo prazo e, em caso afirmativo, o que são os possíveis estados estacionários? ", ou" O comportamento de longo prazo do sistema depende de sua condição inicial? "
Um objetivo importante é descrever os pontos fixos, ou estados estacionários de um determinado sistema dinâmico; esses são os valores da variável que não mudam com o tempo. Alguns desses pontos fixos são atrativos , o que significa que se o sistema começa em um estado próximo, ele converge para o ponto fixo.
Da mesma forma, estamos interessados em pontos periódicos , estados do sistema que se repetem após vários passos de tempo. Os pontos periódicos também podem ser atraentes. O teorema de Sharkovskii é uma afirmação interessante sobre o número de pontos periódicos de um sistema dinâmico discreto unidimensional.
Mesmo os sistemas dinâmicos não lineares simples costumam exibir um comportamento aparentemente aleatório que tem sido chamado de caos . O ramo dos sistemas dinâmicos que lida com a definição limpa e investigação do caos é chamado de teoria do caos .
História
O conceito de teoria dos sistemas dinâmicos tem suas origens na mecânica newtoniana . Lá, como em outras ciências naturais e disciplinas de engenharia, a regra de evolução dos sistemas dinâmicos é dada implicitamente por uma relação que dá ao estado do sistema apenas um curto período de tempo no futuro.
Antes do advento das máquinas de computação rápida , resolver um sistema dinâmico exigia técnicas matemáticas sofisticadas e só poderia ser realizado para uma pequena classe de sistemas dinâmicos.
Algumas apresentações excelentes da teoria matemática do sistema dinâmico incluem Beltrami (1990) , Luenberger (1979) , Padulo & Arbib (1974) e Strogatz (1994) .
Conceitos
Sistemas dinâmicos
O conceito de sistema dinâmico é uma formalização matemática para qualquer "regra" fixa que descreve a dependência do tempo da posição de um ponto em seu espaço ambiente . Os exemplos incluem os modelos matemáticos que descrevem o balanço de um pêndulo de relógio, o fluxo de água em um cano e o número de peixes a cada nascente em um lago.
Um sistema dinâmico tem um estado determinado por uma coleção de números reais ou, mais geralmente, por um conjunto de pontos em um espaço de estado apropriado . Pequenas mudanças no estado do sistema correspondem a pequenas mudanças nos números. Os números também são as coordenadas de um espaço geométrico - uma variedade . A regra de evolução do sistema dinâmico é uma regra fixa que descreve quais estados futuros seguem do estado atual. A regra pode ser determinística (para um determinado intervalo de tempo, um estado futuro pode ser previsto com precisão, dado o estado atual) ou estocástica (a evolução do estado só pode ser prevista com uma certa probabilidade).
Dynamicism
Dynamicism , também denominado a hipótese dinâmica ou a hipótese dinâmica em ciência cognitiva ou cognição dinâmica , é uma nova abordagem em ciência cognitiva exemplificada pelo trabalho do filósofo Tim van Gelder . Ele argumenta que as equações diferenciais são mais adequadas para modelar a cognição do que os modelos de computador mais tradicionais .
Sistema não linear
Em matemática , um sistema não linear é um sistema que não é linear - isto é, um sistema que não satisfaz o princípio de superposição . Menos tecnicamente, um sistema não linear é qualquer problema em que as variáveis a serem resolvidas não podem ser escritas como uma soma linear de componentes independentes. Um sistema não homogêneo , que é linear independente da presença de uma função das variáveis independentes , é não linear de acordo com uma definição estrita, mas tais sistemas são geralmente estudados juntamente com sistemas lineares, porque podem ser transformados em um sistema linear desde que um solução particular é conhecida.
Campos relacionados
Dinâmica Aritmética
- A dinâmica aritmética é um campo que surgiu na década de 1990 que amalgama duas áreas da matemática, sistemas dinâmicos e teoria dos números . Classicamente, a dinâmica discreta refere-se ao estudo da iteração de mapas próprios do plano complexo ou linha real . A dinâmica aritmética é o estudo das propriedades teóricas dos números de pontos inteiros, racionais, p -adic e / ou algébricos sob a aplicação repetida de uma função polinomial ou racional .
Teoria do caos
- A teoria do caos descreve o comportamento de certos sistemas dinâmicos - isto é, sistemas cujo estado evolui com o tempo - que podem exibir dinâmicas que são altamente sensíveis às condições iniciais (popularmente chamado de efeito borboleta ). Como resultado dessa sensibilidade, que se manifesta como um crescimento exponencial de perturbações nas condições iniciais, o comportamento dos sistemas caóticos parece aleatório . Isso ocorre mesmo que esses sistemas sejam determinísticos , ou seja, suas dinâmicas futuras são totalmente definidas por suas condições iniciais, sem elementos aleatórios envolvidos. Esse comportamento é conhecido como caos determinístico ou simplesmente caos .
Sistemas complexos
- Sistemas complexos é um campo científico que estuda as propriedades comuns de sistemas considerados complexos na natureza , na sociedade e na ciência . É também chamada de teoria dos sistemas complexos , ciência da complexidade , estudo de sistemas complexos e / ou ciências da complexidade . Os principais problemas de tais sistemas são dificuldades com sua modelagem e simulação formal . Nessa perspectiva, em diferentes contextos de pesquisa, sistemas complexos são definidos com base em seus diferentes atributos.
- O estudo de sistemas complexos está trazendo uma nova vitalidade a muitas áreas da ciência onde uma estratégia reducionista mais típica falhou. Sistemas complexos são, portanto, frequentemente usados como um termo amplo que abrange uma abordagem de pesquisa para problemas em muitas disciplinas diversas, incluindo neurociências , ciências sociais , meteorologia , química , física , ciência da computação , psicologia , vida artificial , computação evolutiva , economia , previsão de terremotos, biologia molecular e investigações sobre a natureza das próprias células vivas .
Teoria de controle
- A teoria do controle é um ramo interdisciplinar da engenharia e da matemática , em parte ela lida com a influência do comportamento de sistemas dinâmicos .
Teoria ergódica
- A teoria ergódica é um ramo da matemática que estuda sistemas dinâmicos com uma medida invariante e problemas relacionados. Seu desenvolvimento inicial foi motivado por problemas de física estatística .
Análise funcional
- A análise funcional é o ramo da matemática e, especificamente, da análise , que se preocupa com o estudo dos espaços vetoriais e dos operadores que atuam sobre eles. Tem as suas raízes históricas no estudo dos espaços funcionais , em particular nas transformações de funções , como a transformada de Fourier , bem como no estudo das equações diferenciais e integrais . Esse uso da palavra funcional remonta ao cálculo de variações , implicando em uma função cujo argumento é uma função. Seu uso em geral foi atribuído ao matemático e físico Vito Volterra e sua fundação é amplamente atribuída ao matemático Stefan Banach .
Sistemas gráficos dinâmicos
- O conceito de sistemas dinâmicos de gráfico (GDS) pode ser usado para capturar uma ampla gama de processos que ocorrem em gráficos ou redes. Um tema importante na análise matemática e computacional de sistemas gráficos dinâmicos é relacionar suas propriedades estruturais (por exemplo, a conectividade de rede) e a dinâmica global resultante.
Sistemas dinâmicos projetados
- Sistemas dinâmicos projetados é uma teoria matemática que investiga o comportamento de sistemas dinâmicos onde as soluções são restritas a um conjunto de restrições. A disciplina compartilha conexões e aplicações com o mundo estático dos problemas de otimização e equilíbrio e com o mundo dinâmico das equações diferenciais ordinárias . Um sistema dinâmico projetado é dado pelo fluxo para a equação diferencial projetada.
Dinâmica simbólica
- A dinâmica simbólica é a prática de modelar um sistema topológico ou dinâmico suave por um espaço discreto constituído por sequências infinitas de símbolos abstratos, cada um correspondendo a um estado do sistema, com a dinâmica (evolução) dada pelo operador de deslocamento .
Dinâmica do sistema
- A dinâmica do sistema é uma abordagem para compreender o comportamento dos sistemas ao longo do tempo. Ele lida com loops de feedback interno e atrasos de tempo que afetam o comportamento e o estado de todo o sistema. O que torna o uso da dinâmica de sistema diferente de outras abordagens para estudar sistemas é o uso de ciclos de feedback e estoques e fluxos . Esses elementos ajudam a descrever como até mesmo sistemas aparentemente simples exibem uma não linearidade desconcertante .
Dinâmica topológica
- A dinâmica topológica é um ramo da teoria dos sistemas dinâmicos em que as propriedades qualitativas assintóticas dos sistemas dinâmicos são estudadas do ponto de vista da topologia geral .
Formulários
Em biomecânica
Na biomecânica dos esportes , a teoria dos sistemas dinâmicos surgiu nas ciências do movimento como uma estrutura viável para modelar o desempenho e a eficiência atlética. De uma perspectiva de sistemas dinâmicos, o sistema de movimento humano é uma rede altamente intrincada de subsistemas co-dependentes (por exemplo, respiratório, circulatório, nervoso, esquelético-muscular, perceptivo) que são compostos por um grande número de componentes em interação (por exemplo, células sanguíneas, oxigênio moléculas, tecido muscular, enzimas metabólicas, tecido conjuntivo e osso). Na teoria dos sistemas dinâmicos, os padrões de movimento emergem por meio de processos genéricos de auto-organização encontrados em sistemas físicos e biológicos. Não há validação de pesquisa de qualquer uma das reivindicações associadas à aplicação conceitual desta estrutura.
Em ciência cognitiva
A teoria do sistema dinâmico tem sido aplicada no campo da neurociência e do desenvolvimento cognitivo , especialmente nas teorias neo-piagetianas de desenvolvimento cognitivo . É a crença de que o desenvolvimento cognitivo é mais bem representado por teorias físicas do que por teorias baseadas em sintaxe e IA . Também acreditava que as equações diferenciais são a ferramenta mais apropriada para modelar o comportamento humano. Essas equações são interpretadas para representar a trajetória cognitiva de um agente através do espaço de estados . Em outras palavras, os dinamistas argumentam que a psicologia deveria ser (ou é) a descrição (por meio de equações diferenciais) das cognições e comportamentos de um agente sob certas pressões ambientais e internas. A linguagem da teoria do caos também é freqüentemente adotada.
Nele, a mente do aluno atinge um estado de desequilíbrio em que os velhos padrões são rompidos. Esta é a fase de transição do desenvolvimento cognitivo. A auto-organização (a criação espontânea de formas coerentes) se estabelece à medida que os níveis de atividade se ligam uns aos outros. Estruturas macroscópicas e microscópicas recém-formadas apóiam-se mutuamente, acelerando o processo. Esses vínculos formam a estrutura de um novo estado de ordem na mente por meio de um processo chamado escalonamento (a acumulação e o colapso repetidos de um desempenho complexo). Esse novo estado inovador é progressivo, discreto, idiossincrático e imprevisível.
A teoria dos sistemas dinâmicos foi usada recentemente para explicar um problema há muito sem resposta no desenvolvimento infantil, conhecido como erro A-não-B .
No desenvolvimento de uma segunda língua
A aplicação da Teoria de Sistemas Dinâmicos para estudar a aquisição de uma segunda língua é atribuída a Diane Larsen-Freeman, que publicou um artigo em 1997 no qual ela afirmava que a aquisição de uma segunda língua deveria ser vista como um processo de desenvolvimento que inclui atrito e aquisição de linguagem. Em seu artigo, ela afirmou que a linguagem deve ser vista como um sistema dinâmico que é dinâmico, complexo, não linear, caótico, imprevisível, sensível às condições iniciais, aberto, auto-organizado, sensível ao feedback e adaptativo.
Veja também
- Assuntos relacionados
- Lista de tópicos do sistema dinâmico
- Mapa de Baker
- Aplicações biológicas da teoria da bifurcação
- Sistema dinâmico (definição)
- Cognição incorporada incorporada
- Números de Fibonacci
- Fractais
- Mapa do Gingerbreadman
- Halo orbit
- Lista de tipos de teoria de sistemas
- Oscilação
- Pós-cognitivismo
- Rede neural recorrente
- Sistemas combinatórios e dinâmicos
- Sinergética
- Systemografia
- Cientistas relacionados
Notas
Leitura adicional
- Abraham, Frederick D .; Abraham, Ralph ; Shaw, Christopher D. (1990). Uma introdução visual à teoria dos sistemas dinâmicos para a psicologia . Aerial Press. ISBN 978-0-942344-09-7. OCLC 24345312 .
- Beltrami, Edward J. (1998). Matemática para Modelagem Dinâmica (2ª ed.). Academic Press. ISBN 978-0-12-085566-7. OCLC 36713294 .
- Hájek, Otomar (1968). Sistemas dinâmicos no avião . Academic Press. OCLC 343328 .
- Luenberger, David G. (1979). Introdução aos sistemas dinâmicos: teoria, modelos e aplicações . Wiley. ISBN 978-0-471-02594-8. OCLC 4195122 .
- Michel, Anthony; Kaining Wang; Bo Hu (2001). Teoria Qualitativa de Sistemas Dinâmicos . Taylor e Francis. ISBN 978-0-8247-0526-8. OCLC 45873628 .
- Padulo, Louis; Arbib, Michael A. (1974). Teoria de sistemas: uma abordagem de espaço de estado unificado para sistemas contínuos e discretos . Saunders. ISBN 9780721670355. OCLC 947600 .
- Strogatz, Steven H. (1994). Dinâmica não linear e caos: com aplicações em física, biologia, química e engenharia . Addison Wesley. ISBN 978-0-7382-0453-6. OCLC 49839504 .
links externos
- Entrada da Dynamic Systems Encyclopedia of Cognitive Science.
- Definição de sistema dinâmico em MathWorld.
- Revista DSWeb Dynamical Systems