Modelo probit multivariado - Multivariate probit model

Em estatística e econometria , o modelo probit multivariado é uma generalização do modelo probit usado para estimar vários resultados binários correlacionados em conjunto. Por exemplo, se acreditar que as decisões de enviar pelo menos uma criança para a escola pública e de votar a favor de um orçamento escolar estão correlacionadas (ambas as decisões são binárias), então o modelo probit multivariado seria apropriado para prever conjuntamente estes duas escolhas em uma base específica do indivíduo. JR Ashford e RR Sowden inicialmente propuseram uma abordagem para análise probit multivariada. Siddhartha Chib e Edward Greenberg estenderam essa ideia e também propuseram métodos de inferência baseados em simulação para o modelo probit multivariado que simplificou e generalizou a estimativa de parâmetros.

Exemplo: probit bivariada

No modelo probit comum, há apenas uma variável dependente binária e, portanto, apenas uma variável latente é usada. Em contraste, no modelo probit bivariado existem duas variáveis ​​dependentes binárias e , portanto, existem duas variáveis ​​latentes: e . Supõe-se que cada variável observada assume o valor 1 se e somente se sua variável latente contínua subjacente assume um valor positivo: ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle Y ^ {*}}$${\ displaystyle Y_ {1}}$${\ displaystyle Y_ {2}}$${\ displaystyle Y_ {1} ^ {*}}$${\ displaystyle Y_ {2} ^ {*}}$

${\ displaystyle Y_ {1} = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} Y_ {1} ^ {*}> 0, \\ 0 & {\ text {else}}, \ end {cases}} }$

${\ displaystyle Y_ {2} = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} Y_ {2} ^ {*}> 0, \\ 0 & {\ text {else}}, \ end {cases}} }$

com

${\ displaystyle {\ begin {cases} Y_ {1} ^ {*} = X_ {1} \ beta _ {1} + \ varepsilon _ {1} \\ Y_ {2} ^ {*} = X_ {2} \ beta _ {2} + \ varepsilon _ {2} \ end {cases}}}$

e

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ varepsilon _ {1} \\\ varejpsilon _ {2} \ end {bmatrix}} \ mid X \ sim {\ mathcal {N}} \ left ({\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \ end {bmatrix}}, {\ begin {bmatrix} 1 & \ rho \\\ rho & 1 \ end {bmatrix}} \ right)}$

Ajustar o modelo probit bivariado envolve estimar os valores de e . Para fazer isso, a probabilidade do modelo deve ser maximizada . Essa probabilidade é ${\ displaystyle \ beta _ {1}, \ \ beta _ {2},}$${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle {\ begin {align} L (\ beta _ {1}, \ beta _ {2}) = {\ Big (} \ prod & P (Y_ {1} = 1, Y_ {2} = 1 \ mid \ beta _ {1}, \ beta _ {2}) ^ {Y_ {1} Y_ {2}} P (Y_ {1} = 0, Y_ {2} = 1 \ mid \ beta _ {1}, \ beta _ {2}) ^ {(1-Y_ {1}) Y_ {2}} \\ [8pt] & {} \ qquad P (Y_ {1} = 1, Y_ {2} = 0 \ mid \ beta _ {1}, \ beta _ {2}) ^ {Y_ {1} (1-Y_ {2})} P (Y_ {1} = 0, Y_ {2} = 0 \ mid \ beta _ {1} , \ beta _ {2}) ^ {(1-Y_ {1}) (1-Y_ {2})} {\ Grande)} \ end {alinhado}}}$

Substituindo as variáveis ​​latentes e nas funções de probabilidade e tomando logs dá ${\ displaystyle Y_ {1} ^ {*}}$${\ displaystyle Y_ {2} ^ {*}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ sum & {\ Big (} Y_ {1} Y_ {2} \ ln P (\ varepsilon _ {1}> - X_ {1} \ beta _ {1}, \ varejpsilon _ {2}> - X_ {2} \ beta _ {2}) \\ [4pt] & {} \ quad {} + (1-Y_ {1}) Y_ {2} \ ln P (\ varepsilon _ { 1} <- X_ {1} \ beta _ {1}, \ varepsilon _ {2}> - X_ {2} \ beta _ {2}) \\ [4pt] & {} \ quad {} + Y_ {1 } (1-Y_ {2}) \ ln P (\ varepsilon _ {1}> - X_ {1} \ beta _ {1}, \ varepsilon _ {2} <- X_ {2} \ beta _ {2} ) \\ [4pt] & {} \ quad {} + (1-Y_ {1}) (1-Y_ {2}) \ ln P (\ varepsilon _ {1} <- X_ {1} \ beta _ { 1}, \ varepsilon _ {2} <- X_ {2} \ beta _ {2}) {\ Big)}. \ End {alinhado}}}$

Após algumas reescritas, a função de probabilidade de log torna-se:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sum & {\ Big (} Y_ {1} Y_ {2} \ ln \ Phi (X_ {1} \ beta _ {1}, X_ {2} \ beta _ {2 }, \ rho) \\ [4pt] & {} \ quad {} + (1-Y_ {1}) Y_ {2} \ ln \ Phi (-X_ {1} \ beta _ {1}, X_ {2 } \ beta _ {2}, - \ rho) \\ [4pt] & {} \ quad {} + Y_ {1} (1-Y_ {2}) \ ln \ Phi (X_ {1} \ beta _ { 1}, - X_ {2} \ beta _ {2}, - \ rho) \\ [4pt] & {} \ quad {} + (1-Y_ {1}) (1-Y_ {2}) \ ln \ Phi (-X_ {1} \ beta _ {1}, - X_ {2} \ beta _ {2}, \ rho) {\ Big)}. \ End {alinhado}}}$

Note-se que é a função de distribuição cumulativa da distribuição normal bivariada . e na função log-verossimilhança as variáveis ​​observadas sendo iguais a um ou zero. ${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle Y_ {1}}$${\ displaystyle Y_ {2}}$

Probit multivariado

Para o caso geral, onde podemos tomar como escolhas e como indivíduos ou observações, a probabilidade de observar a escolha é ${\ displaystyle \ mathbf {y_ {i}} = (y_ {1}, ..., y_ {j}), \ (i = 1, ..., N)}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \ mathbf {y_ {i}}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ Pr (\ mathbf {y_ {i}} | \ mathbf {X_ {i} \ beta}, \ Sigma) = & \ int _ {A_ {J}} \ cdots \ int _ {A_ {1}} f_ {N} (\ mathbf {y} _ {i} ^ {*} | \ mathbf {X_ {i} \ beta}, \ Sigma) dy_ {1} ^ {*} \ dots dy_ {J} ^ {*} \\\ Pr (\ mathbf {y_ {i}} | \ mathbf {X_ {i} \ beta}, \ Sigma) = & \ int \ mathbb {1} _ {y ^ { *} \ in A} f_ {N} (\ mathbf {y} _ {i} ^ {*} | \ mathbf {X_ {i} \ beta}, \ Sigma) d \ mathbf {y} _ {i} ^ {*} \ end {alinhado}}}$

Onde e, ${\ displaystyle A = A_ {1} \ times \ cdots \ times A_ {J}}$

${\ displaystyle A_ {j} = {\ begin {cases} (- \ infty, 0] & y_ {j} ^ {*} = 0 \\ (0, \ infty) & y_ {j} ^ {*} = 1 \ fim {casos}}}$

A função de log-verossimilhança neste caso seria ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ log \ Pr (\ mathbf {y_ {i}} | \ mathbf {X_ {i} \ beta}, \ Sigma)}$

Exceto por tipicamente não há solução de forma fechada para as integrais na equação de log-verossimilhança. Em vez disso, os métodos de simulação podem ser usados ​​para simular as probabilidades de escolha. Métodos que usam amostragem de importância incluem o algoritmo GHK (Geweke, Hajivassilou, McFadden e Keane), AR (aceitar-rejeitar), método de Stern. Existem também abordagens MCMC para este problema, incluindo CRB (método de Chib com Rao-Blackwellization), CRT (Chib, Ritter, Tanner), ARK (kernel aceitar-rejeitar) e ASK (kernel de amostragem adaptável). Uma abordagem variacional escalando para grandes conjuntos de dados é proposta em Probit-LMM (Mandt, Wenzel, Nakajima et al.). ${\ displaystyle J \ leq 2}$

Referências

Leitura adicional

• Greene, William H., Econometric Analysis , sétima edição, Prentice-Hall, 2012.